葉明露

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

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集列的上(下)極限與其子列的上(下)極限的關(guān)系及應(yīng)用

葉明露

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

集列上(下)極限的計(jì)算公式已有, 但該公式對(duì)于復(fù)雜集列上(下)極限的計(jì)算卻并不適用。本文建立了集列上(下)極限與其子列上(下)極限間的關(guān)系, 從而可以把復(fù)雜集列的上(下)極限的計(jì)算分解為簡(jiǎn)單的子列的上(下)極限的交與并的運(yùn)算，并通過(guò)例子展示了這種方法的優(yōu)點(diǎn)。

集列；上極限；下極限；極限

0 引言

集列的上(下)極限的計(jì)算是實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。 但由于本科教學(xué)課時(shí)所限, 對(duì)此內(nèi)容介紹得不多。盡管文[1]和[2]都給出了集列上(下)極限的計(jì)算公式，但這個(gè)公式對(duì)于復(fù)雜的集列的上(下)極限的計(jì)算卻并不好用。 因此, 如何計(jì)算復(fù)雜的集列的上(下)極限集是一個(gè)值得考慮的問(wèn)題。

本文建立了集列的上(下)極限與其m分類(見(jiàn)定義5)的上(下)極限間的關(guān)系, 從而可以把復(fù)雜集列的上(下)極限的計(jì)算分解為簡(jiǎn)單的子列的上(下)極限的交與并的運(yùn)算，從而降低了復(fù)雜集列上(下)極限計(jì)算的難度。 此外，文[3]總結(jié)了兩個(gè)集列的上(下)極限集的運(yùn)算法則, 有興趣的讀者可以參考。

本文的N指不包含0的自然數(shù)集。 記AB為集合A與B的差集。

1 基本概念與知識(shí)預(yù)備

首先我們回顧集列的一些相關(guān)概念和結(jié)論。 定義可參見(jiàn)文[4]和[5]。

2 集列上下極限與其子列上下極限的關(guān)系

下面我們討論集列上下極限與其子列上下極限的關(guān)系。

證明(i)和(ii)由上下極限的定義可直接證明。 下面我們給出(iii)的證明。

x∈An，?n∈I。

(1)

(2)

綜合(1)(2)可知(i)成立。

(3)

x∈An，?n≥N1，n∈I1且x∈An，?n≥N2，n∈I2。

(4)

(5)

對(duì)于更一般的m分類, 我們有如下結(jié)論。

證明事實(shí)上, 我們可以把一個(gè)m分類{An∶n∈I1}，…，{An∶n∈Im}視為一個(gè)m-1分類，只需把指標(biāo)集Im-1和Im視為一個(gè)整體Im-1∪Im即可。 注意到定理1在Im-1∪Im上也成立, 所以我們可以用數(shù)學(xué)歸納法及定理1來(lái)證明定理2。

特別地，我們?nèi)绻炎匀粩?shù)集N以模為m(m≥2為正整數(shù))的余數(shù)來(lái)進(jìn)行分類，則有以下結(jié)論。

3 子序列上下極限與原序列上下極限的關(guān)系的應(yīng)用

我們通過(guò)下述例子來(lái)表明定理2的應(yīng)用。

注：定理2的優(yōu)點(diǎn)在于可以把復(fù)雜集列的上(下)極限的計(jì)算分解為簡(jiǎn)單的子列的上(下)極限的交與并的運(yùn)算, 從而降低了求解復(fù)雜集列上(下)極限的難度。

致謝魏勇教授對(duì)本文提出了許多修改意見(jiàn)和建議,在此感謝！

[1] 魏 勇.實(shí)變函數(shù)論新編[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

[2] 程其襄,張奠宙,魏國(guó)強(qiáng),等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] 劉 婷,王貴君.集合列的上(下)極限及其應(yīng)用[J].天津：天津商學(xué)院學(xué)報(bào),2006,26(3):61-64.

[4] 朱成熹.近世實(shí)分析基礎(chǔ)[M].天津：南開(kāi)大學(xué)出版社,1993.

[5] 王有一.集合列的上極限集與下極限集[J].寶雞師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1991,(2):96-98.

[6] 匡繼昌.實(shí)分析與泛函分析[M]. 北京:高等教育出版社,2002.

The Connection between the Superior (Inferior) Limit of the Sequence of Sets and the Superior (Inferior) Limit of Its Subsequence and Its Application

YE Minglu

(College of Mathematics and Information,China West Normal University,Nanchong Sichuan 637009,China)

As we know,there exists the formula for computing the superior (inferior) limit of the sequence of sets.But this formula is unfit to compute the superior (inferior) limit of the sequence of complicated sets.In this paper,we established the connection between the superior (inferior) limit of the sequence of sets and the superior (inferior) limit of its subsequence.Thus,we decomposed a sequence of complicated sets into some subsequences of simple sets.Moreover,we used the intersection or the union of these superior (inferior) limits of simple subsequences to compute the superior (inferior) limit of this complicated sequence.Some examples were used to show the merit of this method.

sequence of sets;superior limit;inferior limit;limit

1673-5072(2016)04-0403-04

2015-10-07

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(15ZA0152) ； 西華師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金(14E014); 西華師范大學(xué)校級(jí)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(CXTD2014-4).

葉明露(1975—)，男，重慶渝北人，博士，副教授，主要從事非線性最優(yōu)化研究研究。

葉明露，E-mail: yml2002cn@aliyun.com

O174.1

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.04.008