江蘇省淮安市金湖縣金南中學(xué) 楊兆忠

“用一元二次方程解決問(wèn)題”第1課時(shí)教學(xué)設(shè)想

江蘇省淮安市金湖縣金南中學(xué) 楊兆忠

本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章第4節(jié)“用一元二次方程解決問(wèn)題”的第1課時(shí)為例從教材分析與學(xué)情分析，教學(xué)目標(biāo)分析，教法與學(xué)法，教學(xué)過(guò)程等幾個(gè)方面闡述教學(xué)設(shè)想。

一、教材分析與學(xué)情分析

一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，其中一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題中極具代表性，它是一元一次方程應(yīng)用的延續(xù)，又是二次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型。

從宏觀來(lái)看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組以及分式方程等知識(shí)，感受了方程模型的作用和價(jià)值，已經(jīng)積累了一些用方程解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)；從微觀而言，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一元二次方程的解法，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。本章第4節(jié)第一課時(shí)在教材中起著承上啟下的作用，直接影響學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)效果。本節(jié)課筆者將以實(shí)際問(wèn)題為載體，借助有一定挑戰(zhàn)性和思考性的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，通過(guò)學(xué)生的自主探索研究，抽象出一元二次方程。在解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題的過(guò)程中，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)明及其使用的廣泛性，從而“由內(nèi)而外”體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用價(jià)值的過(guò)程。

對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于缺乏一定的社會(huì)生活經(jīng)歷，收集信息處理信息的能力較弱，因此將實(shí)際問(wèn)題提煉為數(shù)學(xué)模型是我們?cè)O(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)不容忽視的地方。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）P28頁(yè)“第⒈方程與方程組”要求中明確了：第⑴點(diǎn)能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；第⑺點(diǎn)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；第⑻點(diǎn)會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等；第⑽點(diǎn)能根據(jù)具體問(wèn)題中的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。結(jié)合課標(biāo)具體要求和初三學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，筆者確定了如下教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程解應(yīng)用題、并能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，討論方程的根，檢驗(yàn)結(jié)果的合理性；

2.過(guò)程與方法：經(jīng)歷和體驗(yàn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)、感受成功的快樂(lè)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值；敢于發(fā)表自己的想法，能獨(dú)立思考、合作交流。

重點(diǎn)：掌握建立一元二次方程的有效模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.學(xué)會(huì)用列一元二次方程的方法解決有關(guān)圖形面積問(wèn)題。

難點(diǎn)：如何找出圖形面積問(wèn)題中的等量關(guān)系、根的檢驗(yàn)。

三、教法與學(xué)法

教師引導(dǎo)，學(xué)生動(dòng)手操作、自主探索、合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。課堂中，教師通過(guò)提供適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境促使學(xué)生的反思，引起學(xué)生必要的認(rèn)知沖突，從而讓學(xué)生最終通過(guò)其主動(dòng)的思辨建構(gòu)起新的的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、教學(xué)流程

（一）課堂結(jié)構(gòu)

情境引入→合作探究→新知建構(gòu)→練習(xí)鞏固→小結(jié)提升。

（二）教學(xué)簡(jiǎn)要過(guò)程

1.情境引入

一個(gè)矩形的長(zhǎng)為3cm，寬為2cm。

（1）該矩形的周長(zhǎng)為_(kāi)______cm，面積為_(kāi)____cm2。

（2）若該矩形的長(zhǎng)為3cm，周長(zhǎng)為10cm，則它的寬為_(kāi)____ cm。

（3）若該矩形的周長(zhǎng)為10cm，則它的長(zhǎng)一定是3cm，寬一定是2cm嗎？為什么？

矩形中長(zhǎng)、寬與周長(zhǎng)滿足：__________________。

（4）矩形的周長(zhǎng)為10cm，設(shè)該矩形的長(zhǎng)為xcm，則寬為_(kāi)_____cm。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串對(duì)矩形長(zhǎng)、寬和周長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行辨析，為正確表示出矩形的各邊降低難度，從而為順利找到長(zhǎng)×寬=面積這一相等關(guān)系列出方程做好保障。心理學(xué)研究表明，當(dāng)外部刺激喚起主體的情感活動(dòng)時(shí)，就更容易成為注意的中心，由此我選擇問(wèn)題串作為情境引入，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

2.合作探究

問(wèn)題1一根長(zhǎng)22cm的鐵絲。

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？并說(shuō)明理由。

通過(guò)一根22cm的鐵絲演示抽象出數(shù)學(xué)模型，找到相等關(guān)系列求方程，檢驗(yàn)根的實(shí)際意義并回答問(wèn)題。1.實(shí)物演示后，學(xué)生自己獨(dú)立思考，找尋等量關(guān)系：長(zhǎng)+寬=1/2周長(zhǎng)、長(zhǎng)×寬=面積；2.如何設(shè)未知數(shù)，列方程；3.怎樣解方程?方程的解是否都符合實(shí)際意義?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)物演示直觀得出22cm與矩形周長(zhǎng)的關(guān)系、從而降低矩形已知一邊表示另一邊的難度，審清題意后，抓準(zhǔn)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，找出相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)和列方程，有利于理清思路，降低列方程解應(yīng)用題的難度，從而發(fā)展學(xué)生思維能力。

3.新知建構(gòu)

例1 如圖所示學(xué)校準(zhǔn)備在圖書(shū)館后面的場(chǎng)地上建一個(gè)面積為12m2的矩形自行車棚,一邊利用圖書(shū)館的后墻,并利用已有總長(zhǎng)為10m的鐵圍欄，（1）請(qǐng)你來(lái)設(shè)計(jì),如何搭建較合適？（2）如果圖書(shū)館后墻可利用長(zhǎng)度為5m，那么應(yīng)如何搭建才合適?

設(shè)計(jì)意圖：這一問(wèn)題源于校園生活，學(xué)生熟悉但未必深入研究。本題中實(shí)則是上題的變式，各邊關(guān)系滿足：2寬+1長(zhǎng)=總長(zhǎng)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解與處理非常關(guān)鍵。請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立審題，并設(shè)計(jì)問(wèn)題：長(zhǎng)怎樣表示?相等關(guān)系是什么?方程的根是否都符合題意?對(duì)第2問(wèn)中可利用長(zhǎng)度的理解源于學(xué)生生活，體現(xiàn)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的感受。在層層遞進(jìn)的問(wèn)題串下幫助學(xué)生理清數(shù)量之間的關(guān)系，突破難點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型。得到方程：x（10－2x）=12解方程,并引導(dǎo)到學(xué)生檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義：當(dāng)x=2時(shí)，10－2x=10－2×2=6＞5，無(wú)意義。經(jīng)歷審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的答題格式，以及嚴(yán)謹(jǐn)客觀的良好思維品質(zhì)。

4.練習(xí)鞏固

（1）如圖，有長(zhǎng)為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為15m），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃。是否可以圍成面積為45m2的花圃，若可以圍成，此時(shí)AB的長(zhǎng)是多少m？

（2）縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)為美化校園，準(zhǔn)備在長(zhǎng)32m，寬20m的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑若干條一樣寬的道路，余下部分作草坪，并請(qǐng)全校學(xué)生參與設(shè)計(jì)?，F(xiàn)選取了幾位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案（圖紙如下）：

①甲同學(xué)方案如圖，已知設(shè)計(jì)草坪的總面積為540m2，道路的寬為多少？

②乙同學(xué)方案如圖，已知設(shè)計(jì)草坪的總面積為540m2,道路的寬為多少？

③丙同學(xué)方案如圖,已知設(shè)計(jì)草坪的總面積為540m2。道路的寬為多少？

⑷其他方案

第1題針對(duì)例題再次展開(kāi)變式研究，第2題注重通過(guò)平移、拆分重組等方法找不同方案下新矩形的長(zhǎng)和寬（這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵）。初三學(xué)生已經(jīng)有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力，通過(guò)變式練習(xí)，類比例題的解題思想方法進(jìn)而幫助學(xué)生加深對(duì)新知的理解，提高解決此類問(wèn)題的能力。

5.小結(jié)提升

學(xué)而不思則罔，最后引導(dǎo)學(xué)生回顧收獲與交流感悟，幫助形成知識(shí)體系。

（1）通常用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題要經(jīng)歷怎樣的過(guò)程？

（2）用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？

6.作業(yè)：(略)

建構(gòu)主義認(rèn)為，教學(xué)方法的核心是強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者是一個(gè)主動(dòng)的積極的知識(shí)構(gòu)建者。本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)想，從審題、到找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)等一系列活動(dòng)都從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，借助適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情景或?qū)嵗偈箤W(xué)生反思，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而讓學(xué)生最終通過(guò)主動(dòng)的思考建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。