王 路，邢清華，毛藝帆

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

復(fù)雜約束條件下再入高超聲速滑翔飛行器軌跡快速優(yōu)化①

王 路，邢清華，毛藝帆

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

作為直接法的典型代表，高斯偽譜方法在處理復(fù)雜約束條件(含路徑點或禁飛區(qū)約束)下再入高超聲速滑翔飛行器軌跡優(yōu)化問題時，僅能保證所得軌跡在各高斯節(jié)點處嚴格滿足各項約束，而節(jié)點之間軌跡的可行性無法保證，為解決這一問題，文章提出改進多階段高斯偽譜方法。該方法首先使用新定義的兩類節(jié)點(固定節(jié)點和虛擬節(jié)點)將軌跡分段，其中固定節(jié)點是用來保證路徑點與高斯節(jié)點重合，虛擬節(jié)點則是用來保證禁飛區(qū)附近分布更多的高斯節(jié)點，此分段方式能保證所得軌跡在任意位置可行；然后，向各分段軌跡插入指定數(shù)目的高斯節(jié)點；最后，使用序列二次規(guī)劃方法對此多階段軌跡優(yōu)化模型進行求解。仿真結(jié)果表明，改進多階段高斯偽譜方法在處理復(fù)雜約束條件下再入高超聲速滑翔飛行器軌跡優(yōu)化問題時快速有效。

再入高超聲速滑翔飛行器；軌跡優(yōu)化；路徑點；禁飛區(qū)；高斯偽譜方法

0 引言

高超聲速滑翔飛行器因其高升阻比外形設(shè)計具有良好的氣動性能，能憑借空氣動力的作用，實現(xiàn)遠距離無動力滑翔飛行。由于飛行器運動方程形式復(fù)雜、再入滑翔軌跡對控制量敏感，且飛行過程中受過載、熱流密度等約束影響較大，其軌跡優(yōu)化問題一直是研究的熱點。

通常軌跡優(yōu)化的數(shù)值解法從本質(zhì)上可分為直接法和間接法[1]。間接法根據(jù)一階最優(yōu)必要條件和龐特里亞金最小化原理，將最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題[2]，缺點是對初值高度敏感，很難收斂，時效性不高。而直接法將原始最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，在求解過程中具有較大的收斂半徑，且不受一階必要條件的限制[3]。

作為直接法中的典型代表，高斯偽譜方法使用少量的節(jié)點，并具有較快的收斂速度，目前已被廣泛應(yīng)用于普通約束條件下高超聲速飛行器上升段[4]或再入段[5-11]的軌跡優(yōu)化問題，這里的普通約束主要包括動壓、過載、熱流密度等過程約束、控制約束及終端狀態(tài)約束。然而，在飛行器實際再入過程中，不得不考慮某些真實約束，如路徑點和禁飛區(qū)約束。路徑點是指偵察或載荷投送時，飛行器必須經(jīng)過的空間位置，禁飛區(qū)是指受地理政治或敵方武器系統(tǒng)威脅，飛行器應(yīng)嚴格避讓的某些特殊區(qū)域。

高斯偽譜法將狀態(tài)變量和控制變量在一系列高斯節(jié)點上離散，所有約束條件在高斯節(jié)點上嚴格滿足，但高斯節(jié)點的分布呈中間疏松、兩端密集的特點。此時，考慮路徑點和禁飛區(qū)約束條件，可能會帶來以下問題：

(1)相鄰高斯節(jié)點之間的軌跡不一定滿足禁飛區(qū)約束或過程約束；

(2)路徑點約束條件不一定能夠滿足高精度。

針對問題1和問題2，Jiang[12]提出了基于高斯偽譜方法的多階段軌跡優(yōu)化技術(shù)，通過所提出的3類插入點，將整個再入軌跡劃分為不同階段，由于其所設(shè)計的3類插入點都是固定的，所以最終得到的軌跡必須嚴格經(jīng)過各插入點。但通過研究發(fā)現(xiàn)，在軌跡生成之前，只有路徑點是確定的，而禁飛區(qū)附近的飛行軌跡是未知的，所以只有路徑點可提前設(shè)置為固定插入點，Jorris[13-14]和Hu[15]所研究的軌跡優(yōu)化問題考慮了路徑點和禁飛區(qū)等復(fù)雜約束條件，但沒有具體討論高斯偽譜方法存在的上述兩類問題。針對以上問題，還有一類解決方法，就是使用大量的高斯節(jié)點對問題進行求解，但代價是十分耗時，實用價值不強。

為克服傳統(tǒng)高斯偽譜方法在處理復(fù)雜約束條件下軌跡優(yōu)化問題時存在的不足，本文提出改進多階段高斯偽譜方法，通過使用新定義的兩類節(jié)點(固定節(jié)點和虛擬節(jié)點)將軌跡分段，在不增加總節(jié)點數(shù)目的同時，改變節(jié)點的分布。一方面，使路徑點與高斯節(jié)點重合，從而保證路徑點約束被嚴格滿足；另一方面，是禁飛區(qū)附近分布高密度的高斯節(jié)點，從而保證禁飛區(qū)約束滿足要求，又由于節(jié)點數(shù)目并沒有增加。所以，可保證所提算法的快速性。仿真結(jié)果驗證了其有效性。

1 問題描述

本節(jié)主要介紹高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化問題模型，包括再入動態(tài)方程、約束條件和目標(biāo)函數(shù)。

1.1 再入動態(tài)方程

在高超聲速飛行器的再入階段，假設(shè)目標(biāo)為質(zhì)點，并將地球視為非旋轉(zhuǎn)勻質(zhì)球體，則飛行器再入運動方程如下[16]：

(1)

式中V為飛行器速度，m/s；θ為航跡傾角，rad；ψ為航跡偏角，rad；r為飛行器質(zhì)心至地心的距離，m；λ為地理經(jīng)度，rad；φ為地理緯度，rad；γc為滾轉(zhuǎn)角，rad；m為飛行器質(zhì)量，kg；D為阻力，D=CDρSV2/2；L為升力，L=CLρSV2/2；CD為阻力系數(shù)；CL為升力系數(shù)；S為氣動參考面積。

在高超聲速條件下，升力、阻力系數(shù)CL、CD可近似表示為攻角α(°)與速度V(Ma)的函數(shù)[17]。

(2)

式中CLi和CDi(i=0,…,3)為常系數(shù)。

1.2 約束條件

1.2.1 過程約束

高超聲速飛行器再入滑翔階段是一個高動態(tài)的過程，為滿足系統(tǒng)熱防護和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的需要，再入過程需滿足一系列苛刻約束條件的限制，如動壓限制、熱流密度限制、過載限制。

(3)

1.2.2 控制約束

為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可控性，攻角與滾轉(zhuǎn)角應(yīng)滿足如下約束：

(4)

式中 下標(biāo)“min”與“max”為對應(yīng)變量的下限與上限。

1.2.3 終端約束

為使飛行器具備一定的末段打擊能力，對終端約束條件也應(yīng)進行一定的限制。

(5)

式中 下標(biāo)“f”為終端狀態(tài)。

1.2.4 路徑點與禁飛區(qū)約束

路徑點約束：為了完成諸如偵察或載荷投擲等特定任務(wù)，飛行器需精準(zhǔn)的飛過指定路徑點上空，對應(yīng)路徑點約束表示如下：

(6)

式中Npoint為路徑點的總個數(shù)。

禁飛區(qū)約束：受地理政治或敵方武器系統(tǒng)威脅的限制，飛行器應(yīng)嚴格避讓某些特殊區(qū)域，在此假設(shè)禁飛區(qū)為不限高度的圓柱體[13]，第j個禁飛區(qū)的中心點坐標(biāo)用(λj,φj)表示，對應(yīng)的禁飛區(qū)半徑用Rj表示，則禁飛區(qū)約束表示為

(7)

式中Nzone為禁飛區(qū)的個數(shù)。

1.3 目標(biāo)函數(shù)

通常情況下，不同的任務(wù)對應(yīng)不同的目標(biāo)函數(shù)。如果是為了維持飛行器較好的熱防護，目標(biāo)函數(shù)可設(shè)置為最小熱流密度或最小峰值熱流密度；如果打擊或終點目標(biāo)是固定的，目標(biāo)函數(shù)可設(shè)置為達到時間最短；而如果是為了測試飛行器的性能，目標(biāo)函數(shù)可設(shè)置為橫向或縱向航程最大等等。

1.4 軌跡優(yōu)化

對于高超聲速飛行器，其再入軌跡優(yōu)化問題就是尋找控制量α和γ，在滿足各項約束條件的同時，使得目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。

2 改進多階段高斯偽譜方法

2.1 高斯偽譜法及其分析

2.1.1 高斯偽譜法

可用一般最優(yōu)控制問題描述高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化問題，這里采用Bolza問題形式[18]進行表述。連續(xù)Bolza問題可描述為：求解控制變量u(t)∈Rm和狀態(tài)變量x(t)∈Rn，使如下目標(biāo)函數(shù)[7]最小化。

(8)

同時滿足如下運動方程、過程約束以及終端約束：

(9)

式(8)、式(9)被稱為連續(xù)Bolza 問題的數(shù)學(xué)描述。高斯偽譜法在高斯節(jié)點上將狀態(tài)變量和控制變量進行離散，并利用這些離散點構(gòu)造全局拉格朗日插值多項式來近似系統(tǒng)的動力學(xué)方程，從而將連續(xù)的無限維最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題進行求解[19]。對于高超聲速飛行器，飛行持續(xù)時間為從t0到tf，而高斯節(jié)點的分布區(qū)間為[-1,1]。因此，需將時間區(qū)域從t∈[t0,tf]轉(zhuǎn)化至τ∈[-1,1]，轉(zhuǎn)化公式如式(10)：

(10)

需要注意的是，N個離散的節(jié)點包含了初始節(jié)點τ0=-1、終端節(jié)點τf=1以及K=N-2個內(nèi)部節(jié)點，且這K個節(jié)點為K階拉格朗日插值多項式的根，則狀態(tài)和控制變量可近似表示如下：

(11)

其中，Li(τ)和Li*(τ)分別為N+1和N階拉格朗日插值多項式的基函數(shù)，計算公式如下：

(12)

為獲得動態(tài)運動方程的約束，對式(11)求導(dǎo)可得

(13)

高斯偽譜方法中每個節(jié)點處目標(biāo)狀態(tài)變量的倒數(shù)都應(yīng)滿足式(13)。微分矩陣D∈RN×N+1可離線生成，其各元素計算公式如下[20]：

式中PN(τ)為N階拉格朗日插值多項式；i=1,2,…,N；k=1,2,…,N。

然后，將式(9)所述動態(tài)方程約束轉(zhuǎn)化為如下等式約束：

其中，k=1,2,…,N。由于式(12)只表示高斯節(jié)點的目標(biāo)狀態(tài)，不包括初始時刻和終端時刻的目標(biāo)狀態(tài)，因此應(yīng)增加2個端點處的等式約束如下[21]：

(16)

式中ωk為高斯積分的權(quán)重。

然后，目標(biāo)函數(shù)中的積分項通過高斯積分近似，則目標(biāo)函數(shù)可表示為

(17)

同時，可將終端約束和過程約束表示為

至此，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，描述如下：求解非線性規(guī)劃問題的變量：

(19)

在滿足式(15)、式(16)和(式18)所述約束條件的同時，使得式(17)所述目標(biāo)函數(shù)達到最小。

2.1.2 分析

如圖1所示，高斯節(jié)點的分布呈中間疏松兩端密集的特點。

圖1 拉格朗日高斯節(jié)點分布示意圖Fig.1 Distribution of LG nodes

高斯節(jié)點的這種分布特性會帶來以下幾方面的問題：

(1)當(dāng)高斯節(jié)點數(shù)目確定時，節(jié)點的分布位置在區(qū)間[-1,1]是確定的，如圖2所示，由于約束條件只在節(jié)點處嚴格滿足，所以很難保證所生成軌跡滿足路徑點約束，除非路徑點和某一高斯節(jié)點恰好重合。

(2)如圖3所示，盡管禁飛區(qū)約束在所有高斯節(jié)點均嚴格滿足，但高斯節(jié)點之間的飛行器軌跡穿過了禁飛區(qū)。

(3)過程約束條件不能保證嚴格滿足，如圖4所示。盡管某項過程約束指標(biāo)在所有高斯節(jié)點均嚴格滿足，但該指標(biāo)在多處超出了允許范圍，這會為飛行器維持其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性帶來嚴重挑戰(zhàn)。

圖2 路徑點附近軌跡示意圖Fig.2 Example of trajectory near the waypoints

圖3 禁飛區(qū)附近軌跡示意圖Fig.3 Example of trajectory near the no-fly zone

圖4 過程約束變化示意圖Fig.4 Change flow of path constraint

2.2 改進多階段高斯偽譜算法

為克服前文所述傳統(tǒng)高斯偽譜方法在處理復(fù)雜約束條件下的軌跡優(yōu)化問題時存在的問題，本節(jié)提出改進多階段高斯偽譜算法。

2.2.1 相關(guān)定義

定義1 固定節(jié)點：只包含位置信息，不包含時間信息的節(jié)點，如路徑點。

定義2 虛擬節(jié)點：只含時間信息，不包含位置信息的節(jié)點。

2.2.2 算法流程

(1)步驟1 使用固定節(jié)點將軌跡劃分為多階段

如圖5所示，將路徑點設(shè)置為固定節(jié)點，使用固定節(jié)點將軌跡劃分為多階段，如此以來，路徑點約束可嚴格滿足。轉(zhuǎn)步驟2。

圖5 軌跡分段示意圖(使用固定節(jié)點)Fig.5 Trajectory divided by fixed nodes

(2)步驟2 模型求解

假設(shè)軌跡被劃分為Z段，每階段的高斯節(jié)點數(shù)目為N，則第z階段的目標(biāo)函數(shù)可表示為

(20)

則總目標(biāo)函數(shù)可表示為

(21)

對應(yīng)的終端和過程約束表示為

(22)

式(15)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(23)

式(16)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(24)

為保證各階段連接點處的連續(xù)性，增加如下約束：

(25)

至此，式(20)～式(25)將傳統(tǒng)高斯偽譜法轉(zhuǎn)化為多階段高斯偽譜法。模型的處理方式同傳統(tǒng)高斯偽譜法一致，本文選用適用于求解大規(guī)模非線性規(guī)劃問題的序列二次規(guī)劃方法。

模型求解后，得到當(dāng)前最優(yōu)軌跡，轉(zhuǎn)步驟3。

(3)步驟3 軌跡可行性判別

(26)

經(jīng)檢測如果各約束條件在所有檢測點處嚴格滿足，則停止，所得軌跡即為最優(yōu)軌跡；否則，轉(zhuǎn)步驟4。

(4)步驟4 增加虛擬節(jié)點將軌跡劃分為多階段

步驟3中不滿足約束條件的檢測點由于只包含時間信息，因此將其視為虛擬節(jié)點，如圖7所示。軌跡被固定節(jié)點和新增虛擬節(jié)點劃分為多階段，由于高斯節(jié)點的分布特性，在虛擬節(jié)點的周圍會有較多的高斯節(jié)點分布，通過這種方式，可保證過程約束或路徑約束得到滿足。然后，轉(zhuǎn)步驟2。

圖6 高斯節(jié)點和檢測點分布示意圖Fig.6 Distribution of LG nodes and checkpoints

圖7 虛擬節(jié)點插入后禁飛區(qū)約束得到滿足示意圖Fig.7 No-fly zone constraint being satisfied by inserting virtual node

2.2.3 初值生成算法

本文使用傳統(tǒng)的初始化策略：先采用較少的高斯節(jié)點，求解出一條低精度的軌跡；然后，通過對此低精度軌跡進行插值，得到理想數(shù)目高斯節(jié)點所對應(yīng)的各節(jié)點初始值。

2.2.4 改進多階段高斯偽譜法分析

改進多階段高斯偽譜法主要思想為：首先將路徑點視為固定節(jié)點，并用固定節(jié)點將軌跡分段，進行求解，從而使得到的軌跡嚴格滿足路徑點約束條件；為使全局軌跡嚴格滿足禁飛區(qū)和路經(jīng)約束，需要對所生成軌跡進行可行性驗證，若不滿足要求，則需增加虛擬節(jié)點，將軌跡重新分段，并進行求解，直至所生成軌跡嚴格滿足所有約束條件后即可。

相比傳統(tǒng)高斯偽譜方法，改進多階段高斯偽譜方法在處理復(fù)雜約束條件下的軌跡優(yōu)化問題時，具有如下優(yōu)勢：

(1)通過使用固定節(jié)點，將軌跡進行分段，所得軌跡嚴格滿足路徑點約束條件。

(2)通過使用虛擬節(jié)點，將軌跡進行分段，所得軌跡不僅在高斯節(jié)點處嚴格滿足禁飛區(qū)以及過程約束，高斯節(jié)點之間的可行性同樣可保證。

(3)固定節(jié)點和虛擬節(jié)點的加入，沒有改變高斯節(jié)點的數(shù)目，而是改變了高斯節(jié)點的分布。所以，算法的速度沒有受到影響。

3 仿真及分析

表1 初始時刻及終端時刻飛行器狀態(tài)Table 1 Initial and terminal condition of vehicle

表2 路徑點與禁飛區(qū)參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameters of waypoint and no-fly zone constraints

3.1 粒子群算法仿真結(jié)果

粒子的數(shù)目為20，其他參數(shù)設(shè)置與文獻[22]一致，所得最優(yōu)軌跡如圖8所示。

(a) 三維軌跡 (b) 俯視軌跡 (c) 禁飛區(qū)1附近軌跡

(d) 禁飛區(qū)2附近軌跡 (e) 路徑點附近軌跡圖8 粒子群算法仿真結(jié)果Fig.8 Results of optimal trajectory by PSO

3.2 傳統(tǒng)高斯偽譜方法仿真結(jié)果

高斯偽譜方法選用的高斯節(jié)點數(shù)目為30，仿真結(jié)果如圖9所示。

(a) 三維軌跡

(b) 俯視軌跡

(d) 禁飛區(qū)2附近軌跡圖9 高斯偽譜方法仿真結(jié)果Fig.9 Results of optimal trajectory by GPM

3.3 改進多階段高斯偽譜方法仿真結(jié)果

為與傳統(tǒng)高斯偽譜方法進行比較，改進多階段高斯偽譜方法所選取的高斯節(jié)點數(shù)目同樣為30，仿真結(jié)果如圖10所示。

(a) 三維軌跡

(b) 俯視軌跡

(c) 禁飛區(qū)1附近軌跡

(d) 禁飛區(qū)2附近軌跡圖10 改進多階段高斯偽譜方法仿真結(jié)果Fig.10 Results of optimal trajectory by improved GPM

3.4 仿真分析

由圖8(a)、(b)可看出，所得軌跡較為平滑，圖8(c)、(d)說明禁飛區(qū)約束能夠嚴格滿足，圖8(e)說明路徑點約束不能滿足。

圖9(a)給出了飛行器的三維運動軌跡?？梢姡密壽E較為平滑。圖9(b)～(d)顯示出了傳統(tǒng)高斯偽譜方法的不足，即只能保證所得軌跡在高斯節(jié)點處嚴格滿足約束條件，而無法保證其他部分的軌跡是否滿足禁飛區(qū)等復(fù)雜約束。

由圖10給出的仿真結(jié)果可見，通過使用固定節(jié)點和虛擬節(jié)點將軌跡分為了4段，而總的高斯節(jié)點的數(shù)目沒有增加，只是改變了高斯節(jié)點的分布，所得軌跡嚴格滿足路徑點與禁飛區(qū)約束。

此外，粒子群算法求得最終飛行器飛行時間為1 592 s，傳統(tǒng)高斯偽譜方法和改進高斯偽譜方法的最終結(jié)果分別為1 540 s和1 563 s。由此可見，高斯偽譜方法和改進高斯偽譜方法的精度都優(yōu)于粒子群算法，相比改進高斯偽譜方法，傳統(tǒng)高斯偽譜法雖然求得的目標(biāo)函數(shù)值更小，但由于所得軌跡穿越了禁飛區(qū)，因此軌跡無法使用。

最后，分析不同仿真方法的耗時。粒子群算法的平均耗時約為2 min，但所得軌跡也只是接近全局最優(yōu)；高斯偽譜方法的耗時約為1 min，但30個高斯節(jié)點不能保證節(jié)點之間的軌跡滿足約束條件，如果將高斯節(jié)點的數(shù)目增加，雖然所得軌跡精度會提高，但仿真耗時同樣會提高；相比之下，同樣是30個高斯節(jié)點，但本文所提算法的耗時為30 s。這是由于固定節(jié)點的插入將路徑點約束轉(zhuǎn)化成了終端約束，而虛擬節(jié)點的插入將禁飛區(qū)約束只在某分段模型中進行求解，而傳統(tǒng)高斯偽譜方法是將路徑點和禁飛區(qū)約束在整個模型中進行求解。因此，本文所提算法耗時較小，且精度更高。

從以上仿真結(jié)果，可得出以下結(jié)論:

(1)使用固定節(jié)點將軌跡進行分段，所生成軌跡能夠嚴格滿足路徑點約束；

(2)使用虛擬節(jié)點將軌跡進行分段，會有更多的高斯節(jié)點分布于虛擬節(jié)點附近，從而實現(xiàn)所生成軌跡能嚴格滿足禁飛區(qū)約束和過程約束；

(3)所提出的改進多階段高斯偽譜算法只是改變了高斯節(jié)點的分布，而沒有增加高斯節(jié)點的數(shù)目。因此，相比其他類型多階段偽譜方法，本文所提算法復(fù)雜度明顯降低。

4 結(jié)論

為解決復(fù)雜約束條件下再入高超聲速滑翔飛行器軌跡優(yōu)化問題，本文提出改進多階段高斯偽譜方法。通過使用固定節(jié)點和虛擬節(jié)點，將軌跡進行分段，在不增加高斯節(jié)點數(shù)目的前提下，改變了高斯節(jié)點的分布，以實現(xiàn)路徑點和禁飛區(qū)附近有較多的高斯節(jié)點分布。仿真結(jié)果表明，所得軌跡具有較高的精度，各項約束條件能夠嚴格滿足。

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(編輯：薛永利)

Trajectory rapid optimization for reentry hypersonic glide vehicle satisfying complex constraints

WANG Lu，XING Qing-hua，MAO Yi-fan

(School of Air and Missile Defense, Air Force Engineering University, Xi'an 710051, China)

As a typical representation of direct method, in dealing with reentry hypersonic glide vehicle trajectory optimization problem under complex constraints including waypoint or no-fly zone constraints, gauss pseudo-spectral method (GPM) can merely ensure that all the constraints can be satisfied strictly at each Legendre-Gauss (LG) node, but cannot ensure the feasibility of the trajectory between each two neighbor nodes. To overcome this problem, an improved multi-segment gauss pseudo-spectral method was proposed. In this method, first of all, the trajectory was divided into multiple segments by two kinds of proposed nodes, fixed node and virtual node, the first one is used to ensure that each waypoint locates at one of LG nodes, and the second one is used to ensure that there will be more LG nodes locating near the no-fly zones, such that all constraints for whole trajectory can be satisfied; then the number of LG nodes for each segment was given; finally, the sequential quadratic programming method was used to solve the model. Simulation results demonstrate that the proposed optimization method can rapidly generate a reentry trajectory satisfying complex constraints.

reentry hypersonic glide vehicle；trajectory optimization；waypoint；no-fly zone；gauss pseudospectral method

2015-07-18；

2015-09-02。

國家自然科學(xué)基金(61272011)；全軍軍事類研究生資助課題(2014JY526)。

王路(1987—)，男，博士生，研究方向為地基反臨近空間飛行器指揮決策問題。E-mail:408191081@qq.com

V448.2

A

1006-2793(2016)06-0839-08

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.06.018