王雅琪

(北京教育考試院 100083)

高中數(shù)學(xué)考試評價關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，通過這一導(dǎo)向，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)改革將是高中數(shù)學(xué)課程改革的主流方向.如何開發(fā)合理的評價工具，將知識技能的要求與核心素養(yǎng)的達成有機結(jié)合，必然成為考試評價的一個突破口.

近年來，全國高考數(shù)學(xué)(北京卷)， 注重加強對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查，特別是第20題因其背景深刻、思維靈活、知識面廣，一直以來受到中學(xué)師生的廣泛關(guān)注．2016年高考結(jié)束后，也有老師就理科試卷第20題的背景與我探討．本文試圖通過剖析2016年20題的學(xué)科背景，結(jié)合歷年北京卷的第20題，談?wù)劚本┚淼?0題的命題意圖.

1 2016年北京卷壓軸題的背景——Pliss定理

【2016年全國高考北京卷理科第20題】設(shè)數(shù)列A:a1,a2, …,aN(N≥2)．如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有ak

(Ⅰ)對數(shù)列A:-2, 2, -1, 1, 3，寫出G(A)的所有元素；

(Ⅱ)證明：若數(shù)列A中存在an>a1，則G(A)≠?；

(Ⅲ)證明：若數(shù)列A滿足an-an-1≤1 (n=2,3,…,N)，則G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1．

【分析】本題的背景是Pliss定理，這個定理是圣彼得堡大學(xué)(當(dāng)時叫列寧格勒大學(xué))的Pliss教授在上個世紀(jì)70年代的一篇論文中引入的，是動力系統(tǒng)雙曲性研究中的一個常用工具．

下面對比分析北京高考題與這個定理間的關(guān)系：

設(shè)bi=ai-(λ+ε)，

(1)關(guān)于“G時刻”

從Pliss定理可以知道，1≤n1≤…≤nl≤N滿足：對大于nj(j=1,2,…，l)的每一個正整數(shù)n都有Sn≤Snj，這里的nj(j=1,2,…，l)類似于北京高考題里的G時刻．

(2)G(A) 非空的條件

(3)關(guān)于G(A)的元素個數(shù)的估計

在Pliss定理中，n1,n2,…,nl類似于北京20題的G時刻，l類似于G時刻的個數(shù)，引理給出了l的一個下界估計：l≥Nδ．

我們在20題中給出了an-an-1≤1 (n=2,3,…,N)的條件，在這個條件下可以證明G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1．

2 北京卷的20題考什么，怎么考？

高考數(shù)學(xué)北京卷的第20題，已經(jīng)成為北京卷的特色題目，對于第20題到底考查什么，是怎么考查的，我想談?wù)勎覀兊囊恍┛捶?，和一線老師交流，希望在交流的過程中，問題趨向明晰．

(1)北京理科第20題一般都有深刻的數(shù)學(xué)(科學(xué))背景或現(xiàn)實生活背景

近年來，第20題所涉及的數(shù)學(xué)學(xué)科背景主要有優(yōu)化理論、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等，但并不需要中學(xué)生掌握(更不是考查)這些高等數(shù)學(xué)知識，其考查的是學(xué)生通過中學(xué)階段數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

(2)北京理科第20題分層設(shè)問，逐層遞進

第一問，一般會把題干中給出的抽象的概念、問題具體化，給出一個待解決的具體的實例，考查考生是否能正確理解抽象的數(shù)學(xué)概念和理解題意．這里對抽象的概念和題意理解的能力要求不同于其他題，特別注重考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，只有具備了這一核心素養(yǎng)，才能將一般問題具體化，正確解決第一問、

第二問，一般會要求證明一個結(jié)論，要求考生對相關(guān)概念或者知識有更深的理解，并且能靈活、綜合地應(yīng)用所學(xué)的推理論證方法，因此這一問則注重考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．第二問常常會與第三問有一定的關(guān)聯(lián)．

第三問，要求證明本題給出的主要結(jié)論，要求考生有比較全面和扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，具有較高的綜合分析問題、解決問題的能力和素養(yǎng)．一般情況下，考生可以在證明前面兩問的基礎(chǔ)上，用已經(jīng)證明的結(jié)論進行推廣，一般化，建立起通用的規(guī)律、結(jié)論或模型，幫助思考問題．

以2016年的第20題為例：

考生在陌生的語境下，要求通過閱讀抽象的符號化文字，領(lǐng)悟新概念(G時刻)的定義．在這個題的第(Ⅰ)問要求考生對具體給出的數(shù)列寫出G(A)的所有元素．考生可以通過這個實例熟悉概念，觀察現(xiàn)象，并在處理后續(xù)問題時以它作為思考的標(biāo)本．

第(Ⅱ)問要求考生在“存在an>a1”的條件下證明G時刻的存在性．與解方程那樣的數(shù)學(xué)問題不同，數(shù)學(xué)中很多存在性問題往往沒有明確具體的答案，在邏輯推理方面有一定難度．這需要善于發(fā)現(xiàn)主要矛盾，比如從數(shù)列首次取得最大值的項或首次大于首項的項等不同的角度思考問題．在解答中呈現(xiàn)的邏輯推理以及用抽象的數(shù)學(xué)語言表述，反映了不同考生在能力上的差別．從中挖掘?qū)ο蟮臄?shù)學(xué)性質(zhì)，并用精練的語言呈現(xiàn)推理過程，這需要考生具有良好的邏輯推理素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力．

第(Ⅲ)問要求考生對G時刻的個數(shù)做出下界估計．這在第(Ⅱ)問的基礎(chǔ)上對考生提出了更高的要求，往往兩個問題的解法和思路是一脈相承的，但需要學(xué)生能夠具備較強的從具體到一般，進行抽象概括、數(shù)學(xué)建模的能力.

(3)北京理科第20題對考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了更高的要求

所涉及的知識和能力要求都屬于考試說明的范圍，但它不是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見問題，所以沒有“模式”或者“套路”可循．我們在閱卷過程中，發(fā)現(xiàn)了“用特殊情況代替一般”進行問題的證明是常見的典型錯誤．例如，在第二問中部分同學(xué)選擇了滿足“an>a1”的數(shù)列中的一種特殊情況進行證明就以為完成了第二問．具體如下：

典型錯解1：由題意可知，存在n∈N*，滿足an>an-1>......>a2>a1，此時，n是數(shù)列A的一個“G時刻”，故G(A)≠?，結(jié)論得證．

典型錯解2：存在n∈N*，滿足an-1=an-2=…=a2=a1，且an>a1，此時，n是數(shù)列A的一個“G時刻”，故G(A)≠?，結(jié)論得證．

把問題特殊化，可以幫助我們思考問題，但是不能代替對一般情形的證明．在第三問中存在同樣的問題：

部分同學(xué)把題設(shè)條件an-an-1≤1 (n=2,3,…,N)分為以下兩個情形分別討論：

情形1：an-an-1≤0 (n=2,3,…,N) ；情形2 ：0

這把題設(shè)條件簡單化了，與題目要求也是不相符的．

3北京壓軸題考查的落腳點：抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)模型

以2011年高考北京卷理科20題為例：

【2011年全國高考北京卷理科第20題】若數(shù)列An:a1,a2,…,ann≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1)，則稱An為E數(shù)列. 記S(An)=a1+a2+…+an.

(Ⅰ)寫出一個滿足a1=a5=0，且S(A5)>0的E數(shù)列A5；

(Ⅱ)若a1=12，n=2000，證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011；

(Ⅲ)對任意給定的整數(shù)n(n≥2)，是否存在首項為0的E數(shù)列An，使得S(An)=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列An；如果不存在，說明理由.

【分析】這個題的現(xiàn)實背景可以歸結(jié)為下面的問題：

有100人排隊買票(票價50)，其中40人手持百元大鈔，其余人有零錢．如果收款臺沒有準(zhǔn)備零錢，那么售票員“一直都能找開”的概率有多大？

定義“富余度”an：(1)a0=0(因為沒有準(zhǔn)備零錢)；(2)若第k個人拿的是零錢，則ak=ak-1+1，若第k個人拿的是100元的，則ak=ak-1-1.

顯然a100=20．解決上面的問題，核心就是求：滿足條件“對?k≤100，都有ak≥0”的數(shù)列{an}的個數(shù)．

把問題一般化，設(shè)數(shù)列{an}共m項(m≥2)，滿足：a0=0，對?k(1≤k≤m)，有|ak-ak-1|=1．設(shè)m=10p(p∈N*)(p=10時就是上題)，am=2p，求：滿足條件“對?k≤m，都有ak≥0”的數(shù)列{an}的個數(shù)．

則序列{xi}中有6p項為1，4p項為

-1．x1+x2+x3+…+xm=2p，

下面要考慮的是：有多少種排列方式使得

?k≤m，Tk=x1+x2+x3+…+xk≥0.

我們考慮相反的問題：有多少種排列方式使得序列存在一個部分和小于0.

可以證明：A等于“從0出發(fā)，以每步1或者-1，到達-(2p+2)的路線數(shù)”．

總步數(shù)為10p，設(shè)x步為1，y步為-1，則

得

?k≤m，Tk=x2+x3+…+xk≥0.

這個題的難度較大，作為高考題屬高難度的題目． 在2016年全國卷命題中，選取了上面問題中的一個特例，給出了下面的問題：

【題目】(2016年高考全國卷Ⅲ第12題)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有

(A)18個 (B)16個 (C)14個 (D)12個

北京卷在利用這個背景命題的過程中，首先把難度降下來了，提出了這樣的問題：

(1)如果初始富余度為12，賣出1999張票后，富余度為2011，則這些購票者付的都是零錢(反過來也是對的)；

(2)若富余度序列{an}的前n項和為0，求n的所有可能取值．

我們將此問題進行抽象，從數(shù)學(xué)視角提出問題, 就有了2011年全國高考北京卷理科第20題．本題來源于現(xiàn)實問題, 對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題, 體現(xiàn)了建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的全過程.

2011年全國高考北京卷理科第20題的第一個問題雖然難度并不大，但是否能把頭腦中的想法通過嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確的文字表述出來，是否能把思維過程中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)表述出來，不僅可以反映出考生的文字表達能力，更可以從中看出考生的邏輯思維是否清晰，以及對主要矛盾和次要矛盾的把握．

關(guān)于數(shù)學(xué)表達的方式，一方面學(xué)生可以借助基本的推理證明方法(如綜合法、分析法或反證法以及數(shù)學(xué)歸納法等)，通過數(shù)學(xué)基本運算整理加以證明；另一方面也可以用羅列窮舉的方法．下面兩個證明方法都是可以的：(這里只證明充分性)

方法1: 設(shè)E數(shù)列A2000滿足a1=12，a2000=2011．記b為滿足ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999)的下標(biāo)k的個數(shù)．

因為A2000是E數(shù)列，所以在a2-a1,a3-a2,…,a2000-a1999這1999個數(shù)中恰有b個數(shù)為1，其他1999-b個數(shù)為-1．于是：

a2000=a1+(a2-a1)+…+(a2000-a1999)

=a1+(1999-b)·(-1)+b·1

=a1-1999+2b.

所以，

由此知

ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999)，

故A2000是遞增數(shù)列．

方法2: 由于a2000-a1999≤1,

a1999-a1998≤1，

……

a2-a1≤1，

所以a2000-a1≤1999，

即a2000≤a1+1999.

又因為a1=12，a2000=2011，

所以a2000=a1+1999.

故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999)，

即An是遞增數(shù)列.

為使得學(xué)生更容易入手，給學(xué)生搭了一個梯子(即題目中的第一問)，指導(dǎo)考生按特定要求構(gòu)造數(shù)列，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過對特例的研究，認(rèn)識和學(xué)習(xí)新的概念，并從中探索和發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．

在接下來問題的論證中，關(guān)于整數(shù)的一些基本性質(zhì)以及對周期性等特殊現(xiàn)象的感悟，可以幫助考生更好地解決問題，這不僅需要考生具有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，更需要考生具備較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而這些都是數(shù)學(xué)教育中的重要內(nèi)容．

在解決過程中，注意到n取4k或4k+1滿足題意，需要論證的是n不可能為4k+2或4k+3．考慮反證法，注意到a1是偶數(shù)，且此后奇偶交替出現(xiàn)，若n=4k+2，則其中2k+1個奇數(shù)，2k+1個偶數(shù)，其和不可能是偶數(shù)0．當(dāng)n=4k+3時，增加的一個數(shù)是偶數(shù)，不改變和的奇偶性．

利用這個解法，學(xué)生可以進一步考慮任意首項的E數(shù)列An的相應(yīng)的問題．其中有些尚未展開的討論還是很有趣味的，感興趣的讀者可以自己嘗試提出一些更進一步的問題并看看能不能解決它們．

改編后的20題以數(shù)列為背景考查學(xué)生的邏輯思維和推理能力．要求考生在新的情景下，通過閱讀抽象的數(shù)學(xué)符號，理解新引入的概念的含義，從中挖掘研究對象的數(shù)學(xué)性質(zhì)，并用精煉的數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)推理證明的過程，這需要考生具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力．

高考北京卷的第20題所涉及的知識和方法屬于中學(xué)的范圍，但是對學(xué)生的能力要求較高，要求學(xué)生能夠自主閱讀、敢于動手嘗試、積極進行探索，獲得正確的解題辦法，會用數(shù)學(xué)語言進行嚴(yán)格論證，它考查的是學(xué)生在多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查的是學(xué)生適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力．

我們希望能和中學(xué)師生一起來研究和探討高考北京卷的第20題的背景和解題過程，這將有助于教考結(jié)合，加強數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，提高數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值．