江蘇省白蒲高級中學(xué) 宗位勇

分析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題常見誤區(qū)及正確解題方案

江蘇省白蒲高級中學(xué) 宗位勇

三角函數(shù)是以角度或弧度為自變量，將自變量對應(yīng)的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或者比值為因變量的函數(shù)。在高中數(shù)學(xué)三角形、圓形等幾何形狀性質(zhì)的研究中具有重要的作用，同時也是周期性數(shù)學(xué)現(xiàn)象研究的基礎(chǔ)工具。在高中數(shù)學(xué)考試中，三角函數(shù)占有較大的比例，以概念、定義域、三角形內(nèi)角、值域、向量的變化為基本內(nèi)容。本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材為例，重點(diǎn)分析三角函數(shù)解題常見的誤區(qū)，并附正確解題方案，為高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)提供參考。

高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題誤區(qū)；正確解題方案

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，同時也是學(xué)生普遍反映難以理解和掌握的知識點(diǎn)。三角函數(shù)的靈活運(yùn)用是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是研究幾何圖形性質(zhì)的重要工具[1]。筆者總結(jié)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在三角函數(shù)解題中主要出錯的地方在于對向量公式、原理把握不佳，抽象思維能力較差等，導(dǎo)致求三角函數(shù)值、圖像平移、單調(diào)性等方面較易出錯且應(yīng)用不夠靈活。現(xiàn)將高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題常見誤區(qū)和正確解題方案進(jìn)行分析，報(bào)告如下。

一、解題過程中粗心大意，忽略三角函數(shù)名稱

如：已知sinα＞sinβ，且兩角在同一象限，則下列命題成立的是：（ ）

A.若兩角在第一象限，則cosα＞cosβ

B.若兩角在第二象限，則tanα＞tanβ

C.若兩角在第三象限，則cosα＞cosβ

D.若兩角在第四象限，則tanα＞tanβ

注：若α與β均在第一或第三象限，那么由sinα＞sinβ可知，cosα＜cosβ，因此可將A選項(xiàng)和C選項(xiàng)排除；若α與β均在第二象限，那么由sinα＞sinβ可知tanα＜tanβ，可排除B選項(xiàng)。若兩角均在第四象限可知tanα＞tanβ，故而D選項(xiàng)正確。要想正確解答本題，必須熟悉掌握不同象限角正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性是否相同。

分析：本題出錯的根本原因在于學(xué)生對于不同象限不同形式的三角函數(shù)增減性掌握效果不理想，第一象限、第三象限中正弦函數(shù)與余弦函數(shù)增減性剛好相反；第二象限中正弦函數(shù)和正切函數(shù)增減性也相反；第四象限中正弦函數(shù)與正切函數(shù)增減性相同。此外，教師可以教會學(xué)生在難以熟記不同象限不同三角函數(shù)形式增減性的情況下，可以首先學(xué)會畫函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖像，并以圖像分析增減性，避免死記硬背造成知識掌握情況混亂。

二、求解過程中忽略三角函數(shù)圖像變形

分析：學(xué)生本題出錯的重點(diǎn)在于對三角函數(shù)圖像及變化情況、性質(zhì)掌握情況不佳，教師應(yīng)當(dāng)針對此種情況和問題細(xì)致分析原因，通過提問學(xué)生了解其思維方式和想法，反復(fù)向?qū)W生講解正確的解題思路和方法，以加深其對三角函數(shù)相關(guān)知識的掌握情況和理解程度。

三、三角函數(shù)平移概念把握不佳

如：將曲線ycosx+2y=1首先沿著x軸方向向右平移，平移幅度為個單位，然后沿著y軸向下平移，平移幅度為1個單位，可以得到方程（ ）。

A.（1-y）sinx+2y=3 B.（y-1）sinx+2y=3；

C.（y+1）sinx+2y=-1 D.-（y+1）sinx+2y=-1

四、不能熟練應(yīng)用三角函數(shù)特性

如：若sinα+cosα=1，則對于任意實(shí)數(shù)n，sinnα+cosnα應(yīng)為（ ）。

注：部分學(xué)生在解題過程中不能熟練應(yīng)用三角函數(shù)特性，甚至認(rèn)為既然題目中提到實(shí)數(shù)n，結(jié)果肯定就會和n有關(guān)系，甚至干脆胡亂選一個，但實(shí)際上并不理解本題的正確解答方法。以下提供2種解題方法：

方法1：充分利用sin2α+cos2α=1公式，將sinα設(shè)為x，將cosα設(shè)為y，可知x2+y2=1，聯(lián)合x+y=1，求解可知x=0，y=1或x=1，y=0，也就是說sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，即sinnα+cosnα=0n+1n=1，由此可知，本題的正確答案應(yīng)當(dāng)選A。

方法2：采用賦值法，令sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，可得sinnα+cosnα=0n+1n=1，即得正確答案。

分析本題出錯的原因主要是學(xué)生看到出現(xiàn)實(shí)數(shù)n一下難以理解，再加上可能基礎(chǔ)知識掌握不牢靠，導(dǎo)致對任意選擇帶有n的選項(xiàng)或者不確定，即C或D，胡亂填寫。其實(shí)本題出錯的根本原因在于忽略了sin2α+cos2α=1公式[3]。因此在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)中要求學(xué)生必須熟練掌握三角函數(shù)特性及相關(guān)性質(zhì)、定理和公式，方能將其充分、靈活應(yīng)用于解題過程中，提高答題正確率。

總之，高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，為更好地完成教學(xué)任務(wù)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)在面臨諸多問題的情況下通過不斷的探索和總結(jié)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題誤區(qū)；對考試熱點(diǎn)和難點(diǎn)著重講解。此外，還需要讓學(xué)生意識到只有正確熟練掌握三角函數(shù)相關(guān)的概念、公式、平移特性、角的變化范圍及值域變化情況，多做練習(xí)并學(xué)會自己總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才有可能避免三角函數(shù)解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，取得良好的學(xué)習(xí)成績，同時也能促使教師更高質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。

[1]宋艷麗.略談高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)策略[J].才智，2012（25）：122-123.

[2]吳義平.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)要點(diǎn)分析[J].學(xué)周刊，2016（28）：104-105.

[3]郭新艷.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)要點(diǎn)初析[J].品牌，2015（03）：223.