呂慧杰 劉涵奇 羅 蓉

(武漢理工大學(xué)交通學(xué)院 武漢 430063)

基于單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)求解瀝青混合料松弛模量*

呂慧杰 劉涵奇 羅 蓉

(武漢理工大學(xué)交通學(xué)院 武漢 430063)

為了更加精確、方便地獲得瀝青混合料的松弛模量，對(duì)處于線性粘彈性狀態(tài)的瀝青混合料試件進(jìn)行單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)，根據(jù)蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ吭诶绽褂騼?nèi)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過(guò)測(cè)得的蠕變?nèi)崃坑?jì)算得到瀝青混合料的松弛模量.結(jié)果表明，瀝青混合料蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ康南嗷マD(zhuǎn)換建立在線性粘彈性基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)蠕變?nèi)崃肯蛩沙谀Ａ康霓D(zhuǎn)化本質(zhì)上是實(shí)現(xiàn)廣義開(kāi)爾文模型向廣義麥克斯韋爾模型的轉(zhuǎn)化.所提出的方法可用于以松弛模量為基礎(chǔ)的瀝青混合料粘彈性本構(gòu)模型中，用于預(yù)測(cè)瀝青路面的粘彈性響應(yīng).

道路工程；瀝青混合料；蠕變?nèi)崃?；松弛模量；線性粘彈性

0 引 言

瀝青混合料是一種復(fù)雜的粘彈性材料，其線性粘彈性質(zhì)是后續(xù)研究瀝青路面開(kāi)裂和永久變形的基礎(chǔ)[1-3].松弛模量是研究瀝青混合料線性粘彈性能的重要參數(shù)之一，理論上可以通過(guò)應(yīng)力松弛試驗(yàn)直接測(cè)定松弛模量.應(yīng)力松弛試驗(yàn)是在試驗(yàn)開(kāi)始的很短時(shí)間內(nèi)輸入一個(gè)恒定的應(yīng)變，目前的試驗(yàn)儀器很難實(shí)現(xiàn)，試驗(yàn)造成的誤差較大，操作具有一定的難度[4].文獻(xiàn)[5-7]通過(guò)復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)間接確定了松弛模量.然而，在測(cè)定復(fù)數(shù)模量時(shí)，需要在幾個(gè)不同的溫度下進(jìn)行若干頻率的試驗(yàn)，試驗(yàn)過(guò)程較復(fù)雜，耗時(shí)長(zhǎng).

松弛模量和蠕變?nèi)崃渴菫r青混合料粘彈性性質(zhì)的2種表現(xiàn)形式，兩者之間存在相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系.因此，瀝青混合料的松弛模量可先通過(guò)較為簡(jiǎn)單的蠕變?cè)囼?yàn)測(cè)得蠕變?nèi)崃?，然后再?jīng)由蠕變?nèi)崃哭D(zhuǎn)換求得.該方法已被黃文柯等[8]證實(shí)，但在進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)并未考慮松弛模量和蠕變?nèi)崃肯嗷マD(zhuǎn)換的必要條件，即瀝青混合料必須處于線性粘彈性狀態(tài)，只是進(jìn)行了不同應(yīng)力水平下的蠕變?cè)囼?yàn).

文中基于線性粘彈性力學(xué)理論，采用廣義開(kāi)爾文模型和廣義麥克斯韋爾模型對(duì)瀝青混合料的蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ糠謩e進(jìn)行表征，根據(jù)蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ吭诶绽褂騼?nèi)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過(guò)對(duì)線性粘彈性狀態(tài)下的瀝青混合料試件進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)，以期通過(guò)蠕變?nèi)崃壳蟮脼r青混合料的松弛模量.瀝青混合料試件處于線性粘彈性狀態(tài)將通過(guò)3種小應(yīng)力水平下的蠕變?cè)囼?yàn)試驗(yàn)結(jié)果和1種小應(yīng)力水平下的復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果共同驗(yàn)證.

1 蠕變?nèi)崃颗c松弛模量性質(zhì)

1.1 蠕變?nèi)崃颗c松弛模量及其Prony表達(dá)式

瀝青混合料的蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ客ǔ２捎脧椈珊驼硥亟M成的力學(xué)模型來(lái)表征，其中彈簧用于表征瀝青混合料中的彈性效應(yīng)，粘壺用于表征瀝青混合料中的粘性效應(yīng).目前廣泛采用廣義開(kāi)爾文模型模擬粘彈性材料的蠕變現(xiàn)象，采用廣義麥克斯韋爾模型模擬粘彈性材料的應(yīng)力松弛現(xiàn)象[9-11]，見(jiàn)圖1～2.

圖1 廣義開(kāi)爾文模型

圖2 廣義麥克斯韋爾模型

采用Prony級(jí)數(shù)的形式對(duì)廣義開(kāi)爾文模型和廣義麥克斯韋爾模型分別進(jìn)行表征，可得到

(1)

式中：E0為瞬時(shí)彈性模量；Ei為第i個(gè)開(kāi)爾文元件中彈簧的彈性模量；ηi為第i個(gè)開(kāi)爾文元件中粘壺的粘度；n為開(kāi)爾文元件的個(gè)數(shù).

(2)

實(shí)現(xiàn)蠕變?nèi)崃肯蛩沙谀Ａ康霓D(zhuǎn)化實(shí)際上就是實(shí)現(xiàn)廣義開(kāi)爾文模型向廣義麥克斯韋爾模型的轉(zhuǎn)化.

1.2 蠕變?nèi)崃颗c松弛模量相互轉(zhuǎn)換

當(dāng)瀝青混合料處于線性粘彈性狀態(tài)時(shí)，其應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系可由玻爾茲曼疊加原理進(jìn)行描述.

1) 在應(yīng)力控制試驗(yàn)中，若輸入應(yīng)力σ(t)，輸出應(yīng)變?chǔ)?t)可以表示為

(3)

式中：τ為虛擬變量，τ∈[0,t]，s；D(t)為當(dāng)瀝青混合料處于線性粘彈性狀態(tài)時(shí)的蠕變?nèi)崃?，MPa-1；σ(t)為輸入應(yīng)力，Pa；ε(t)為輸出應(yīng)變.

2) 在應(yīng)變控制試驗(yàn)中，若輸入應(yīng)變?chǔ)?t)，輸出應(yīng)力σ(t)可以表示為

(4)

式中：τ為虛擬變量，τ∈[0,t]，s；E(t)為當(dāng)瀝青混合料處于線性粘彈性狀態(tài)時(shí)的松弛模量，MPa；ε(t)為輸入應(yīng)變；σ(t)為輸出應(yīng)力，Pa.

根據(jù)彈性-粘彈性對(duì)應(yīng)原理，對(duì)式(3)和式(4)分別進(jìn)行拉普拉斯變換，可將時(shí)間域內(nèi)的粘彈性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拉普拉斯域內(nèi)的彈性問(wèn)題.拉普拉斯變換的定義如下[12].

(5)

根據(jù)式(5)對(duì)式(3)和式(4)分別進(jìn)行拉普拉斯變換后可得

(6)

(7)

對(duì)式(6)和式(7)進(jìn)一步分析可得

(8)

式(8)闡明了蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ吭诶绽褂騼?nèi)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，為通過(guò)蠕變?nèi)崃?松弛模量)求解松弛模量(蠕變?nèi)崃?奠定了理論基礎(chǔ)：

1) 若已知蠕變?nèi)崃?，可通過(guò)式(9)求解松弛模量.

(9)

2) 若已知松弛模量，可通過(guò)式(10)求解蠕變?nèi)崃?

(10)

式中：L-1{ }為拉普拉斯逆變換算子形式.

文中將利用式(9)實(shí)現(xiàn)由蠕變?nèi)崃康剿沙谀Ａ康霓D(zhuǎn)換.

2 單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)

2.1 試件制備

文中中蠕變?cè)囼?yàn)為單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn).試驗(yàn)選用AC-20C石灰?guī)r瀝青混合料，其中瀝青采用SBS改性瀝青，集料采用石灰?guī)r.集料的合成級(jí)配見(jiàn)表1，最佳油石比確定為4.30%.

表1 瀝青混合料礦料級(jí)配組成

熱拌瀝青混合料(簡(jiǎn)稱(chēng)HMA)試件的制備采用Superpave旋轉(zhuǎn)壓實(shí)的方法，具體操作步驟如下.

步驟1 利用自動(dòng)拌和儀將加熱后的集料和瀝青在170 ℃下進(jìn)行拌和，拌和結(jié)束后將瀝青混合料散料放置150 ℃的烘箱中進(jìn)行溫度養(yǎng)生2 h，用于模擬運(yùn)輸過(guò)程中的老化現(xiàn)象.

步驟2 溫度養(yǎng)生結(jié)束后，利用旋轉(zhuǎn)壓實(shí)儀成型高度為170 mm、直徑為150 mm的圓柱形試件.

步驟3 待試件完全冷卻后，利用鉆芯機(jī)對(duì)步驟2所得的試件進(jìn)行鉆芯，得到高度為170 mm、直徑為100 mm的試件.

步驟4 鉆芯結(jié)束后，利用切割鋸對(duì)步驟3所得試件的上下兩面各切除10 mm，得到高度為150 mm、直徑為100 mm的試件.

步驟5 試件制備完成后，采用水中重法測(cè)量試件的空隙率，試件的空隙率需滿足4.0%±0.5%才能用于蠕變?cè)囼?yàn).

本次蠕變?cè)囼?yàn)采用材料試驗(yàn)機(jī)(簡(jiǎn)稱(chēng)MTS)對(duì)2個(gè)AC-20C石灰?guī)rHMA試件(分別記作HMA-1和HMA-2分別進(jìn)行.在開(kāi)始試驗(yàn)前，沿著HMA試件側(cè)面安裝3個(gè)標(biāo)距為90 mm、相隔120°的位移傳感器用于記錄HMA試件在側(cè)面3個(gè)位置的軸向方向變形，并取3個(gè)位置的軸向方向變形的平均值作為HMA試件在試驗(yàn)條件下的變形值.

2.2 試驗(yàn)方案

文中旨在利用蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ吭诶绽褂騼?nèi)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，見(jiàn)式(9).通過(guò)蠕變?cè)囼?yàn)求解瀝青混合料的松弛模量.式(9)的推導(dǎo)建立在波爾茨曼疊加原理的基礎(chǔ)上，因此式(9)的適用范圍是在進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)瀝青混合料處于線性粘彈性狀態(tài).當(dāng)瀝青混合料處于線性粘彈性狀態(tài)時(shí)，其時(shí)間域內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性疊加原理，用數(shù)學(xué)方程表示如下.

ε[cσ(t)]=cε[σ(t)]

(11)

ε[σ1(t)+σ2(t-t1)]=

ε[σ1(t)]+ε[σ2(t-t1)]

(12)

式中：c為常數(shù).

當(dāng)對(duì)瀝青混合料進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)，式(11)和(12)的成立均建立在蠕變?nèi)崃侩S應(yīng)力水平的改變保持不變的基礎(chǔ)上；當(dāng)對(duì)瀝青混合料進(jìn)行復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)時(shí)，式(11)和(12)的成立均建立在動(dòng)態(tài)模量和相位角隨加載周期和應(yīng)力水平保持不變的基礎(chǔ)上[13-14].因此，為了保證試驗(yàn)用HMA試件在進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)處于線性粘彈性狀態(tài)，先對(duì)該試件進(jìn)行3種不同小應(yīng)力水平下的蠕變?cè)囼?yàn)，比較3次試驗(yàn)得出的蠕變?nèi)崃渴欠穹浅＝咏辉谌渥冊(cè)囼?yàn)結(jié)束后，再對(duì)該試件進(jìn)行小應(yīng)力水平下的復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)，觀察動(dòng)態(tài)模量和相位角隨加載周期的變化是否保持不變，進(jìn)一步確認(rèn)試件沒(méi)有受到損傷.

本次單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)在20 ℃下進(jìn)行，在正式開(kāi)始試驗(yàn)前，試件需要在該溫度下進(jìn)行至少3 h的溫度養(yǎng)生,以使試件的內(nèi)部達(dá)到溫度平衡.每個(gè)試件均進(jìn)行3種應(yīng)力水平的蠕變?cè)囼?yàn)，相鄰2次試驗(yàn)間隔1 h以使試件的變形完全恢復(fù).在完成3個(gè)應(yīng)力水平下的蠕變?cè)囼?yàn)、試件休息1 h后，再對(duì)同一試件進(jìn)行復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)，其中復(fù)數(shù)模量的加載形式為半正弦波.蠕變?cè)囼?yàn)和復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)的試驗(yàn)方案見(jiàn)表2.

表2 蠕變?cè)囼?yàn)和復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)試驗(yàn)方案

在所有試驗(yàn)結(jié)束后，可以從MTS軟件中讀取軸向力和軸向位移數(shù)據(jù)用于試驗(yàn)結(jié)果分析.

2.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

在從MTS軟件中讀取軸向力和軸向位移的數(shù)據(jù)后，HMA試件受到的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變分別按照式(13)和(14)求得.

(13)

(14)

式中：σ(t)為試件受到的軸向應(yīng)力， Pa；F(t)為施加的軸向力， N；r為試件的半徑，即0.05 m；ε(t)為試件產(chǎn)生的軸向應(yīng)變；Δl為試件的軸向變形量，m；l為試件的標(biāo)距，即0.09 m.

在求出蠕變?cè)囼?yàn)中HMA試件所承受的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變后，可計(jì)算出蠕變?nèi)崃?以HMA-1試件為例，圖3為HMA-1試件在20 ℃ 3種應(yīng)力水平下測(cè)得的蠕變?nèi)崃浚?種應(yīng)力水平下的蠕變?nèi)崃糠浅＝咏f(shuō)明試件在進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)處于線性粘彈性階段.

圖3 HMA-1試件3種應(yīng)力水平下蠕變?nèi)崃?/p>

復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)需對(duì)HMA試件施加半正弦波荷載.在求出復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)中HMA試件所承受的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變后，動(dòng)態(tài)模量和相位角可由式(1)求出.

(15)

φ=ωΔt

(16)

式中：σ0為HMA試件承受半正弦荷載的振幅，Pa；ε0為HMA試件產(chǎn)生軸向應(yīng)變的振幅；ω為復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)的角頻率，rad/s；Δt為軸向應(yīng)變與軸向應(yīng)力的時(shí)間差，s.

以HMA-1試件為例，圖4為HMA-1試件在20 ℃復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)的測(cè)得結(jié)果，由圖5可知，穩(wěn)定狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)模量和相位角隨著加載周期保持不變，進(jìn)一步說(shuō)明試件沒(méi)有受到損傷.

3種應(yīng)力水平下蠕變?cè)囼?yàn)的試驗(yàn)結(jié)果以及復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果均表明試驗(yàn)用HMA試件在進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)處于線性粘彈性狀態(tài)，沒(méi)有受到損傷.因此可以根據(jù)式(9)求解松弛模量.

圖4 HMA-1試件動(dòng)態(tài)模量和相位角測(cè)量結(jié)果

3 由蠕變?nèi)崃壳蠼馑沙谀Ａ?/h2>

3.1 廣義開(kāi)爾文模型表征蠕變?nèi)崃繙y(cè)量結(jié)果

本次蠕變?cè)囼?yàn)的加載時(shí)長(zhǎng)為120 s，由于加載時(shí)長(zhǎng)較短，在利用Prony形式的廣義開(kāi)爾文模型對(duì)蠕變?nèi)崃吭囼?yàn)結(jié)果(取3種應(yīng)力水平下蠕變?nèi)崃康钠骄?進(jìn)行擬合時(shí)，取i=2并將E0，E1，E2，η1，η2均看作擬合參數(shù).在利用Microsoft Excel中的規(guī)劃求解功能對(duì)模型進(jìn)行擬合后，得到的擬合結(jié)果見(jiàn)圖5，擬合參數(shù)見(jiàn)表3.

圖5 HMA-1試件蠕變?nèi)崃繑M合曲線

參數(shù)E0E1E2η1η2擬合值4．0322．6460．88320．4080．987

由圖5可知，廣義開(kāi)爾文模型能夠很好地?cái)M合蠕變?nèi)崃繙y(cè)量值，判定系數(shù)R2計(jì)算為0.998 8.

3.2 基于解析解求解松弛模量

為了通過(guò)廣義開(kāi)爾文模型表征的蠕變?nèi)崃壳蠼獬鏊沙谀Ａ?，先?duì)式(1)進(jìn)行拉普拉斯變換，可得

(17)

然后將式(17)代入式(9)中求得拉普拉斯域內(nèi)的松弛模量，即

(18)

為了求解松弛模量的解析解，先對(duì)式(18)運(yùn)用部分分式展開(kāi)法，即將式(18)看作是2個(gè)高階多項(xiàng)式的比值，則有

(19)

式中：a和b均為高階多項(xiàng)式的系數(shù)，可通過(guò)比較式(18)和式(19)的系數(shù)求得.

然后對(duì)式(19)的分母進(jìn)行因式分解，式(19)必定寫(xiě)成如下形式

(20)

式中：ri為滿足方程B(s)=0中除0以外的根；C0和Ci通過(guò)比較式(19)和式(20)的系數(shù)求得.

對(duì)式(20)應(yīng)用拉普拉斯逆變換可求得

(21)

顯然，式(21)符合如式(2)所示的廣義麥克斯韋爾模型的Prony形式.對(duì)比式(21)和式(2)可知，由廣義開(kāi)爾文模型表征的蠕變?nèi)崃拷?jīng)式(9)推導(dǎo)出的松弛模量恒符合廣義麥克斯韋爾模型的形式.

當(dāng)i取2時(shí)，則有應(yīng)力松弛模量為

E(t)=C0+C1e-r1t+C2e-r2t

(22)

按照式(18)～(21)所述的因式分解方法，可求得各擬合參數(shù)的值.

(23)

(24)

將3.1求解的廣義開(kāi)爾文模型各參數(shù)值代入式(23)～(24)中即可求解出松弛模量.

3.3 基于數(shù)值解求解松弛模量

上述通過(guò)松弛模量解析解求解松弛模量的方法具有明確的物理意義，將廣義開(kāi)爾文模型和廣義麥克斯韋爾模型聯(lián)系起來(lái)，但是采用因式分解求解松弛模量的解析解比較復(fù)雜，更簡(jiǎn)便的方法是采用直接求解松弛模量數(shù)值解的方法，具體步驟如下:

步驟1 采用廣義開(kāi)爾文模型對(duì)蠕變?nèi)崃吭囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到模型的各擬合參數(shù).

步驟2 利用MATLAB對(duì)拉普拉斯域內(nèi)的松弛模量(如式(18)所示)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，求解時(shí)間域內(nèi)松弛模量的表達(dá)式.

步驟3 將求解的廣義開(kāi)爾文模型的各擬合參數(shù)代入步驟2求得的時(shí)間域內(nèi)松弛模量的表達(dá)式，得到松弛模量數(shù)據(jù).

步驟4 采用廣義麥克斯韋爾模型對(duì)步驟3得到的松弛模量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，由4.2知，判定系數(shù)一定為1.

計(jì)算結(jié)果表明兩種求解方法得到的松弛模量完全相等，見(jiàn)圖6.

圖6 HMA-1試件蠕變?nèi)崃?、松弛模量曲線

4 結(jié) 論

1) 蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ康南嗷マD(zhuǎn)化建立在線性粘彈性的基礎(chǔ)上.

2) 廣義開(kāi)爾文模型和廣義麥克斯韋爾模型能夠準(zhǔn)確表征瀝青混合料的蠕變和松弛行為，實(shí)現(xiàn)蠕變?nèi)崃肯蛩沙谀Ａ康霓D(zhuǎn)化就是實(shí)現(xiàn)廣義開(kāi)爾文模型向廣義麥克斯韋爾模型的轉(zhuǎn)化.

3) 可以采用2種方法通過(guò)蠕變?nèi)崃壳蠼馑沙谀Ａ?，即解析解求解和?shù)值解求解，且2種方法得到的結(jié)果完全一致.

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Determination of Relaxation Modulus of Asphalt Mixtures Using Uniaxial Compressive Creep Test

LYU Huijie LIU Hanqi LUO Rong

(SchoolofTransportation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430063,China)

In order to obtain the relaxation modulus conveniently and accurately, a material testing system (MTS) is employed to perform uniaxial compressive creep test on asphalt mixture specimens within the linear viscoelastic range. The measured creep compliance is converted into relaxation modulus in accordance with the interrelationship between creep compliance and relaxation modulus in the Laplace domain. Conclusions can be drawn that the interconversion between the creep compliance and relaxation modulus is based on the linear viscoelasticity and converting the creep compliance into relaxation modulus is essentially converting the Generalized Kelvin model into the Generalized Maxwell model. The conversion method proposed in this study can be extensively applied to various viscoelastic constitutive models that are based on the relaxation modulus so as to predict the viscoelastic responses of asphalt pavements.

road engineering; asphalt mixture; creep compliance; relaxation modulus; linear viscoelasticity

2016-10-18

*國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目資助(2015CB060100)

U416.217

10.3963/j.issn.2095-3844.2016.06.025

呂慧杰(1992—)：男，碩士生，主要研究領(lǐng)域?yàn)闉r青路面材料