潘榮杰

(北京市第八十中學 100102)

幾何問題中的定值問題其實就是研究幾何圖形在運動變化過程中的恒成立問題，這種恒成立問題反映了該幾何問題的本質特征．因為定值問題是幾何問題的核心問題之一，所以在全國各地高考試題中，對圓錐曲線中的定值問題考查屢見不鮮．下面就2016年北京文科高考19題的背景與拓展談談筆者的一點思考．

(Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率；

(Ⅱ)設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N．求證：四邊形ABNM的面積為定值．

【問題簡析】第二問是一個定值問題，定值問題的本質是一種恒成立問題，解決定值問題的方法有兩種，一種是引入?yún)?shù)，建立函數(shù)關系，化簡求解；另一種是先猜后證，先特殊后一般．

【問題解答】(Ⅰ)由題意得，a=2，b=1．

(Ⅱ)設P(x0,y0)(x0<0,y0<0)，

又A(2,0)，B(0,1)，

所以四邊形ABNM的面積

從而四邊形ABNM的面積為定值．

【方法點評】引入點P的坐標(x0,y0)，建立面積S與x0,y0的關系S=f(x0,y0)，化簡f(x0,y0)求得定值．也可以引入直線PB的斜率k，建立S與k的關系S=f(k)，化簡f(k)求得定值．

【追根溯源】為什么四邊形ABNM的面積為定值？

設橢圓C在直角坐標系Oxy下的方程為：

則橢圓C方程變?yōu)閤′2+y′2=a2．

下面給出一種幾何證明方法．

【推理證明】設∠PBM=α,∠PAN=β，

則α+β=45°

又OA=OB=R．即

OM·ON+ON·OB+OM·OA

=OA·OB=R2．

四邊形ABNM的面積為

S△OMN+S△ONB+S△OMA+S△OAB=R2．

四邊形ABNM的面積為定值R2．

根據(jù)仿射變換，我們很容易將圓中的一些性質推廣到橢圓上去．

【拓展延伸1】橢圓上點P不在第三象限內時，是否還有類似的性質？比如P為第一象限內一點，類比猜想“誰”的面積為定值？

【嘗試驗證】設P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，

S△PMN-S△PAB=S△NBM-S△ABM

=2．

從而三角形PMN與三角形PAB的面積之差為定值．

我們用同樣的方法可以證明，這里不再贅述．

【知識鋪墊】過橢圓中心的弦叫橢圓的直徑．平行于直徑CD的弦的中點的軌跡AB和直徑CD互為共軛直徑．當一對共軛直徑互相垂直時，即為橢圓的長軸和短軸．

【嘗試驗證】如圖，不妨設定點A(2cosθ,sinθ)，且點A在第一象限，B(2cosα,sinα)，且點B在第四象限．

此時B(2sinθ,-cosθ)，設P(2cosβ,sinβ)，

點N、點B到直線AE的距離分別為dN,dB．

四邊形ABMN的面積為

=2(定值)．

成功！ 我們的猜想又是正確的．

對本題的探索也許剛剛開始，很多數(shù)學問題的解答也許并不困難，但若缺少了思考、追問、猜想、驗證，數(shù)學學習者就很難抓住問題本質．問題是數(shù)學的心臟，如果能對核心問題深入探究，不斷從一個特殊問題逐步引申到另一個一般性問題，這種自發(fā)的提出問題、解決問題的數(shù)學研究學習過程，一定會使得我們的數(shù)學學習更加有意義．