李廣修

(江蘇無錫市第一中學 214031)

數(shù)學概念的學習是數(shù)學學習的核心．首先，數(shù)學概念反映了數(shù)學對象的本質(zhì)特征及內(nèi)在聯(lián)系，是構(gòu)建數(shù)學公理、原理、定理、公式、法則的基石，是數(shù)學思想方法的載體．其次，數(shù)學概念的學習過程，是感受數(shù)學文化，培養(yǎng)抽象、概括、推理、建模等能力的過程，這個過程猶如卡拉托斯所指出的那樣，由模糊想法，到不斷調(diào)整、精致，再到形式化、符號化，直至到作為一個知識網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點．再次，掌握數(shù)學概念，也是成功解題所必須的．數(shù)學題量雖浩瀚如題海，但其表達一般都是用數(shù)學概念、符號，特別是一些核心概念，被頻繁使用，因此掌握數(shù)學概念對理解題意既是必要的，也是高效的．不僅如此，數(shù)學題中反映數(shù)學概念的詞語、符號，也會激活、啟發(fā)解題者的“概念原型”直覺，產(chǎn)生解題念頭．尤其是在解決難以從條件向目標綜合的題目時，往往需要抓住目標進行分析，而分析的對象便是題目中所涉及的數(shù)學概念，或是與數(shù)學概念有密切聯(lián)系的數(shù)學方法．

本文以函數(shù)單調(diào)性概念為例，談?wù)剶?shù)學概念學習對解題的影響．

1 概念對解題的程序引動有策應(yīng)作用

由于大多數(shù)學定理、公式、運算法則知識的建構(gòu)，是以定義數(shù)學概念為先導的，這些數(shù)學原理、定理、運算法則必然表現(xiàn)出相關(guān)數(shù)學概念的意義．而解題的程序，又總是和數(shù)學原理、定理、運算法則等相聯(lián)系，故而，一些解題程序也就必然和一些數(shù)學概念相策應(yīng)．如，函數(shù)單調(diào)性概念，自然的引動證明函數(shù)單調(diào)性的幾個步驟．而數(shù)列(函數(shù))的極限這一經(jīng)典概念，更是明顯地與證明極限的程序相策應(yīng)．

案例1已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，x∈R有兩個零點(a∈R)．

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2．

(Ⅱ)是高考數(shù)學中的難題．如果能預(yù)判使用函數(shù)單調(diào)性證法，還是有可能找到解題途徑的．事實上，題目的結(jié)構(gòu)為系列型，第一問求a的取值范圍，用的是函數(shù)單調(diào)性．第二問的解答可能以第一問為鋪墊，于是產(chǎn)生也用單調(diào)函數(shù)法的預(yù)判．如何運用函數(shù)單調(diào)性呢？聯(lián)想單調(diào)性概念，要證明x1+x2<2，只要證明x1<2-x2(為了構(gòu)造單調(diào)性概念中自變量取的兩個值)，進而運用函數(shù)單調(diào)性等價轉(zhuǎn)換為證明x1與2-x2的函數(shù)值的大?。匀坏?，需要判斷x1和2-x2屬于f(x)的哪一個單調(diào)區(qū)間．由(I)知a>0，x1和x2在1的兩側(cè)，不妨設(shè)x1>1，x2<1，于是x1，2-x2都屬于函數(shù)f(x)的增區(qū)間[1，+∞)，故只要證明f(x1)

從案例1不難看出，函數(shù)單調(diào)性概念的定義中所表現(xiàn)出的數(shù)量化、符號化內(nèi)涵，與證明不等式的單調(diào)函數(shù)法的運作程序相策應(yīng)．

有的學生在解答“已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n2-tn-1，若數(shù)列{an}是增數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍是”時，會用二次函數(shù)的單調(diào)性，得出錯誤答案“t≤2”．之所以出錯，是混淆了區(qū)間上單調(diào)性、離散型單調(diào)性這兩個概念所致，而并不意味著一定是方法不會．

2 概念對解題的廣泛聯(lián)想有啟發(fā)作用

數(shù)學題的陳述，為了準確、簡練，一般地是使用數(shù)學概念、符號、記號．這是具有數(shù)學學科特點的信息傳輸方式．為了能夠順利地解答數(shù)學題，要能認讀、感知、領(lǐng)會數(shù)學題中的每個數(shù)學術(shù)語、圖表、符號的含義，對問題的表征“能用自己的語言來敘述出來”，能根據(jù)數(shù)學原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，達到對數(shù)學題的本真理解，形成對所要解決的題目的整體認知，特別要形成關(guān)注、分析題目中數(shù)學概念，推動啟發(fā)解題聯(lián)想的產(chǎn)生的意識．由于學生解答的數(shù)學題目，較多的是常規(guī)題，而解答常規(guī)題，所用的方法主要是轉(zhuǎn)化、分解，所用的思維主要是分析、聯(lián)想，從而不斷地追問、分析題目中數(shù)學概念含義，對于啟發(fā)聯(lián)想出解題方法的多種念頭，顯得尤為重要．

案例2若函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0，+∞)上的單調(diào)函數(shù)，且對一切正實數(shù)x，都有f[f(x)-lgx+5]=6，則函數(shù)f(x)的解析式為．

對于這道數(shù)學題，如果能夠從題目所涉及的數(shù)學概念去作不斷的追問，便會激活解題的聯(lián)想：定義在區(qū)間 (0，+∞)上的單調(diào)函數(shù)f(x)這個條件含義是什么呢？由單調(diào)函數(shù)的概念的數(shù)量化特征或圖示直觀，知函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)增(減)，即自變量大的值對應(yīng)的函數(shù)值也大(小)．從而，由f[f(x)-lgx+5]=6可知，f(x)-lgx+5只能是常數(shù)．至此決策，從f(x)-lgx+5為常數(shù)入手．

解由題意，可設(shè)f(x)-lgx+5=A①，其中A是與自變量x無關(guān)的常數(shù)，且A>0，一方面，在f(x)-lgx+5=A中，令x=A，得f(A)-lgA+5=A②；再一方面，將f(x)-lgx+5=A帶入f[f(x)-lgx+5]=6，得f(A)=6③．

將③帶入②，得A+lgA=11，設(shè)函數(shù)g(x)=x+lgx，則g(A)=g(10)，且g(x)在(0，+∞)上單調(diào)增，于是，A=10．再將A=10帶入①，得f(x)=lgx+5，驗證f(x)=lgx+5符合題設(shè)．

3 概念對解題的抓住題眼有導發(fā)作用

概念意象和概念定義是概念的兩個側(cè)面．概念定義就是通過詞語、符號對概念內(nèi)涵作出界定、陳述，是外部表征的主要形式、交流的工具，具有形式化屬性；而概念意象則是指與概念直接相聯(lián)系的各種心理成分的總和，是內(nèi)部表征的主要形式、思維的重要組成部分，具有個體屬性、模糊屬性．如果學生在學習概念時，能從經(jīng)驗出發(fā)，且情感、思維也都能高度參與到概念發(fā)生、發(fā)展的學習活動中，大腦存儲的信息就會增加與概念相聯(lián)系的對象的數(shù)目和強度，從而提高理解概念定義的水平，推進記憶，迅速認知題目本質(zhì)，快捷抓住題眼．在認識、抓住題眼的過程中，起關(guān)鍵性作用的是概念原型．李善良教授指出，概念原型有實例原型、圖像原型、表達式原型、操作式原型、程序式原型、歸納式原型．

對于案例3的求解，我們會發(fā)現(xiàn)不少高三學生是從計算f(p+1)、f(q+1)入手，結(jié)果無功而返．這其中，一部分學生是毫無目標的運算求解，或是嘗試發(fā)現(xiàn)．另一部分學生雖然關(guān)注了式子結(jié)構(gòu)，甚至已經(jīng)把p-q變形為(p+1)-(q+1)，就是不能剝?nèi)グb，洞悉其最為關(guān)鍵的條件——自變量在區(qū)間[2，3]上任取兩個值p+1，q+1，較大的自變量的值對應(yīng)的函數(shù)值也大，即函數(shù)f(x)在[2，3]上單調(diào)增．而這恰是函數(shù)單調(diào)性概念的操作式原型．

學生為什么會出現(xiàn)上述問題，陷入解題困境？最有可能的原因是，學生在當初學習函數(shù)單調(diào)性概念時，并沒有浸染函數(shù)單調(diào)性的操作式原型．一些教師認為，高一學生對單調(diào)性概念的認識，能由圖像走勢的直觀描述，自然、容易的順應(yīng)到符號化、數(shù)量化的入微刻畫，于是在概念教學時開快車，在學生對概念的認識還處于混沌狀態(tài)時，就讓學生去解題，表面上學生也能依葫蘆畫瓢，而實際上，學生未能超越依圖解釋、靠個別例子支持認識的認知層次，未能從直觀的具體的認識上升到抽象認識，概念印跡也較膚淺．這樣，就導致概念容易被遺忘，見到經(jīng)過包裝的單調(diào)性概念更難以用概念原型“識破廬山真面目”了．

4 任何概念都有可能成為解題的關(guān)鍵

解答數(shù)學綜合題，用到的數(shù)學概念比較多．如果對于綜合題所涉及的概念有一個沒弄明白，那么都有可能導致解題受挫；反過來，也有可能受綜合題中的某個概念的意義的觸類旁通，而引發(fā)出解題思路的靈感．于是，掌握了這個概念便成了這次解題成功的關(guān)鍵．然而，我們在解題前并不能預(yù)判哪些概念在這次解題中會起到關(guān)鍵作用，這就需要無功利心的學好每一個概念，進而構(gòu)建良好的概念網(wǎng)絡(luò)．構(gòu)建良好的概念網(wǎng)絡(luò)，能促進對概念實質(zhì)性理解，也有利于概念間相互激活和聯(lián)動．就建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的良好概念網(wǎng)絡(luò)而言，縱的聯(lián)系，以函數(shù)的概念、區(qū)間的概念、代數(shù)式變形、實數(shù)運算符號為邏輯前提，會用三種語言表征，會熟練地判斷函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間．且在縱的聯(lián)系的節(jié)點上，需要適度生長．如，在圖形表征上，要溝通函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像的割線的斜率、切線的斜率，甚至與函數(shù)的凹凸性的聯(lián)系．橫的聯(lián)系，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的極值、最值、值域、零點個數(shù)、單射的聯(lián)系，與導數(shù)的聯(lián)系，與解不等式、證明不等式的聯(lián)系．其中與導數(shù)的聯(lián)系，突破了初等數(shù)學的限閾，有了質(zhì)的飛躍．概念所蘊藏的表征自變量取任意兩個值的方法、數(shù)量化的思想也是概念網(wǎng)絡(luò)中的對象．

案例4設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+(1+a)x2+(4-a2)x-b，x∈R，其中a、b是常數(shù)，且1是函數(shù)f(x)的零點．若存在正實數(shù)，使得當x∈[1-，1+]時，總有f(x)≤0，求的最大值．

我們來看案例4中涉及的概念：明顯的有，函數(shù)，常數(shù)，函數(shù)零點，等．隱蔽的有，函數(shù)的最大值，這要由f(x)≤0=f(1)在區(qū)間[1-，1+]恒成立，得出函數(shù)f(x)在區(qū)間[1-，1+]上的最大值于x=1處取得．更為隱蔽的概念是，函數(shù)的極大值點：f(x)≤f(1)在區(qū)間[1-，1+]恒成立，得出在x=1的兩側(cè)附近，函數(shù)f(x)的值都不超過x=1處的函數(shù)值，x=1是極大值點．對于本例，極大值的概念恰在無形中成為突破解題成功的關(guān)鍵：由以上分析，得f(1)=0，將它和f(1)=0聯(lián)立，解出a=-1和a=6．檢驗：當a=6時，在x=1的左側(cè)附近，f(x)單調(diào)減，x=1的右側(cè)附近，f(x)單調(diào)增，故f(1)是最小值，不符．類似的，檢驗a=-1符合，此時b=2．再由f(x)≤0，解得x≥-2．考慮到x∈[1-，1+]，f(x)≤0恒成立，得正數(shù)的最大值是3．

5 概念對形式化推理產(chǎn)生基礎(chǔ)性影響

數(shù)學概念是數(shù)學的思維基本單位，是形成判斷、推理的基礎(chǔ)．形式化的數(shù)學推理，更是將其涵義豐富卻又高度抽象的數(shù)學概念，壓縮成詞或符號，使之成為推理元素．也就是抽象概念表現(xiàn)為對象結(jié)構(gòu)，雖然不知道抽象概念的代表者是什么，但是理解了抽象概念的含義，知道了它是由其含義所確定的，便在推理的過程中以它為對象加以運用，這從而提高了推理的嚴謹性和規(guī)范性，提升了抽象思維水準．形式化推理問題，是中學培養(yǎng)推理能力的最高層次問題，也是學生最難以操控的問題．高考數(shù)學中一些壓軸的代數(shù)推理問題，大都是此類問題．為了學會數(shù)學，必須讓學生去學習用已經(jīng)學會的抽象概念去構(gòu)造更高級的抽象概念，去操演周旋于抽象概念及其相互關(guān)系的圈子之中的形式化推理．

數(shù)學概念作為形式化推理的對象，需要將數(shù)學概念作為判定定理，同時作為性質(zhì)定理，還需要將概念派生出的一些性質(zhì)也作為定理加以運用．對于在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)概念，作為判定定理：若函數(shù)f(x)對于一區(qū)間上的任意的x1，x2，當x1>x2時都有f(x1)>f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)增．作為性質(zhì)定理：若函數(shù)f(x)在一區(qū)間上單調(diào)增，則對于該區(qū)間上的任意x1，x2，當x1>x2時都有f(x1)>f(x2)．而單調(diào)增函數(shù)概念派生的性質(zhì)：若函數(shù)f(x)在一區(qū)間上單調(diào)增，x1，x2是該區(qū)間上的任意兩個值，則“x1>x2”和“f(x1)>f(x2)”等價；單調(diào)函數(shù)最多有一個零點，這些也都可以作為定理直接的加以運用．

案例5已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，a，b是任意給定的兩個實數(shù)，證明：“a+b>0”的充要條件是“f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)”．

分析由于本題結(jié)構(gòu)與上述函數(shù)單調(diào)增所派生的性質(zhì)極為相似，于是變形：a+b>0

?a>-b；f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

?f(a)-f(-a)>f(-b)-f(b)．

這恰好直接勾通了已知和結(jié)論之間的關(guān)系!

證明因為函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，所以f(-x)是R上的單調(diào)減函數(shù)，從而函數(shù)f(x)-f(-x)是R上的單調(diào)增函數(shù)．

又因為，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)增，則

x1>x2?f(x1)>f(x2)，所以，

a>-b?f(a)-f(-a)>f(-b)-f(b)

?f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)．

綜上所述，概念的學習對解題的影響是廣泛而又深刻的．當然，解題的作用也很重要，一方面“問題是數(shù)學的心臟”，解題活動是數(shù)學學習的必要途徑，有利于培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力．另一方面，解題對概念的學習也有反作用，能夠促進對概念的理解、鞏固、整合和應(yīng)用，獲得對于不同概念的內(nèi)在聯(lián)系，以及一個概念應(yīng)用于不同領(lǐng)域的認識．但由于在中學數(shù)學教學中，數(shù)學概念是容易被教師忽視而匆匆劃過的內(nèi)容，學生也往往對概念的學習重視不夠，只是一味的主要通過練習來代替對概念本身的理解，導致概念學習事倍功半．因此，我們吁請：對于數(shù)學概念的教學，教師要精心設(shè)計概念生成、同化的過程，要重視激發(fā)學生主動參與、合作探究的興趣與動力；要聯(lián)系學生已有的知識經(jīng)驗，設(shè)置認知沖突，暴露思維過程；要賦予學生充足的時間去揣摩、體悟、交流，而非僅僅灌輸一些僵化的符號、術(shù)語，使之感受到研究概念是有目的、有情趣的，也是自然的學習活動；要突出概念所研究的對象的直觀性、內(nèi)涵和外延，并揭示概念相關(guān)思想方法與研究方法；要以多種方式表征概念，例舉概念的代表性正例和反例，對概念進行辨析、分類，構(gòu)建概念聯(lián)系；要廣泛地應(yīng)用概念，由淺入深，由單一到綜合，由直接到間接；要及時地通過多種方式對學生的概念學習做出評價反饋，不斷促進學生對概念理解的優(yōu)化．