孫 伏

(陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

機(jī)械手D-H坐標(biāo)系建立分析

孫 伏

(陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

在機(jī)械手和空間機(jī)構(gòu)分析時(shí)，D-H分析法使用廣泛。但是在建立D-H坐標(biāo)時(shí)，中間連桿有兩個(gè)關(guān)節(jié)，連桿的坐標(biāo)是建在前關(guān)節(jié)還是后關(guān)節(jié)上，該問題會(huì)引起理解和處理的困擾。在明確了D-H法及其參數(shù)含義的基礎(chǔ)上，通過兩種不同位置D-H坐標(biāo)的建立和分析對比，說明了兩種方法是完全等價(jià)的。通過實(shí)例，分析對比了兩種方法的D-H參數(shù)表和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，總結(jié)出在D-H法分析時(shí)D-H坐標(biāo)選擇方法和注意事項(xiàng)。

D-H坐標(biāo)； 關(guān)節(jié)； 參數(shù)表 運(yùn)動(dòng)方程

在機(jī)械手和空間機(jī)構(gòu)中，連桿的主要功能是保持其兩端的關(guān)節(jié)軸線具有固定的幾何關(guān)系，連桿的特征也可由這兩條軸線規(guī)定。為了研究機(jī)械手各連桿之間的位移關(guān)系，可在每個(gè)連桿上固聯(lián)一個(gè)坐標(biāo)系，借助這些坐標(biāo)系進(jìn)行機(jī)構(gòu)分析。

1955年，Denavit和Hartenberg提出一種標(biāo)準(zhǔn)通用的方法，命名為D-H法[1]，采用將連桿坐標(biāo)系建立在后關(guān)節(jié)上的方法進(jìn)行分析[1-5]，而有人提出將連桿坐標(biāo)系建立在其前關(guān)節(jié)和后關(guān)節(jié)是等價(jià)的[6]，并采用將連桿的坐標(biāo)系建在前關(guān)節(jié)上進(jìn)行分析[6-9]。但是兩種方法坐標(biāo)軸的建立和分析過程都各有不同，給理解和應(yīng)用帶來了困擾。

本文在明確D-H法連桿坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸定義的基礎(chǔ)上，針對轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)、中間連桿和首末桿，進(jìn)行兩種坐標(biāo)系建立方法的對比，分析了注意事項(xiàng)和選擇方法。

1 D-H坐標(biāo)系

D-H法建立連桿坐標(biāo)系時(shí)，以連桿上的關(guān)節(jié)軸線為z軸，方向任意；以連桿兩端關(guān)節(jié)軸線的公法線為x軸，方向由前關(guān)節(jié)指向后關(guān)節(jié)；交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。x、y和z軸形成右手坐標(biāo)系。

建立D-H坐標(biāo)以后，在描述連桿自身和連桿與前一連桿之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系時(shí)(即對連桿i)有4個(gè)參數(shù)：連桿長度ai(連桿的前關(guān)節(jié)i和后關(guān)節(jié)i+1軸線間公法線的長度)、連桿扭角αi(兩關(guān)節(jié)軸線間的夾角)、連桿距離di(前關(guān)節(jié)i軸線上兩條公法線之間的距離)，連桿夾角θi(在垂直于關(guān)節(jié)i軸線的平面內(nèi)兩條公法線之間的夾角)。

而中間連桿有兩個(gè)關(guān)節(jié)，同時(shí)公法線和兩關(guān)節(jié)都有交點(diǎn)，以哪個(gè)交點(diǎn)作為本連桿的坐標(biāo)原點(diǎn)?建立坐標(biāo)的方法有什么不同?下面進(jìn)行分析。

2 兩種建立D-H坐標(biāo)方法的分析對比

2.1 連桿兩端為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的情況

當(dāng)機(jī)械手的各關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，對其中的連桿i，如圖1和圖2所示，前關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)i，后關(guān)節(jié)為i+1。

圖1 連桿坐標(biāo)建在前關(guān)節(jié) 圖2 連桿坐標(biāo)建在后關(guān)節(jié)

圖1將連桿坐標(biāo)建在前關(guān)節(jié)上。對連桿i，以關(guān)節(jié)i的軸線為坐標(biāo)zi軸，兩端關(guān)節(jié)軸線的公法線為xi軸，方向指向后關(guān)節(jié)，xi軸與zi軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，依次建立各連桿的坐標(biāo)系。這樣，桿長為ai，扭角為αi。通過關(guān)節(jié)i軸線上兩條公法線間的距離和夾角，得到與前一連桿間的距離di和夾角θi。可見，連桿i的D-H坐標(biāo)及參數(shù)集中在關(guān)節(jié)i附近。特殊地，當(dāng)兩端關(guān)節(jié)平行時(shí)，為處理方便，將xi軸建在使di=0的位置；當(dāng)兩端關(guān)節(jié)相交時(shí)，桿長ai=0，原點(diǎn)取在交點(diǎn)上。

圖2將連桿坐標(biāo)建在后關(guān)節(jié)上。以關(guān)節(jié)i+1的軸線為zi軸，連桿距離di和連桿夾角θi仍然在關(guān)節(jié)i上。

對在連桿i上建立其固聯(lián)坐標(biāo)系的兩種方法進(jìn)行對比，結(jié)果如表1所示。

表1 連桿坐標(biāo)建在前關(guān)節(jié)和后關(guān)節(jié)的對比

2.2 連桿上有移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況

圖3 移動(dòng)關(guān)節(jié)D-H坐標(biāo)建立

如圖3所示，關(guān)節(jié)i為移動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)的軸線方向確定，但空間位置沒有意義，即連桿桿長沒有意義。為處理方便，可在坐標(biāo)系建立時(shí)使其連桿長度為0。

采用坐標(biāo)建在后關(guān)節(jié)的方法，如圖3所示。連桿的坐標(biāo)軸zi建在后關(guān)節(jié)軸線i+1上，選定坐標(biāo)原點(diǎn)后，過原點(diǎn)做關(guān)節(jié)i移動(dòng)方向的平行線，作為zi-1軸，此時(shí)xi軸方向?yàn)閦i-1和zi軸的公垂線方向。注意，在選定連桿的坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可以依據(jù)后一關(guān)節(jié)的具體情況。

如果采用坐標(biāo)系建在前關(guān)節(jié)的方法，zi軸方向?yàn)殛P(guān)節(jié)i的移動(dòng)方向，可使其位置經(jīng)過關(guān)節(jié)i-1軸線上一點(diǎn)，以該點(diǎn)為連桿i的坐標(biāo)原點(diǎn)，再根據(jù)坐標(biāo)定義做出其他坐標(biāo)軸即可。此時(shí)，連桿i-1的桿長為0，連桿i的長度為zi和zi+1間公法線的長度。

2.3 基座和末端桿坐標(biāo)系的建立

基座上建立的是基坐標(biāo)系{0}，固定不動(dòng)，原則上可任意規(guī)定。一般規(guī)定，在關(guān)節(jié)1上建立基坐標(biāo)系，z0方向?yàn)殛P(guān)節(jié)1的軸線方向，x0軸應(yīng)和關(guān)節(jié)1的關(guān)節(jié)變量為0時(shí)的x1軸重合，即關(guān)節(jié)1為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，位于θ1=0處，為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，位于d1=0處。

這樣，當(dāng)坐標(biāo)系建在前關(guān)節(jié)上時(shí)，坐標(biāo)系{0}和{1}初始位置重合。桿長a0=0和扭角α0=0。相應(yīng)地，當(dāng)坐標(biāo)系建在后關(guān)節(jié)上時(shí)，{0}和{1}不重合。

機(jī)械手的末端桿n也只有一個(gè)關(guān)節(jié)，一般將其坐標(biāo)建在關(guān)節(jié)n上。因此當(dāng)坐標(biāo)系建在前關(guān)節(jié)上時(shí)，{n}的zn沿關(guān)節(jié)n方向，xn方向指向末端手爪；當(dāng)坐標(biāo)系建在后關(guān)節(jié)上時(shí)，原點(diǎn)可與連桿n-1的原點(diǎn)重合，xn可選擇關(guān)節(jié)n的關(guān)節(jié)變量為0時(shí)xn-1的方向，或根據(jù)末端手爪確定。

3 D-H坐標(biāo)參數(shù)表和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立

圖4 三自由度機(jī)械手

建立各連桿的D-H坐標(biāo)后，可得到D-H參數(shù)表和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

以圖4所示的三自由度機(jī)械手為例，臂長為L1、L2，手部中心離手腕中心的距離為L3，轉(zhuǎn)角為θ1、θ2、θ3，建立運(yùn)動(dòng)方程。

方法一 D-H坐標(biāo)建在前關(guān)節(jié)上。

如圖5所示，連桿1的坐標(biāo)為z1、x1，圖示位置為初始位置，此時(shí)基坐標(biāo){0}和{1}重合，末端件的坐標(biāo)原點(diǎn)在手爪關(guān)節(jié)處。

為得到D-H參數(shù)表，從基座開始依次分析，得出當(dāng)前桿的桿長和扭角、相鄰兩桿之間的距離和轉(zhuǎn)角，注意關(guān)節(jié)變量的初始值，按順序填寫在表2所示各行中。

表2 建在前關(guān)節(jié)時(shí)D-H參數(shù)表

設(shè)連桿i相對于連桿i-1的變換為Ai：

(1)

式中，c表示cos，s表示sin，下同。

將表2中的數(shù)值代入式(1)，分別求出A1、A2、A3，可得到該機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

TF=A1A2A3=

(2)

方法二 坐標(biāo)系建在后關(guān)節(jié)上。

此時(shí)坐標(biāo)系{0}建在關(guān)節(jié)1上，z1和z0軸不重合，結(jié)果如圖6所示，末端桿的坐標(biāo)在手爪末端。

圖5 坐標(biāo)建在前關(guān)節(jié)上 圖6 坐標(biāo)建在后關(guān)節(jié)上

在列出D-H參數(shù)表時(shí)，從連桿1開始，結(jié)果如表3所示。此時(shí)，

(3)

表3 建在后關(guān)節(jié)時(shí)D-H參數(shù)表

將表3中的數(shù)值代入式(3)，此時(shí)，機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

TB=A1A2A3=

(4)

可用其中某一特殊位置進(jìn)行驗(yàn)證，如：θ1=0°、θ2=90°、θ3=0°時(shí)代入式(3)和式(4)，可解得末端件相對基座標(biāo)的位姿矩陣分別為

和實(shí)際位姿相符合，證明了結(jié)論的正確性。

4 結(jié) 論

針對機(jī)械手分析中D-H坐標(biāo)建立的兩種方法，進(jìn)行了定義的對比和實(shí)例分析，可總結(jié)出以下特點(diǎn)和注意事項(xiàng)：

(1)無論連桿的坐標(biāo)系建在哪個(gè)關(guān)節(jié)上，必須明確，x軸均為該連桿兩端關(guān)節(jié)軸線的公法線方向，D-H參數(shù)反映該連桿的長度、扭角以及與前一連桿之間的距離和轉(zhuǎn)角；

(2)兩種方法所得到的各連桿D-H參數(shù)是相同的；

(3)兩種不同的坐標(biāo)系建立方法，導(dǎo)致從前一連桿運(yùn)動(dòng)到后一連桿的運(yùn)動(dòng)過程不同，在列寫D-H參數(shù)表時(shí)，形式略有不同，連桿坐標(biāo)系間的變換矩陣也不同；

(4)坐標(biāo)建在前關(guān)節(jié)處時(shí)，末端件的原點(diǎn)在其關(guān)節(jié)處，而建在后關(guān)節(jié)處時(shí)，可以到達(dá)手爪末端，可方便機(jī)械手的分析過程；

(5)基于D-H參數(shù)表建立機(jī)械手運(yùn)動(dòng)方程，對比可見末端件相對于基座的姿態(tài)是相同的，而位置不同，這和末端件坐標(biāo)原點(diǎn)位置不同相符。

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[責(zé)任編輯：魏 強(qiáng)]

Building D-H coordinate system analysis to robots

SUN Fu

(School of Mechanical Engineering, Shaanxi Sci-Tech University, Hanzhong 723000, China)

D-H method is used widely when analyzing robots and spatial mechanism. However, the fact that there are two joints in middle connecting rod has caused difficulty in understanding and handling in terms of building the linkage’ coordinate on the previous or rear joint. On the basis of clarifying the parametric implication, the study has tried building and comparing two methods. It shows that the two methods have achieved equal results. Through examples, the study analyzes D-H parameter list and kinematical equation with the two methods and comes up with D-H coordination selection method when applying D-H coordinates analysis.

D-H coordinates; joint; parameter list; kinematical equation

1673-2944(2016)06-0024-05

2016-07-02

2016-09-21

陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目(2013JK1038)；陜西理工學(xué)院研究生教改項(xiàng)目(SLGYJG1510)

孫伏(1969—)，女，陜西省富平縣人，陜西理工大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師，碩士，主要研究方向?yàn)镃AD/CAM、先進(jìn)制造技術(shù)、機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與綜合。

TH123+.1; TP241

A