王磊之，胡慶芳，王銀堂，胡 艷，劉 勇

(1.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210029; 2.太湖流域管理局水文局(信息中心)，上海 220000)

?

基于廣義可加模型的降水空間估算模型

王磊之1，胡慶芳1，王銀堂1，胡 艷2，劉 勇1

(1.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210029; 2.太湖流域管理局水文局(信息中心)，上海 220000)

采用太湖流域浙西區(qū)33個(gè)站點(diǎn)1989—2013年的降水觀測資料，基于廣義可加模型建立了該區(qū)域年降水空間估算模型，得到了該區(qū)域分辨率為1 000 m×1 000 m的降水柵格數(shù)據(jù)。借助多種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，分析了不同預(yù)測因子對降水空間估算結(jié)果的影響，特別比較了是否將高程作為預(yù)測因子情況下的年降水量估算差異。結(jié)果表明：加入高程因子作為廣義可加模型的預(yù)測變量后，無論是模型的優(yōu)良性還是降水空間估算精度均有所提高，能夠更合理地描述浙西區(qū)降水空間分布受地形影響的特征。此外，從模型偏態(tài)效應(yīng)圖來看，浙西區(qū)降水量隨著緯度的增加明顯減小，隨著高程的增加顯著增大，而隨經(jīng)度的變化則不明顯。

降水空間估計(jì)； 年降水量； 廣義可加模型； 太湖流域

降水是重要的水文氣象變量之一，精確獲取降水空間分布對于氣象、水文、生態(tài)及地質(zhì)等領(lǐng)域均具有重要的理論和實(shí)際意義[1]。但是，受大氣運(yùn)動(dòng)、海陸位置和下墊面狀況(地形等)等多種因素的影響，降水的空間分布十分復(fù)雜，是最難估算的水文氣象要素之一。

由于降水空間定量估算在眾多科學(xué)領(lǐng)域和生產(chǎn)實(shí)踐中的基礎(chǔ)性作用，長期以來國內(nèi)外針對這一問題進(jìn)行了大量研究。到目前為止，降水空間估算方法有數(shù)十種之多。從降水空間估計(jì)所采用的信息源來看，傳統(tǒng)的降水空間估算方法可分為兩種。一種是僅采用地面雨量站網(wǎng)所提供的降水空間自相關(guān)性信息進(jìn)行估算，這類方法包括Thiessen多邊形、反距離權(quán)重、普通克里金等方法；另一種在降水空間自相關(guān)性信息的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用降水與地形地貌因子之間的空間互相關(guān)性進(jìn)行估算。這兩個(gè)方面的文獻(xiàn)均較多。如錢永蘭等[2]在月和日時(shí)間尺度上，比較了薄板樣條函數(shù)(Thin plate spline，TPS)、反距離權(quán)重(Inverse distance weighting，IDW)和普通克里金法(OK) 估算區(qū)域降水中的差異，指出 TPS 的精度要高于后兩種算法；舒守娟等[3]建立了以經(jīng)緯度、高程、坡度、坡向?yàn)轭A(yù)測變量的年、季降水回歸模型，估算了青藏高原的降水空間分布；石朋等[4-6]均發(fā)現(xiàn)加入高程信息的協(xié)克里金法(Co-kriging,CK)對降水的估算精度要高于OK法。同時(shí)，除了傳統(tǒng)的降水空間估算法，近年來，一些學(xué)者又從多源降水信息融合的角度來研究降水空間估算，如胡慶芳[7]根據(jù)衛(wèi)星降水信息提供的背景場與地面降水觀測進(jìn)行融合，建立了3種降水融合模型；潘旸等[8]采用貝葉斯融合法實(shí)現(xiàn)了雷達(dá)估測降水、衛(wèi)星反演降水與地面站點(diǎn)觀測降水3種資料的融合。

在眾多空間估算方法中，廣義可加模型(Generized Addictive Model，GAM)是一種基于非參數(shù)回歸和平滑技術(shù)發(fā)展起來的方法，其優(yōu)點(diǎn)是：沒有參數(shù)方法對先驗(yàn)分布的限制條件；能靈活地將參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)加入到模型中[9]，便于揭示不同預(yù)測變量與響應(yīng)變量的非線性影響。目前，該方法在降水等氣象水文要素的空間估算中已得到一定應(yīng)用，如J.Aalto等[10]采用GAM和外部漂移的克里金法(KED)分別對芬蘭1981—2010年的月均氣溫和月均降水進(jìn)行插值，發(fā)現(xiàn)GAM的月均氣溫插值精度比KED更高，但在月均降水插值精度上較KED略低；C.Huang等[11]采用GAM中的薄板平順樣條函數(shù)融合遙感降水?dāng)?shù)據(jù)和地面雨量站網(wǎng)數(shù)據(jù)，估算了新西蘭的日降雨空間分布，其估算結(jié)果精度較高，但研究中未將高程作為預(yù)測變量。

為深化對廣義可加模型在降水空間估算中的適用性和可靠性的認(rèn)識，本文以太湖流域浙西區(qū)為研究區(qū)域，采用區(qū)域及周邊33個(gè)雨量站連續(xù)25年(1989—2013年)的降水觀測數(shù)據(jù)，開展廣義可加模型估算年降水量空間分布的研究。針對前人在GAM降水空間估算中未引入高程作為預(yù)測變量，在此研究中引入高程因子，并采用多種定量精度指標(biāo)，基于連續(xù)25年的模型擬合結(jié)果，探討GAM考慮不同預(yù)測因子對年降水空間估算結(jié)果的影響，特別是針對是否將高程作為預(yù)測變量情況下降水估算結(jié)果的差異加以分析，其研究結(jié)果可為地形條件復(fù)雜的山丘區(qū)降水空間估算、水文分析計(jì)算及水資源評價(jià)提供科學(xué)依據(jù)。

1 研究方法

1.1 模型基本原理

GAM是廣義線性模型(GLM)的半?yún)?shù)擴(kuò)展，由T.J.Hastie和R.J.Tibshirani在1990年提出[12]。與廣義線性模型相似，GAM包括1個(gè)隨機(jī)成分，1個(gè)可加成分，以及1個(gè)連接函數(shù)(用于連接這兩個(gè)成分)。該模型假設(shè)函數(shù)是相加的，函數(shù)的組成成分是非參數(shù)的光滑函數(shù)：

g{μ(X)}=α+f1(X1)+f2(X2)+…+fp(Xp)+ε

(1)

式中：α+f1(X1)+…+fp(Xp)為可加成分;g(μ)為連接函數(shù)，μ=E(Y/X1，X2，X3，…，Xp);α為截距;ε為殘差變量;fi(Xi)(i=1,2,…)是針對每個(gè)解釋變量的任意單變量光滑函數(shù)，且各項(xiàng)沒有具體的參數(shù)形式，響應(yīng)變量的分布可以是指數(shù)分布族中的任意一員，如二項(xiàng)分布、Poission分布、Gamma分布等，即：

(2)

式中：θ為自然參數(shù);φ為尺度參數(shù)。

與廣義線性模型相比，廣義可加模型更加強(qiáng)調(diào)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分參數(shù)的探索，因而大大降低了線性設(shè)定帶來的模型設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)[13]。由于對樣本的要求較少，使得廣義可加模型的應(yīng)用較為廣泛。

1.2 模型建立方法

以雨量站的經(jīng)度、緯度和高程為預(yù)測變量，以年降水量為響應(yīng)變量，建立GAM模型，并按照有無高程因子作為預(yù)測變量，模型1采用各站點(diǎn)的經(jīng)向、緯向坐標(biāo)作為預(yù)測變量，模型2在經(jīng)緯向坐標(biāo)的基礎(chǔ)上增加高程作為預(yù)測變量。兩個(gè)模型的數(shù)學(xué)形式為：

P1=α0+f1(x)+f2(y)+ε

(3)

P2=α0+f1(x)+f2(y)+f3(h)+ε

(4)

式中：P1和P2為各站年降水量;α0為截距；f1,f2,f3分別為經(jīng)向、緯向坐標(biāo)和高程對應(yīng)的非參數(shù)光滑函數(shù)；ε為殘差變量。

按照式(3)和(4)，對每一年分別建立GAM估算模型，建模過程如下：分別采用各站點(diǎn)年降水?dāng)?shù)據(jù)及經(jīng)向、緯向坐標(biāo)和高程值擬合式(3)和(4)，估算出樣條函數(shù)f1，f2，f3的系數(shù)和β0，ε，該建模過程通過R語言環(huán)境下“mgcv”包[14]中的“gam”函數(shù)實(shí)現(xiàn)；當(dāng)參數(shù)估算完成后，即可計(jì)算各空間位置對應(yīng)的降水量，從而得到降水空間估算結(jié)果。計(jì)算過程通過“mgcv”包中的“predict”函數(shù)完成。

本次建模中，“mgcv”包為預(yù)測變量提供了不同的平滑函數(shù)[15]以及它們的連接方式，平滑函數(shù)包括平滑樣條、張量積平滑和張量積相互作用函數(shù)，本次擬合采用最為常用的平滑樣條函數(shù)。平滑樣條函數(shù)是分段多項(xiàng)式擬合函數(shù)，常用極小化懲罰平方和來求解：

(5)

平滑函數(shù)節(jié)點(diǎn)間的連接方式包括薄板光滑樣條、三次回歸樣條、P-樣條和自適應(yīng)樣條。因此，GAM比通常采用的薄板光滑樣條函數(shù)更具有普適性。根據(jù)交叉驗(yàn)證的精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果，選用擬合精度最高的3次回歸樣條來表示各預(yù)測變量中的平滑項(xiàng)f1，f2，f3，其表達(dá)式為三次多項(xiàng)式：

(6)

1.3 模型性能評價(jià)

采用AIC準(zhǔn)則[16]以及修正后的決定系數(shù)(AdjustedR2，修正R2)來比較不同模型擬合的優(yōu)良性。AIC準(zhǔn)則同時(shí)考慮了模型的統(tǒng)計(jì)擬合度以及參數(shù)數(shù)量的影響。MAIC值越小，模型性能越好；對決定系數(shù)進(jìn)行修正是為了體現(xiàn)GAM中預(yù)測變量數(shù)量不同對估算結(jié)果的影響，修正后決定系數(shù)較大的模型應(yīng)該優(yōu)先選擇。

(7)

(8)

(9)

根據(jù)留一法交叉驗(yàn)證[17]得到的4項(xiàng)精度指標(biāo)反映所建模型的計(jì)算精度及預(yù)測能力，分別為各站點(diǎn)實(shí)測值與擬合值的平均絕對誤差、平均相對誤差、均方根誤差以及線性相關(guān)系數(shù)。

2 研究區(qū)域與數(shù)據(jù)

浙西區(qū)是太湖流域8個(gè)一級水利分區(qū)之一，位于太湖流域西南(如圖1(a)所示)，面積為5 931 km2，占太湖流域面積的16.8%。浙西區(qū)的地形條件比較復(fù)雜，地面高程在2～1 578 m之間，山地和丘陵面積為4 608 km2，約占整個(gè)區(qū)域面積的78%。浙西區(qū)各站多年平均降水量為1 022～1 879 mm，是太湖流域降雨量最高的地區(qū)，加之該區(qū)位于太湖流域上游，使得該區(qū)成為太湖水量的主要來源地區(qū)之一。據(jù)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)入湖水量約占太湖總?cè)牒康?0%[18]。受地形影響，浙西區(qū)降雨空間分布差異較大。

目前，浙西區(qū)已經(jīng)建立了比較密集的雨量站網(wǎng)，且具備較長系列的降雨觀測資料，可供建立降水空間估算模型。根據(jù)水利部水文局刊印的水文年鑒及太湖流域管理局提供的資料，整理了1989—2013年(共25年)浙西區(qū)33個(gè)雨量站的年降水量，雨量站空間分布如圖1(b)所示。同時(shí)，獲取了這33個(gè)雨量站點(diǎn)的Lambert投影坐標(biāo)，并采用DEM提取了這些站點(diǎn)的高程。

3 結(jié)果分析與討論

3.1 年降水估算模型精度

按照是否將高程作為預(yù)測因子，針對各年降水量建立了兩個(gè)GAM模型。其中，模型1的預(yù)測變量為經(jīng)緯向坐標(biāo)，模型2為經(jīng)緯向坐標(biāo)和高程。表1給出了1989—2013年兩個(gè)模型精度指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。由該表可知：與模型1相比，模型2各年相關(guān)系數(shù)的均值、最大值、最小值均明顯提高，各年平均絕對誤差，平均相對誤差和均方根誤差的均值、最小值、最大值均明顯下降。同時(shí)，模型2各項(xiàng)精度指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差均低于模型1。因此，相比于模型1，模型2的估算精度更高、更穩(wěn)定。這說明，對于浙西區(qū)而言，高程對降水量的空間分布具有重要影響，在降水空間估算過程中對高程因子的作用應(yīng)當(dāng)予以考慮。

表1 兩個(gè)模型擬合結(jié)果定量精度指標(biāo)統(tǒng)計(jì)(1989—2013年)

Tab.1 Statistical results of quantitative precision indexes of two GAM models (1989—2013)

精度指標(biāo)模型1模型2均值最小值最大值標(biāo)準(zhǔn)差均值最小值最大值標(biāo)準(zhǔn)差平均絕對誤差(mm)122.487.6176.928.6117.975.9149.121.6平均相對誤差(%)10.06.013.00.018.05.011.00.02均方根誤差157.3114.7225.438.7154.098.9213.533.1相關(guān)系數(shù)0.710.520.880.210.820.620.930.19

根據(jù)各年份模型精度指標(biāo)，選擇精度較高的2007和2009年，繪制各站點(diǎn)年降水量GAM擬合值和實(shí)測值散點(diǎn)圖(如圖2)。1989—2013年兩個(gè)模型的MAIC值和修正后的R2值見圖3。

圖2 兩個(gè)模型實(shí)測-擬合值對比(2009年)Fig.2 Comparison between measured and fitted annual rainfall in two GAM models in 2009

圖3 兩個(gè)模型MAIC值及修正R2值比較Fig.3 Comparison between MAIC and adjusted R2 values in two GAM models

由圖2可知，相比于模型1，加入了高程因子作為預(yù)測變量的模型2的點(diǎn)據(jù)更為集中在y=x附近，其實(shí)測-擬合回歸線與y=x基本重合，擬合程度更好。由圖3可知：在1989—2013年，除個(gè)別年份外，模型2的MAIC值均低于模型1，且修正R2值均高于模型1。這一結(jié)果進(jìn)一步說明，相比于模型1，模型2能更好地?cái)M合出浙西區(qū)的降水空間分布，在建模過程中應(yīng)當(dāng)考慮高程。

3.2 年降水量影響因子

GAM中各預(yù)測因子對降水空間分布的獨(dú)立影響可以用模型偏效應(yīng)圖[9]來表示。圖4～5分別為模型1和模型2的偏效應(yīng)圖(以2013年為例，其他年份類似)。其中，x軸表示各預(yù)測因子，y軸代表該預(yù)測因子的光滑函數(shù)，陰影部分表示95%的貝葉斯置信區(qū)間。由圖可知：對于模型1，年降水量隨緯度的增加明顯降低，隨經(jīng)度增加有一定變化，但其規(guī)律較為雜亂；對于模型2，年降水量隨緯度的增加明顯減少，隨高程的增加明顯增加，但隨經(jīng)度的增加沒有明顯變化，其趨勢線比較平緩?？梢姡陬A(yù)測變量中直接加入了高程因子后，經(jīng)向坐標(biāo)對年降水量的影響已基本被排除。因此，綜合圖4和5，浙西區(qū)年降水量的主要影響因子是緯向坐標(biāo)和高程，經(jīng)向坐標(biāo)的實(shí)際影響較小。

圖4 模型1偏效應(yīng)(2013年)Fig.4 Partial effect graph for GAM based on annual rainfall interpolation model 1 in 2013

圖5 模型2偏效應(yīng)(2013年)Fig.5 Partial effect graph for GAM based on annual rainfall interpolation model 2 in 2013

3.3 年降水空間估算結(jié)果

根據(jù)率定好的GAM降水估算模型，得到了1989—2013年浙西區(qū)1 000 m×1 000 m分辨率的年降水量空間估算結(jié)果。根據(jù)各年份兩個(gè)模型的MAIC值和修正R2值，同時(shí)考慮到模型的統(tǒng)計(jì)精度，選擇2007年、2009年展示了浙西區(qū)年降水估算結(jié)果(見圖6)。由圖6可知，兩個(gè)模型的降水空間估算結(jié)果均表現(xiàn)為南多北少的總體格局。但模型1只能描述年降水量在空間上的趨勢性分布，而模型2加入高程作為預(yù)測變量后可以較好地再現(xiàn)年降水量受地形影響的特征，展現(xiàn)年降水量在空間上的局地性、細(xì)節(jié)性變化規(guī)律。兩個(gè)模型估算結(jié)果之差在浙西區(qū)的分布主要有以下2個(gè)特征：在浙西區(qū)南部，模型2的估算結(jié)果基本要高于模型1，在浙西區(qū)北部則正好相反；兩個(gè)模型估算結(jié)果之差的高值區(qū)與浙西區(qū)海拔高值區(qū)有較好的對應(yīng)性(見圖1(b))。

為驗(yàn)證估算結(jié)果的準(zhǔn)確性，查閱了《太湖流域及東南諸河水資源公報(bào)》[19-20]以及《太湖流域片水情年報(bào)》[21-22]，2007年、2009年浙西區(qū)年降水量分別為1 319.2和1 459.1 mm，同時(shí)，年降水整體表現(xiàn)為由南向北遞減，高值區(qū)均位于該區(qū)西南，高值區(qū)的年降水量超過2 000 mm，而2007年模型1、模型2相應(yīng)值分別為1 370.9 和1 281.6 mm，2009年模型1、模型2 相應(yīng)值分別為1 560.1和1 498.3 mm；對比兩類模型的插值結(jié)果可知：模型2的降水空間估算結(jié)果與水資源公報(bào)中的降水空間分布更為吻合?？梢缘贸觯夯谀Ｐ?的插值結(jié)果更能準(zhǔn)確反映浙西區(qū)降水的空間分布。

圖6 基于2個(gè)模型的浙西區(qū)降水空間估算結(jié)果及其計(jì)算結(jié)果之差Fig.6 Differences between estimated and calculated values based on annual precipitation spatial estimating results in two GAM models

4 結(jié) 語

采用太湖流域浙西區(qū)33個(gè)雨量站1989—2013年的降水觀測資料，建立了基于GAM的年降水量空間估算模型，借助多種精度指標(biāo)，評估了模型的可靠性，同時(shí)分析了經(jīng)度、緯度、高程3種預(yù)測因子對降水空間分布估算的影響。結(jié)果表明，加入了高程因子作為GAM的預(yù)測變量后，浙西區(qū)年降水量空間估算精度更高、更穩(wěn)定，且能夠更加準(zhǔn)確反映年降水量空間分布受地形影響的細(xì)節(jié)特征。因此，在浙西區(qū)降水空間估算過程中應(yīng)當(dāng)對高程的作用合理描述。同時(shí)，在空間上浙西區(qū)年降水量表現(xiàn)為隨緯度增加而減少的規(guī)律，但隨經(jīng)度的變化規(guī)律不明顯。

對GAM在降水空間分布估算中的應(yīng)用作了初步研究，相比于國內(nèi)外其他研究成果，重在分析地形因子對GAM降水空間估算模型精度的提升作用，為地形復(fù)雜的山丘區(qū)降水空間估算及水資源評價(jià)提供了一定參考。在后續(xù)研究中，將進(jìn)一步開展基于GAM的月降水量、日降水量空間分布估算研究；此外，可考慮在預(yù)測因子中進(jìn)一步增加坡度和坡向等地形因子，以提高模型的預(yù)測合理性。

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[21]水利部太湖流域管理局.2007年太湖流域片水情年報(bào)[R].上海：水利部太湖流域管理局,2009.(Taihu Basin Authority of Ministry of Water Resources.Hydrological information annual report of Taihu Lake basin in 2007[R].Shanghai：Taihu Basin Authority of Ministry of Water Resources,2009.(in Chinese))

[22]水利部太湖流域管理局.2009年太湖流域片水情年報(bào)[R].上海：水利部太湖流域管理局,2010.(Taihu Basin Authority of Ministry of Water Resources.Hydrological information annual report of Taihu Lake basin in 2009[R].Shanghai：Taihu Basin Authority of Ministry of Water Resources,2010.(in Chinese))

Precipitation spatial estimation based on generalized additive model and its preliminary application

WANG Lei-zhi1，HU Qing-fang1，WANG Yin-tang1，HU Yan2，LIU Yong1

(1.StateKeyLaboratoryofHydrology-WaterResourcesandHydraulicEngineering,NanjingHydraulicResearchInstitute,Nanjing210029,China; 2.HydrologyBureau(InformationCenter),TaihuBasinAuthority,Shanghai220000,China)

With the aid of the observation data obtained from 33 precipitation stations during 1989—2013 in the western region of Zhejiang Province within the Taihu Lake watershed,a predictive model for the annual precipitation spatial estimation has been developed based on the generalized additive models (GAM),by use of them an annual precipitation data set with 1 000 m×1 000 m spatial resolution in the study area was gained.By several statistical indexes making analysis of influences of different predictive variables on the precipitation spatial estimation results,the accuracy and reliability of GAM based on the interpolation method were evaluated,especially comparing the differences between two kinds of the models in estimating the annual precipitation space whether or not it selects an elevation as the predictive variable.The analysed and estimated results show that,after taking the elevation as the predicative variable,whether the GAM performance or the precipitation spatial estimation accuracy were improved apparently,which can reasonably reflect the precipitation spatial distribution influenced by the topographic factors in the study area.In addition,it is found from the GAM partial effect graphs that the annual precipitation amount obviously decreased with the increase of the latitude and remarkably increased with the increase of the altitude in the study area,however,there were no obvious changes in the annual precipitation amount with the increase of the longitude.

precipitation spatial estimation; annual precipitation amount; generalized additive model; the Taihu Lake watershed

10.16198/j.cnki.1009-640X.2016.06.007

王磊之，胡慶芳，王銀堂，等.基于廣義可加模型的降水空間估算模型[J].水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào),2016(6):44-51.(WANG Lei-zhi,HU Qing-fang,WANG Yin-tang,et al.Precipitation spatial estimation based on generalized additive model and its preliminary application[J].Hydro-Science and Engineering,2016(6):44-51.)

2015-09-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51109136)；水利部科技推廣計(jì)劃項(xiàng)目(TG1528)；水利部公益性行業(yè)科研專項(xiàng)項(xiàng)目(201301075，201501014)

王磊之(1991—)，男，江蘇句容人，博士研究生，主要從事水文水資源方面的研究。E-mail:wanglz@nhri.cn 通信作者：胡慶芳(E-mail:hqf_work@163.com)

P332.1

A

1009-640X(2016)06-0044-08