談曉輝

(江蘇省海安縣曲塘中學(xué)，226661)

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一道立體幾何習(xí)題的拓展延伸

談曉輝

(江蘇省海安縣曲塘中學(xué)，226661)

教材是有關(guān)教育專家智慧的結(jié)晶,教材中的例題或習(xí)題具有典型性和代表性,通過(guò)對(duì)例、習(xí)題的拓展研究,能有效理解、鞏固所學(xué)知識(shí),并靈活應(yīng)用．本文以人教A版選修教材中一道習(xí)題為例,通過(guò)改變問(wèn)題的條件、改變問(wèn)題的背景、改變問(wèn)題的結(jié)論等幾個(gè)方面進(jìn)行深入探究,以期拋磚引玉．

課本是我們學(xué)習(xí)知識(shí)的主要來(lái)源，是教師授課的依據(jù),也是高考命題的重要載體．許多高考試題的命制根源都是源自教材中的例題或習(xí)題的變式．因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)課本的例題或習(xí)題進(jìn)行拓展延伸很有必要．下面是人教A版選修教材中的一道立體幾何習(xí)題．

題目(人教A版選修2-1第107頁(yè)練習(xí)2)如圖1,60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn),直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)平面內(nèi),且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的長(zhǎng)．

幾何法和向量法是解決立體幾何問(wèn)題的兩種主要途徑．幾何法主要是通過(guò)構(gòu)造三角形,將二面角的平面角置于三角形中,再利用解三角形的相關(guān)知識(shí)求解．向量法的運(yùn)用通常有兩種方式:一是借助向量的幾何運(yùn)算,即向量加、減法的三角形法則與平行四邊形法則,實(shí)現(xiàn)未知與已知量的相互轉(zhuǎn)化；二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算,即建立空間直角坐標(biāo)系,將條件中的幾何關(guān)系利用坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系處理．于是便有以下兩種解法.

解法1(幾何法)如圖2,在平面β內(nèi)作AE⊥AB且AE=BD,連結(jié)CE、ED．因?yàn)锳E⊥AB、BD⊥AB、AE=BD,所以四邊形ABDE為矩形,所以ED∥AB,ED=AB=4．

因?yàn)锳B⊥CA,AB⊥AE,所以AB垂直于?CEA所在的平面,即ED垂直于?CEA所在的平面,所以ED⊥EC,即?CED為直角三角形,∠CED=90°．

=36+16+64+2×6×8cos 120°=68,

下面以此題為背景進(jìn)行拓展延伸．

一、逆向探究

解析如圖2,根據(jù)題意作輔助點(diǎn)E,使得AE∥BD,DE∥AB,則DE⊥CE．

評(píng)注本題將題目中的條件與結(jié)論互相調(diào)換,即由結(jié)論來(lái)探究條件,能有效考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力．

二、變換背景

例2(2014年浙江高考題)如圖3,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,則tan θ的最大值是______.(仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角)

在Rt?ABD中,

評(píng)注本題將上例中的定點(diǎn)改為動(dòng)點(diǎn),將角的大小問(wèn)題改為最值問(wèn)題,引入變量構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求函數(shù)最值．求函數(shù)最值的方法除了本例所用的二次函數(shù)配方法以外,還有均值不等式法、三角換元法、導(dǎo)數(shù)法等．在此不再一一列舉．

三、改變條件

例3如圖5,已知平面α∩β=l,A、B是l上的兩個(gè)點(diǎn),C、D在平面β內(nèi),且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,AB=6,BC=8,在平面α上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使得∠APD=∠BPC,則?PAB面積的最大值是( )

解法1由題意，平面α⊥平面β,A、B是平面α與平面β的交線上的兩個(gè)定點(diǎn),DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,所以?PAD與?PBC是直角三角形.又∠APD=∠BPC,所以?PAD∽?PBC,又AD=4,BC=8,所以PB=2PA.作PM⊥AB,垂足為M,則PM⊥β.令A(yù)M=t∈R,在Rt?PAM與Rt?PBM中,PM是公共邊及PB=2PA,所以PA2-t2=4PA2-(6-t)2,解得PA2=12-4t，所以

于是?PAB的高的最大值為4，所以(S?PAB)max=12，故選C．

解法2在Rt?PAD中,

因?yàn)椤螦PD=∠BPC,所以PB=2PA．

以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖6所示坐標(biāo)系.設(shè)P(x,y),A(-3,0),B(3,0),由PB=2PA,得

化簡(jiǎn)得(x+5)2+y2=16(x≠0).

所以點(diǎn)P的軌跡是圓心為(-5,0),半徑為4的圓,所以?PAB的高的最大值為圓的半徑,所以(S?PAB)max=12．

評(píng)注解法1為幾何法,略顯煩瑣．解法2是解析法，較為簡(jiǎn)潔．解析法是解答解析幾何問(wèn)題的有效工具,解法2通過(guò)空間問(wèn)題平面化后,建立平面直角坐標(biāo)系,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理,體現(xiàn)了數(shù)與形的雙向依存關(guān)系．

四、改變方法

在?AED中,由正弦定理，得

五、改變結(jié)論

例5如圖8,在二面角α — BC — β中,點(diǎn)A∈α,D∈β,A，D?BC．已知AD⊥BC,BC=8，?ABC的面積等于12,且AD與β成30°角,求此二面角的平面角φ (0° <φ< 90°)為_(kāi)_____時(shí),四面體ABCD的體積V最大,且最大值為_(kāi)_____.

解析如圖8,作AH⊥β于點(diǎn)H,連結(jié)DH并延長(zhǎng)DH交BC于E,連結(jié)AE,則∠ADE=30°．已知BC⊥平面ADE,DE⊥BC，AE⊥BC,∠AED=φ(其中0° <φ< 90°)．

由于S?ABC=12,BC=8,則AE=3．

在?ADE中,由正弦定理，有

故DE=6sin(150°-φ)．則

評(píng)注為求V的最大值,設(shè)參數(shù)角∠AED=φ后,通過(guò)論證和演算把V表示成φ的三角函數(shù),最后求最值．

綜上,教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中的典型例題或習(xí)題進(jìn)行深入探究,挖掘問(wèn)題的本質(zhì),以不變應(yīng)萬(wàn)變,從而提升分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．