陸崢

貴刊文[1]給出了橢圓中三角形面積最大值的兩個(gè)結(jié)論，文[2]又給出了此類問(wèn)題的一般性結(jié)論，讀來(lái)很受啟發(fā).兩位老師都用常規(guī)的處理三角形面積的方法，比較繁瑣，且探究出一般性的結(jié)論難度很大.筆者嘗試了用伸縮變換的方法將橢圓問(wèn)題化為圓來(lái)解決，運(yùn)算量大大減少，且得到一般的結(jié)論顯得很自然，同時(shí)發(fā)現(xiàn)利用同樣的方法，還能較容易地解決其它條件下的三角形面積最值問(wèn)題，現(xiàn)整理如下，供大家參考.

不妨假設(shè)橢圓方程：x2a2+y2b2=1（a>b>0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△AOB（簡(jiǎn)稱橢圓的中心三角形）的面積為S.

1直線過(guò)定點(diǎn)的三角形面積最值問(wèn)題

設(shè)直線AB過(guò)定點(diǎn)P（m，n）（異于原點(diǎn)），顯然不管點(diǎn)P位置如何，中心△AOB面積S均無(wú)最小值，下面探究其最大值，采用伸縮變換來(lái)處理：

對(duì)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）作伸縮變換x′=xa，

y′=yb，則橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，點(diǎn)P變成P′（ma，nb），橢圓上的A，B點(diǎn)變成圓上的點(diǎn)A′，B′，因?yàn)镺P′=m2a2+n2b2，所以當(dāng)OP′≥22，

即m2a2+n2b2≥12，O到A′B′的距離為22時(shí)，∠A′OB′=90°，所以（S△A′OB′）max=12，由伸縮變換的性質(zhì)，S△AOBS△A′OB′=ab，得Smax=ab2.顯然此時(shí)A、B為橢圓的一對(duì)共軛直徑的兩端點(diǎn).

當(dāng)OP′<22，即090°，由S△A′OB′=12OA′OB′sin∠A′OB′=12sin∠A′OB′知，當(dāng)∠A′OB′最小，即A′B′最小時(shí)，S△A′OB′最大，由平面幾何知識(shí)不難得到，當(dāng)P′為A′B′中點(diǎn)時(shí)（S△A′OB′）max=12A′B′OP′=m2a2+n2b21-m2a2-n2b2，

即有Smax=abm2a2+n2b21-m2a2-n2b2，

此時(shí)P為AB中點(diǎn).

綜上探究，有

結(jié)論1設(shè)過(guò)點(diǎn)P（m，n）（異于原點(diǎn)）的直線與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B兩點(diǎn).

當(dāng)m2a2+n2b2≥12時(shí)，A、B為橢圓的一對(duì)共軛直徑的兩端點(diǎn)時(shí)Smax=ab2；

當(dāng)0

Smax=abm2a2+n2b21-m2a2-n2b2.

注在結(jié)論1推導(dǎo)過(guò)程中，當(dāng)m2a2+n2b2≥12時(shí)，直線A′B′與圓x′2+y′2=12相切時(shí)，即直線AB與橢圓x2a2+y2b2=12相切時(shí)，Smax=ab2；當(dāng)0

下面用同樣的方法，探究其它兩種條件下的中心三角形面積最值問(wèn)題：

2直線AB方向一定時(shí)的三角形面積最值問(wèn)題

設(shè)一傾斜角為θ的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，顯然不管θ如何，中心△AOB面積S均無(wú)最小值，下面探究其最大值，仍采用伸縮變換處理：假設(shè)直線AB方程為xsinθ-ycosθ+t=0，作伸縮變換x′=xa，

y′=yb，則變換以后橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，橢圓上的A，B點(diǎn)變成圓上的點(diǎn)A′，B′，直線A′B′的方程為ax′sinθ-by′cosθ+t=0，當(dāng)△A′OB′面積最大時(shí)，∠A′OB′=90°，此時(shí)O點(diǎn)到直線A′B′的距離為22，于是ta2sin2θ+b2cos2θ=22，

所以t=±a2sin2θ+b2cos2θ2，

所以（S△A′OB′）max=12，從而Smax=ab2.于是有

結(jié)論2設(shè)傾斜角為θ的直線與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)直線方程為xsinθ-ycosθ±a2sin2θ+b2cos2θ2=0時(shí)，Smax=ab2.

3弦長(zhǎng)一定時(shí)的三角形面積最值問(wèn)題

設(shè)橢圓的弦AB長(zhǎng)l（0

對(duì)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）作伸縮變換x′=xa，

另外，當(dāng)中心角∠AOB一定時(shí)，S一定既有最大值又有最小值，探究過(guò)程過(guò)于繁瑣，這里不再贅述，有興趣讀者不妨一試.

參考文獻(xiàn)

[1]江邊.橢圓中兩個(gè)三角形面積最大問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（7）.

[2]馬現(xiàn)嶺.橢圓中一個(gè)三角形面積最大問(wèn)題又探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（3）.