蔣麗東,薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

G-錐度量空間中壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理

蔣麗東,薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

給出了G-錐度量空間的概念,利用迭代法探究了G-錐度量空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理,證明了在G-錐度量空間中錐沒有正規(guī)性的條件下壓縮映射存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

G-錐度量空間;壓縮映射;不動(dòng)點(diǎn)定理

1 引言

2005年Mustafa Z,Sims B在文獻(xiàn)[1]提出了G-度量空間的概念,它是度量空間的一種推廣,G-度量空間的理論已經(jīng)有了較大的發(fā)展,尤其是在G-度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)理論方面,已取得許多重要的研究成果.2007年文獻(xiàn)[2]中用序巴拿赫空間取代實(shí)數(shù),推廣了度量空間,引入了錐度量空間,并在錐的正規(guī)性條件下證明了壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理,有關(guān)錐度量空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)理論也有較大發(fā)展.2010年文獻(xiàn)[3]中提出了G-錐度量空間的概念,推廣了G-度量空間與錐度量空間.本文在G-錐度量空間中,不要求錐具有正規(guī)性的條件下,研究了壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)的存在性問題,獲得了兩個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)定理,推廣和改進(jìn)了前人的相關(guān)結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1[2]設(shè)E是實(shí)巴拿赫空間,P是E中的子集，如果P滿足：

(1)P是非空閉集,P/{θ};

(2)λ∈R,λ≥0,x∈P,可得λx∈P;

(3)P∩-P={θ}.

則稱P是E中的一個(gè)錐.

定義2.2[3]設(shè)X是非空集,假設(shè)映射G：X×X×X→E,滿足：

(1)?x,y,z∈X,G(x,y,z)=0?x=y=z;

(2)?x,y∈X,當(dāng)x≠y時(shí),G(x,x,y)＞0;

(3)?x,y,z∈X,當(dāng)y≠z時(shí),G(x,x,y)≤G(x,y,z);

(4)?x,y,z∈X,G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,x,z)=···(關(guān)于這三個(gè)元素滿足對(duì)稱關(guān)系);

(5)?x,y,z,a∈X,G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(a,y,z).

則稱G為X上的一個(gè)廣義錐度量,稱(X,G)為G-錐度量空間.

定義2.3[1]設(shè)X是一個(gè)G-錐度量空間,{xn}?X,

(1)?c∈E且c?θ,存在正數(shù)N,當(dāng)?m,n,l＞N,有G(xm,xn,xl)?c,則稱{xn}為X中的Cauchy列;

(2)?c∈E且c?θ,存在正數(shù)N,當(dāng)?m,n＞N,有G(xm,xn,x)?c,則稱{xn}為X中的收斂列;其中x為X中的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),稱序列{xn}G-收斂于x.

如果X中每個(gè)Cauchy列在X中都是收斂的,則稱G-錐度量空間是完備的.

引理2.1[3]設(shè)(X,G)為G-錐度量空間,則以下結(jié)果等價(jià)：

引理2.2[3]設(shè)(X,G)為G-錐度量空間,?x,y,z,a∈X,有以下結(jié)論成立

3 主要結(jié)果及其證明

定理3.1設(shè)(X,G)是完備的G-錐度量空間,設(shè)映射T：X→X,?x,y,z∈X.滿足條件：

其中

則T在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

定理3.2設(shè)(X,G)是完備的G-錐度量空間,設(shè)映射T：X→X,?x,y,z∈X.滿足條件：

參考文獻(xiàn)

[1]Mustafa Z,Sims B.A new approach to a generalized metric spaces[J].Nonlinear Convex Anal.,2006,7：289-297.

[2]Huang L G,Zhang X.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J].Math.Anal.Appl.,2007,332：1468-1476.

[3]Beg I,Abbas M,Nazir T.Generalized cone metric spaces[J].Nonlinear Sci.Appl.,2010,3：21-31.

[4]Fridoun M,Peyman S.Some new extensions of Edelstein-Suzuki-Type fixed point theorem to G-metric and G-cone metric spaces[J].Acta.Math.Sci.,2013,33B(4)：1049-1058.

[5]曹小雙,林存津,劉煒.G-錐距離空間中廣義 c距離的不動(dòng)點(diǎn)定理[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014,34(2)：40-45.

[6]江李躍,林鋒鋒.G-度量空間中廣義Geraghty型映射的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào),2014,34(10)：5-8.

[7]周書行,谷峰.G-度量空間中兩對(duì)非相容映象的幾個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(3)：418-426.

[8]Nguyen Van Luong,Nguyen Xuan Thuan.Coupled fixed point theorems in partially ordered G-metric spaces[J].Math.Comput.Modelling,2012,55：1601-1609.

[9]Prudhvi K.Common fixed points in cone metric spaces[J].Math.Anal.,2013,2：25-27.

[10]Choudhury B S,Metiya N.Fixed points of weak contractions in cone metric space[J].Nonlinear Anal., 2010,72(3)：1589-1593.

[11]Abbas M,Rhoades B E.Fixed and periodic point results in cone metric spaces[J].Appl.Math.Let., 2009,22(4)：511-515.

[12]Issk Altun,Durmaz G.Some fixed point theorems on ordered cone metric spaces[J].Rend.Circ.Mat.Palermo.,2009,58：319-325.

Fixed point theorems of contraction mapping in G-cone metric spaces

Jiang Lidong,Xue Xifeng
(College of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

This paper introduces the concept of G-cone metric spaces,by using iterative method we explore some fixed point theorems of contraction mapping in G-cone metric spaces,and obtain some new fixed point theorems for the contractive mapping in G-cone metric spaces without the assumption normality.

G-cone metric spaces,the contractive mapping,fixed point theorems

O177.91

A

1008-5513(2016)06-0618-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.007

2016-07-15.

陜西省自然科學(xué)基金(2012JM1017).

蔣麗東(1992-),碩士,研究方向：非線性泛函分析.

薛西鋒(1961-),博士,教授,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10