孫樂園, 賈如巖, 楊枝山, 江振宇

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

重型運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化方法

孫樂園, 賈如巖, 楊枝山, 江振宇

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

研究了重型運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題。建立了一體化參數(shù)優(yōu)化模型,設(shè)計(jì)了一種雙環(huán)迭代優(yōu)化算法,外環(huán)采用遺傳算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,內(nèi)環(huán)通過帶自適應(yīng)松弛因子的改進(jìn)牛頓迭代法進(jìn)行參數(shù)迭代。針對(duì)牛頓迭代法對(duì)模型本身及迭代初值敏感的問題,提出了一種模型變量篩選方法和迭代初值生成方法。基于Morris參數(shù)全局靈敏度分析法篩選出對(duì)終端等式約束影響最大的參數(shù)作為牛頓迭代變量,以歷史迭代收斂值作為當(dāng)前迭代初值。并通過迭代誤差監(jiān)控,保證了算法的魯棒性。以三級(jí)液體重型運(yùn)載火箭為對(duì)象,進(jìn)行了一體化優(yōu)化仿真。仿真結(jié)果顯示起飛總質(zhì)量減少了4.09%,表明設(shè)計(jì)的雙環(huán)迭代優(yōu)化算法能在復(fù)雜約束下完成重型運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化。

重型運(yùn)載火箭;一體化優(yōu)化;改進(jìn)牛頓迭代法;全局靈敏度分析;迭代初值

隨著人類空間探索的不斷深入,世界各國已經(jīng)將越來越多的探索目標(biāo)瞄準(zhǔn)了更加遙遠(yuǎn)的深空[1]。在我國“載人航天工程”和“探月工程”順利實(shí)施的基礎(chǔ)上,為了滿足未來載人登月、深空探測以及建設(shè)大型空間設(shè)施等重大航天任務(wù)的需求,發(fā)展具備大噸位運(yùn)載能力的重型運(yùn)載火箭成為我國航天技術(shù)發(fā)展的重要支柱[2]。重型運(yùn)載火箭的總體優(yōu)化設(shè)計(jì)工作是其研制階段的牽引項(xiàng)目。在概念設(shè)計(jì)階段,總體參數(shù)和軌跡參數(shù)的一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)可以最大程度挖掘運(yùn)載火箭設(shè)計(jì)性能[3]。一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)選擇,以及各學(xué)科參數(shù)間的耦合問題[4]。國內(nèi)外學(xué)者基于這些問題做了大量研究工作,并成功應(yīng)用于工程實(shí)際中[5-7]。

遺傳算法以解的多樣性和并行性優(yōu)勢(shì),較好地避免了陷入局部最優(yōu)解的問題,成為目前在運(yùn)載火箭一體化優(yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的智能優(yōu)化方法[8-9]。但是傳統(tǒng)的智能優(yōu)化算法雖然能較好地解決約束上下限的問題,但處理等式約束問題效率不高,而運(yùn)載火箭一體化優(yōu)化問題中通常包含多個(gè)等式約束。牛頓迭代法求解等式約束問題具有收斂快、穩(wěn)定性好、精度高等優(yōu)點(diǎn),可通過牛頓迭代法對(duì)優(yōu)化過程中的等式約束進(jìn)行迭代求解[10]。但是牛頓迭代法對(duì)模型變量和迭代初值敏感,運(yùn)載火箭一體化優(yōu)化問題設(shè)計(jì)變量多,變化范圍大,會(huì)導(dǎo)致牛頓迭代法難以收斂。

本文研究了重型液體運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。通過設(shè)計(jì)一種基于遺傳算法和牛頓迭代法的雙環(huán)迭代優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)參數(shù)的一體化優(yōu)化。針對(duì)牛頓迭代法對(duì)模型及迭代初值敏感的問題,采用Morris參數(shù)全局靈敏度分析法[11]篩選出敏感變量作為迭代變量,保證牛頓迭代法快速收斂,以初值繼承方法提供迭代初值,克服不合理初值導(dǎo)致迭代過程發(fā)散的問題。并通過誤差監(jiān)控保證算法魯棒性。

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 質(zhì)量計(jì)算模型

本文針對(duì)具體對(duì)象,將重型運(yùn)載火箭質(zhì)量分為固定質(zhì)量和變化質(zhì)量。推進(jìn)劑加注量是液體運(yùn)載火箭的主要變化質(zhì)量,而貯箱質(zhì)量也會(huì)隨著推進(jìn)劑量發(fā)生改變。本文采用橢球封頭的圓柱形貯箱,當(dāng)火箭直徑保持不變時(shí),貯箱封頭質(zhì)量恒定,僅貯箱柱段質(zhì)量發(fā)生變化,柱段質(zhì)量可表示為推進(jìn)劑質(zhì)量的函數(shù)

(1)

式中,mft為貯箱封頭內(nèi)的推進(jìn)劑質(zhì)量,D、d分別為貯箱的外徑和內(nèi)徑,ρz為貯箱材料密度,ρp為推進(jìn)劑密度,推進(jìn)劑總質(zhì)量mp為設(shè)計(jì)變量。

設(shè)備質(zhì)量、發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量和級(jí)間段質(zhì)量的變化量相對(duì)于重型運(yùn)載火箭總質(zhì)量為小量,將三者視為固定質(zhì)量。

可得液體運(yùn)載火箭起飛質(zhì)量計(jì)算模型

m0=mg+mp+mzp

mzp=f(mp)

(2)

式中，mg為固定質(zhì)量,推進(jìn)劑質(zhì)量mp考慮起飛前消耗和關(guān)機(jī)剩余量。

1.2 發(fā)動(dòng)機(jī)性能計(jì)算模型

運(yùn)載火箭飛行性能主要受發(fā)動(dòng)機(jī)推力Pe和工作時(shí)間tgz影響,兩者與推進(jìn)劑質(zhì)量的關(guān)系可表示為

(3)

式中，比沖Isp由推進(jìn)劑種類決定。Pe、mp、tgz中僅2個(gè)獨(dú)立變量。發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小取工作時(shí)間內(nèi)的平均值,作為設(shè)計(jì)變。

1.3 飛行程序控制模型

飛行程序控制模型采用垂直起飛和程序轉(zhuǎn)彎,俯仰程序角設(shè)計(jì)如下:

1) 一級(jí)飛行段

運(yùn)載火箭一級(jí)在稠密大氣層中飛行,由于受到飛行性能約束,飛行程序通常采用固體的形式[12]

(4)

攻角轉(zhuǎn)彎段

α(t)=-αm·sin2f(t)

(5)

式中

(6)

(7)

αm為最大轉(zhuǎn)彎負(fù)攻角,為待設(shè)計(jì)參數(shù)。tb為攻角轉(zhuǎn)彎開始時(shí)間,te為攻角轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)間,tm為最大負(fù)攻角時(shí)間,t1為一級(jí)關(guān)機(jī)時(shí)間。

2) 二、三級(jí)飛行段

二、三級(jí)飛行段大氣已相當(dāng)稀薄,氣動(dòng)載荷對(duì)彈道已沒有特殊要求,采用程序俯仰角離散化形式

i=1,2 (8)

1.4 彈道計(jì)算模型

彈道計(jì)算模型考慮以下基本假設(shè):

1) 地球?yàn)閮奢S旋轉(zhuǎn)均值橢球;

2) 采用考慮J2項(xiàng)的近似引力模型;

3) 箭體無慣性,完全按程序飛行

4) 不考慮外界因素對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)推力和流量的影響,不考慮發(fā)動(dòng)機(jī)過度特性;

采用發(fā)射系中的空間彈道計(jì)算方程,詳細(xì)計(jì)算模型參考文獻(xiàn)[12]。

2 軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題

2.1 目標(biāo)函數(shù)

運(yùn)載火箭起飛質(zhì)量是一項(xiàng)重要性能指標(biāo),影響著其成本及維護(hù)使用性能。在給定運(yùn)載能力的前提下,以起飛質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),即

minJ=m0

(9)

2.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

運(yùn)載火箭總體性能主要由各級(jí)推進(jìn)劑加注量及推力大小決定,同時(shí)受飛行程序影響,選擇以下參數(shù)為軌跡/總體參數(shù)一體化設(shè)計(jì)變量

(10)

分別為三級(jí)推進(jìn)劑量、三級(jí)推力、第一級(jí)轉(zhuǎn)彎最大負(fù)攻角、第三級(jí)俯仰角變化率和有效載荷質(zhì)量。

2.3 約束條件

約束條件主要包括過程約束和終端約束。

根據(jù)工程實(shí)際需求,選擇如下指標(biāo)作為過程約束條件:

1) 火箭起飛推重比:N0min≤N0(X)≤N0max;

2) 最大法向過載:ny(X)≤nymax;

3) 最大動(dòng)壓:q(X)≤qmax.

終端約束由目標(biāo)軌道決定。對(duì)于圓軌道,終端絕對(duì)狀態(tài)約束為

對(duì)于運(yùn)載能力給定的情況,需要設(shè)置有效載荷質(zhì)量約束:mu≥mu-need,mu-need為任務(wù)要求的有效載荷質(zhì)量。

3 參數(shù)優(yōu)化方法

3.1 雙環(huán)迭代優(yōu)化方法

基于以上建模,將運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶有復(fù)雜不等式約束和等式約束的多參數(shù)優(yōu)化問題。采用外環(huán)遺傳算法優(yōu)化,內(nèi)環(huán)改進(jìn)牛頓法迭代的雙環(huán)迭代優(yōu)化方法對(duì)優(yōu)化問題求解。針對(duì)牛頓迭代法收斂過程對(duì)模型本身及迭代初值敏感的問題,首先基于Morris法對(duì)所有設(shè)計(jì)變量進(jìn)行全局靈敏度分析,篩選出對(duì)終端等式約束影響最為顯著的3個(gè)設(shè)計(jì)變量作為牛頓迭代變量,影響較小的作為遺傳算法優(yōu)化變量。由于等式約束對(duì)遺傳算法個(gè)體參數(shù)敏感度較低,對(duì)于不同個(gè)體,迭代參數(shù)收斂值不會(huì)相差太遠(yuǎn),因此采用初值繼承方法,以上一個(gè)體的迭代參數(shù)收斂值作為當(dāng)前遺傳個(gè)體下迭代參數(shù)的初值,從而避免初值不合理引起的迭代發(fā)散問題。并通過誤差監(jiān)控,保證優(yōu)化算法的魯棒性。算法流程圖見圖1。

圖1 算法流程圖

根據(jù)上述算法流程圖,算法關(guān)鍵步驟為:

1) 設(shè)計(jì)變量靈敏度分析

基于Morris法對(duì)設(shè)計(jì)變量X=(x1,x2,…,x9)各元素(均為歸一化變量)進(jìn)行靈敏度分析,靈敏度最大的3個(gè)元素構(gòu)成的設(shè)計(jì)變量XN=(x(1),x(2),x(3))作為內(nèi)環(huán)牛頓迭代變量,其余6個(gè)元素構(gòu)成外環(huán)遺傳算法優(yōu)化變量XG=(x(4),…,x(i),…x(9))。

2) 種群初始化

3) 牛頓迭代計(jì)算

c) 對(duì)迭代過程的終端狀態(tài)誤差進(jìn)行監(jiān)控,當(dāng)?shù)`差發(fā)散時(shí),放棄本次迭代,以牛頓迭代初值作為迭代環(huán)輸出,并令誤差標(biāo)識(shí)量esp=∞(實(shí)際應(yīng)用時(shí)取一個(gè)充分大的正實(shí)數(shù)),防止無法滿足入軌狀態(tài)的遺傳個(gè)體成為最優(yōu)解。

4) 適應(yīng)值計(jì)算

3.2 遺傳算法適應(yīng)值函數(shù)

運(yùn)載火箭參數(shù)優(yōu)化問題是一個(gè)帶多個(gè)不等式約束的非線性規(guī)劃問題,通過在遺傳算法適應(yīng)值函數(shù)中增加懲罰項(xiàng)來處理不等式約束下的優(yōu)化問題。本文中取加法形式的懲罰函數(shù),構(gòu)造適應(yīng)值函數(shù)為

Eval(X)=m0(X)+p(X)+pesp(esp)

(11)

式中約束懲罰項(xiàng)p(X)由下式確定

(12)

式中，ζi為第i個(gè)約束的懲罰系數(shù),m為不等式約束個(gè)數(shù)。

迭代誤差懲罰項(xiàng)

pesp(esp)=esp

(13)

3.3 改進(jìn)牛頓迭代法

運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題是一個(gè)帶有等式約束的多參數(shù)優(yōu)化問題。針對(duì)圓軌道的入軌需求,本文給出了3個(gè)終端等式約束,而簡單遺傳算法只能解決約束上下限的優(yōu)化問題,對(duì)等式約束問題往往轉(zhuǎn)化為2個(gè)不等式約束進(jìn)行處理,效率較低。而牛頓迭代法求解等式約束問題具有收斂快、精度高的優(yōu)點(diǎn)。本文通過設(shè)計(jì)一個(gè)三維變量x=(x(1),x(2),x(2))T,(x(1),x(2),x(2)∈X),將等式約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解三元非線性方程組的問題,并采用改進(jìn)牛頓迭代法[13]進(jìn)行求解

(14)

以x0為初始猜測值,牛頓法第j步迭代公式為

xj=xj-1+dj, j=1,2,…

(15)

搜索方向由(16)式確定

(16)

當(dāng)初始點(diǎn)離最優(yōu)解較遠(yuǎn),牛頓法迭代法不能保證搜索方向?yàn)樽钏傧陆捣较騕14],為了克服這一問題,改進(jìn)牛頓迭代法選取牛頓方向d作為搜索方向,而用一維搜索確定最優(yōu)步長,采用自適應(yīng)松弛因子

(17)

第j步采用迭代公式為

xj=xj-1+σjdj, j=1,2,…

(18)

3.4 基于Morris法的參數(shù)全局靈敏度分析

為了保證牛頓迭代法快速收斂,要求迭代設(shè)計(jì)變量x與終端等式約束緊密相關(guān)。本文基于Morris法對(duì)所有設(shè)計(jì)變量進(jìn)行全局靈敏度分析,篩選出對(duì)終端狀態(tài)影響最大的3個(gè)變量作為牛頓迭代變量。

Morris法由Morris在1991年提出,能以較小的計(jì)算代價(jià)得到參數(shù)全局靈敏度的比較及參數(shù)相關(guān)性和非線性的定性描述。Morris法的基本思想是[15]:假定衡量參數(shù)xi靈敏性的“基本因素(EE)”服從某種分布均值為μi,標(biāo)準(zhǔn)差為σi的分布Fi,參數(shù)xi所對(duì)應(yīng)的均值越大,則對(duì)模型輸出的影響程度就越大,而標(biāo)準(zhǔn)差表示參數(shù)之間的相互作用程度。

設(shè)系統(tǒng)模型為y=y(x1,…,xi,…xm),根據(jù)Morris法進(jìn)行模型參數(shù)全局靈敏度分析的基本算法流程為:

1) 令m維對(duì)角矩陣D每個(gè)對(duì)角元素等概率取為+1或-1,矩陣B∈為一個(gè)元素為1的嚴(yán)格下三角陣,Jm+1,m是(m+1)×m維所有元素都為1的矩陣,取

J*=(2B-Jm+1,m)·D+Jm+1,m

(19)

X=(x1,…,xi,…xm)

(20)

3) 設(shè)P為m×m維隨機(jī)置換矩陣,即每行每列都只有一個(gè)值為1,其余為0。Jm+1,1為所有元素都為1的(m+1)×1維矩陣,則采樣矩陣的隨機(jī)化矩陣B*為

(21)

由于B*為隨機(jī)取值,且相鄰兩行只有一列的元素不同,假設(shè)為第j列,即

(22)

式中，xj1-xj2=Δ。因此選擇B(j)作為系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)向量,則第j個(gè)參數(shù)的基本因素(EE)可由下式計(jì)算

(23)

取所有m組相鄰行作為模型輸入?yún)?shù)向量,可獲得m個(gè)參數(shù)的基本因素。

4) 進(jìn)行N次采樣,重復(fù)步驟1)到3),獲得每個(gè)參數(shù)的N個(gè)基本因素樣本值。

5) 計(jì)算每個(gè)輸入?yún)?shù)xi(i=1,2,…,m)基本因素的樣本均值作為μi的估計(jì)值,并據(jù)此判斷輸入?yún)?shù)的全局靈敏性。

4 優(yōu)化算例與分析

根據(jù)本文建立的運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化模型,研究三級(jí)液體運(yùn)載火箭的一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。運(yùn)載能力要求將60t有效載荷送入軌道傾角為68°的200 km近地圓軌道。

起飛推重比約束為1.2≤N0≤1.4,法向過載約束ny≤0.05,動(dòng)壓約束q≤0.025 MPa。

遺傳算法種群規(guī)模取20,最大進(jìn)化代數(shù)取100。牛頓迭代法終端高度誤差小于1 000 m,絕對(duì)速度誤差小于5 m/s,當(dāng)?shù)亟^對(duì)速度傾角誤差小于0.05°。

4.1 參數(shù)靈敏度分析結(jié)果

本文優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為

(24)

利用Morris法對(duì)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,分析結(jié)果見圖2～圖4。

圖2 終端高度的靈敏度 圖3 終端絕對(duì)速度的靈敏度圖4 終端當(dāng)?shù)厮俣葍A角的靈敏度

4.2 迭代優(yōu)化結(jié)果與分析

基于參數(shù)靈敏度分析結(jié)果,對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代優(yōu)化。圖5～圖7為一個(gè)種群下基于初值繼承方法的改進(jìn)牛頓迭代法高度、速度、當(dāng)?shù)厮俣葍A角的誤差變化曲線(高度、速度為歸一化標(biāo)準(zhǔn)量)。

圖5 高度誤差收斂曲線 圖6 速度誤差收斂曲線圖7 當(dāng)?shù)厮俣葍A角誤差收斂曲線

由圖可知,初值繼承方法較好解決了牛頓迭代法對(duì)初值敏感的問題,對(duì)每一個(gè)個(gè)體,迭代誤差均能在25步以內(nèi)收斂。

軌跡/總體參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表1～表4所示。

表1 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

表2 參數(shù)迭代結(jié)果

表3 不等式約束優(yōu)化結(jié)果

表4 等式約束優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化計(jì)算結(jié)果表明,優(yōu)化后起飛質(zhì)量減輕了67 t(減少4.09%),相應(yīng)的終端等式約束和過程不等式約束均得到很好滿足。

5 結(jié) 論

運(yùn)載火箭總體參數(shù)和軌跡參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)是運(yùn)載火箭總體優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵階段。本文從工程實(shí)際出發(fā),提出了一種運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化方法。

1) 建立了重型運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型;

2) 設(shè)計(jì)了一種雙環(huán)迭代優(yōu)化算法,外環(huán)通過遺傳算法對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量尋優(yōu),內(nèi)環(huán)基于帶自適應(yīng)松弛因子的改進(jìn)牛頓迭代法對(duì)迭代設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代求解。

3) 提出了一種基于Morris法的軌跡/總體參數(shù)全局靈敏度分析和初值繼承的初值生成方法,較好解決了牛頓迭代法收斂過程對(duì)模型及初值敏感的問題,并通過迭代誤差監(jiān)控,保證了算法魯棒性。

4) 優(yōu)化結(jié)果表明,本文所提出的一體化優(yōu)化算法能有效提高重型運(yùn)載火箭整體設(shè)計(jì)性能,過程約束和終端約束均能很好滿足,可為重型運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)工作提供參考。

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An Integrated Optimization Method of Trajectory/System Parameters for Heavy Launch Vehicles

Sun Leyuan, Jia Ruyan, Yang Zhishan, Jiang Zhenyu

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

The integrated optimization of trajectory/system parameters for heavy launch vehicles was investigated. A model of integrated optimization was set up. An iterative optimization algorithm with double loops was designed. The genetic algorithm was used to optimize parameters in outer loop, and the improved Newton iteration method with an adaptive relaxation factor was used to iterate parameters in inner loop. Aiming at the susceptibility of Newton iteration method to the model and initial values, a method of model variable screening and initial iteration values generation were proposed. Based on the Morris method of global sensitivity analysis, the parameters with the biggest influence on the terminal equality constraints were taken as the Newton iteration variables. And the historic convergent iteration values were set as the current initial iteration values. And the robustness of the algorithm was ensured by monitoring of the iterative error. A liquid heavy launch vehicle with 3 levels was set as an example for integrated optimization simulation. The results showed that initial mass decreases by 4.09% and demonstrate that the iterative optimization algorithm with double loops can complete the integrated optimization of trajectory/system parameters for heavy launch vehicles with complex constraints.

Heavy launch vehicles, Integrated optimization, Improved Newton iteration method, Global sensitivity analysis; Initial iteration values

2016-04-14

孫樂園(1991—)，國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士研究生，主要從事飛行器總體設(shè)計(jì)與系統(tǒng)仿真研究。

V421.1

A

1000-2758(2016)06-1101-07