劉運(yùn)明

縱觀近幾年的高考試題，線性規(guī)劃問(wèn)題已逐步成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)。它以其實(shí)用性、工具性和交互性，備受人們的青睞，命題形式呈循“型”漸進(jìn)式發(fā)展，從單一的、靜態(tài)的線性規(guī)劃發(fā)展到較全面的、動(dòng)態(tài)的線性規(guī)劃，體現(xiàn)從知識(shí)立意到能力立意的變化，從重計(jì)算到重思考的變化，涌現(xiàn)出一些綜合性、探索性、開(kāi)放性等新型試題，分散在諸多相關(guān)知識(shí)考查中，且呈現(xiàn)出整合的趨勢(shì)。本文從以下幾方面例析近幾年高考中線性規(guī)劃的命題趨勢(shì)。

一、一線牽引出線性目標(biāo)函數(shù)的最值

1.靜態(tài)可行域下形如z=ax+by+c截距型線性目標(biāo)函數(shù)的最值

例1（2015年湖南卷）若變量x，y滿足約束條件則z=3x-y 的最小值為（ ?）

解析：作出可行域（圖略），作直線l：3x-y=0，平移直線l利用數(shù)形結(jié)合法求最值。答案：選A

命題點(diǎn)睛 ?要求考生理解目標(biāo)函數(shù)的意義：把z=3x-y看作一條“動(dòng)直線”l，觀察其位置，從而確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)。動(dòng)中有靜，動(dòng)直線l牽引出最優(yōu)解（定點(diǎn)），從而得到z的最小值。

2.動(dòng)態(tài)可行域下形如z=ax+by+c 截距型線性目標(biāo)函數(shù)最值的逆向問(wèn)題

例2 （2015年福建卷）變量x，y滿足約束條件若z=2x-y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m 等于（ ? ? ）

A、-2 B、-1

C、1 D、2

圖1

解析 ?將目標(biāo)函數(shù)看作動(dòng)直線l：2x-z=0，當(dāng)z取最大值時(shí)，動(dòng)直線l縱截距最小。故當(dāng)m≤0時(shí)，不滿足題意;當(dāng)m>0時(shí)，由可行域如圖1所示，其中 是最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得：，得m=1。故選C。

命題點(diǎn)睛 ?以動(dòng)制靜，動(dòng)直線l的位置與參數(shù)m的符號(hào)相互制約，由兩條動(dòng)直線l：y=2x-z與l1：y=mx牽引出定點(diǎn)B最優(yōu)解。解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，要善于從已知的可行域（動(dòng)態(tài)區(qū)域）中找出不變的（靜態(tài)）區(qū)域。困難在于對(duì)參數(shù)m的符號(hào)討論，以確定可行域，往往還要將動(dòng)直線l的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則找出最優(yōu)解很容易出錯(cuò)。思維從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)模式跳躍式開(kāi)放性發(fā)展，更能考查學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力。

二、一線牽引出非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

1.斜率型

例3 ?（2015年全國(guó)卷） ?若x，y 滿足約束條件 則的最大值為 ? ? ? ? ?。

解析 ?作出可行域（圖略），由斜率的意義知是可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率。答案：3

命題點(diǎn)睛 ?形如型的目標(biāo)函數(shù)，其表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)M（a，b）連線的斜率。將直線PM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，且確保動(dòng)點(diǎn)P在可行域內(nèi)，這樣由動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線牽引出斜率的取值范圍。

2.距離型：點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距

例4 ?（2016年山東卷） ?若變量x，y滿足 則x2+y2的最大值是（ ? ? ?）

A、4 B、9

C、10 D、12

解析x2+y2表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)O（0，0）距離的平方，可得x2+y2的最大值為10。故選C。

命題點(diǎn)睛 ?點(diǎn)點(diǎn)距離型實(shí)質(zhì)就是動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的長(zhǎng)度。

變式探究1（點(diǎn)線距）：（2016年浙江卷文·4改編）

若平面區(qū)域

（1） 的最大值是 ? ? ? ? ? 。

（2）的最大值是 ? ? ? ? ? ? 。

答案：（1）（2）

3.向量數(shù)量積型（夾角型、投影型）

例5 ?（2016年浙江卷） ?在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影。由區(qū)域中的點(diǎn)在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|（ ? ? ?）。

A、 B、4

C、 D、6

答案：C

變式拓展2：（夾角型、投影型） ? 已知點(diǎn)A（3，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）滿足則

（1） 的最小值是 ? ? ? ? ? ? ? 。

（2） 的最大值是 ? ? ? ? ? ? 。

（3） 的取值范圍是 ? ? ? ? ? ? ?。

解析 ?如圖2所示，（1）

當(dāng)且僅當(dāng)與 反向時(shí)，取等號(hào);

（2）的最大值即在方向上的投影，為

（3）的最小值即在方向上的投影，為

其最大值即與共線時(shí)在方向上的投影，為，所以其取值范圍是

命題點(diǎn)睛 ?（1）中抓住定向量與動(dòng)向量的夾角;（2）中抓住動(dòng)線段OP在一條定直線OA上的投影;（3）與（2）正好反之。

圖2

4.直線與圓錐曲線相關(guān)位置型

圖3

例6 ?（2016年山東卷文·4改編） ?設(shè)x，y滿足約束條件若Z=x2+4y2，則Z的取值范圍是 ? ? ? ? 。

解析Z=x2+4y2表示中心在坐標(biāo)

原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓，當(dāng)此橢圓與直線x+y=1相切時(shí)，Z=x2+4y2最小，

由 得5y2-2y+1=0 ，由Δ=0

得 為最小值;當(dāng)此橢圓過(guò)點(diǎn) 時(shí)，為最大值，故所求范圍是

圖4

命題點(diǎn)睛 ?圓錐曲線（動(dòng)曲線）與一條定直線（或定點(diǎn)）的位置關(guān)系牽引出z的取值范圍，此題型新穎別致，賞心悅目，耐人尋味。

變式拓展3 ?設(shè)變量x，y滿足約束條件

其中k∈R，k>0.

若的最大值為1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ? ? ? ? ? 。

提示：設(shè)，則，要使m最大，則只要使拋物線的通徑最小。當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，此時(shí)拋物線方程為y=x2。因?yàn)橹本€y-1=k（x-1）過(guò)定點(diǎn)C（1，1），當(dāng)直線y-1=k（x-1）與拋物線y=x2相切于點(diǎn) C（1，1）時(shí)k最大，由y?=2x，即k=2×1=2，故得0<k≤2。

常言道：有緣千里來(lái)相會(huì)，千里良緣一線牽。線性規(guī)劃問(wèn)題依靠的就是一條“線”（動(dòng)直線或動(dòng)曲線）牽引出諸多數(shù)學(xué)知識(shí)之間的“良緣”，它們友好嫁接，精心編織成各模塊知識(shí)之間的網(wǎng)絡(luò)，最終喜結(jié)“良緣”。筆者認(rèn)為，線性規(guī)劃由常規(guī)題型向非常規(guī)題型轉(zhuǎn)變，其觸角延伸到數(shù)列、三角、向量、及解幾中，甚至波及到概率與統(tǒng)計(jì)等其它方面，這也許是今后高考命題的趨勢(shì)所在，我們拭目以待。