趙樹勛，游世輝，錢子菡

(1.湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湘潭 411105)

磁流變彈性體磁致力學(xué)性能的數(shù)值模擬研究

趙樹勛1，游世輝2，錢子菡2

(1.湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湘潭 411105)

磁流變彈性體是一類將磁性敏感顆粒嵌入柔軟橡膠基體中制成的新型磁敏高彈性智能材料.基于細觀力學(xué)RVE(等效體積單元)方法，建立了磁流變彈性體的二維多鏈RVE，從理論分析和數(shù)值模擬兩條主線，研究了磁流變彈性體的磁致壓縮和磁致剪切力學(xué)性能，包括其磁致模量和磁場能量的變化情況，討論了磁致模量的變化與能量轉(zhuǎn)換之間的關(guān)系.通過對多鏈磁流變彈性體進行磁彈性耦合數(shù)值模擬，驗證了外磁場的施加使得磁流變彈性體的初始壓縮應(yīng)力減小，剪切模量增大. 關(guān)鍵詞：磁流變彈性體；磁致力學(xué)性能；磁彈性耦合；數(shù)值模擬

0 引言

磁流變彈性體(Magnetorheological Elastomers，簡稱MREs) 是一類將磁性敏感顆粒嵌入柔軟橡膠基體中制成的新型磁敏高彈性智能材料，兼具磁敏材料和彈性體的優(yōu)點，如響應(yīng)快、可控能力強、可逆性好等.磁流變彈性體能承受大應(yīng)變，同時可以表現(xiàn)出磁彈性效應(yīng)，如磁致應(yīng)力、變形和有效模量的變化.

磁流變彈性體在制備時若無外加磁場，則鐵粉顆粒會隨機均勻地分散在橡膠基體中，呈現(xiàn)出各向同性的性質(zhì).若在外磁場作用下制備磁流變彈性體，則固化后的顆粒會沿磁場線呈鏈狀排列.磁流變彈性體的工作狀態(tài)一般包括拉伸、壓縮和剪切三種，以壓縮或剪切為主.

在對磁流變彈性體的磁致力學(xué)性能的研究方面，Jolly[1](1996)建立了點偶極子模型，把磁流變效應(yīng)當(dāng)作顆粒磁化的函數(shù).Ginder[2](1999)等使用有限元方法和偶極子模型方法計算了mres在不同磁場中準靜態(tài)剪切應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系.Y.Shen等人[3](2004)建立了考慮顆粒鏈的偶極子相互作用及基體材料的非線性性質(zhì)的MREs磁致模量的模型.朱應(yīng)順等人[4](2007)應(yīng)用有限元方法，計算得到了MREs中磁場的分布、相對磁導(dǎo)率以及磁致剪切模量等參數(shù)，但數(shù)值模擬中僅研究了單顆粒的磁學(xué)參量，并未考慮到磁-力耦合的作用.M.Kallio等人[5](2007)研究了壓縮模式下MREs的力學(xué)性能，結(jié)果表明磁性顆粒有取向的MREs的壓縮模量的改變量遠大于各向同性的MREs.孫書蕾等人[6](2015) 基于RVE方法對磁敏橡膠的力學(xué)行為進行了預(yù)測，但研究中并未考慮到顆粒的多鏈分布情況.

表征顆粒成鏈磁流變彈性體力學(xué)性能的理論模型多基于單鏈偶極子理論.偶極子理論模型作了過多假設(shè)，其忽略了顆粒鏈之間磁場力的相互作用，沒有考慮到顆粒網(wǎng)絡(luò)之間的整體作用，且單鏈偶極子理論模型無法從整體上定量且較精確地計算磁流變彈性體的力學(xué)參數(shù)，如磁流變彈性體的磁場能量及磁場力等.若采用數(shù)值模擬的方法對磁流變彈性體進行磁彈性耦合，可研究磁流變彈性體在變化過程中的細微觀機理，如磁場力的作用效果及磁場能量的變化情況等等.

本文首先討論了磁流變彈性體基體和顆粒的力學(xué)及磁學(xué)特性；之后從理論角度討論了單鏈磁流變彈性體的壓縮和剪切模量的計算式；然后建立了多鏈磁流變彈性體的二維RVE，并通過對RVE施加電磁邊界條件，研究了多鏈磁流變彈性體的磁致壓縮和磁致剪切力學(xué)性能，討論了其磁致模量及磁場能量的變化情況，并解釋了磁致模量變化與能量轉(zhuǎn)換之間的關(guān)系.

1 磁流變彈性體基體和顆粒的力學(xué)性能

1.1 磁流變彈性體基體的力學(xué)模型

磁流變彈性體的基體材料一般選用天然橡膠或硅橡膠.橡膠材料是一種高分子聚合物，具有超彈性及拉伸壓縮不同性質(zhì)的特征.橡膠的超彈性一般用應(yīng)變能密度函數(shù)來表征.本文選用Neo-Hookean模型來描述磁流變彈性體基體橡膠的超彈性.一般假定橡膠為不可壓縮材料.Neo-Hookean模型應(yīng)變能函數(shù)表達式為:

wN-H=C10(I1-3)

(1)

Neo-Hookean模型可以較好地預(yù)測應(yīng)變小于20%的平面拉伸和等雙軸拉伸，30%～40%的簡單拉伸以及80%～90%的純剪切力學(xué)行為的應(yīng)力-應(yīng)變行為.因此通過Neo-Hookean應(yīng)變能密度函數(shù)模型，可推導(dǎo)出磁流變彈性體在單軸壓縮和純剪切作用下載荷作用方向上的名義應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系.

1.2 鐵粉顆粒的力學(xué)及磁學(xué)特性

磁流變彈性體的填充材料多選用球形羥基鐵粉顆粒.羥基鐵粉是一種常見的彈塑性材料，也是一種鐵磁質(zhì)軟磁材料.羥基鐵粉受力后一般只發(fā)生較小的彈性變形，因此本文將磁流變彈性體的鐵粉顆粒視作線彈性材料，其力學(xué)參數(shù)可通過直接定義獲得.此處定義羥基鐵粉的楊氏模量為E=225 GPa，泊松比ν=0.35，密度ρ=7800 kg/m3，相對磁導(dǎo)率為μr=5000.

2 磁流變彈性體磁致力學(xué)性能的理論分析方法

2.1 磁場力及磁場能量的計算

磁流變彈性體的固化過程以及工作過程中都伴隨著磁場力的作用.鐵粉顆粒受到磁場的作用力即是一種磁場力.磁流變彈性體受到的磁場力可通過對鐵磁性顆粒的邊界施加Maxwell電磁應(yīng)力張量來求解.電磁場的Maxwell應(yīng)力張量可由下式給出：

Tm=BH-PemI

(2)

對磁性材料的邊界施加Maxwell電磁應(yīng)力張量后，通過積分即可求得磁性材料受到的外部磁場的磁場力，然后便可以求出磁流變彈性體的整體受力情況了.

工作中的磁流變彈性體能量的變化主要包括儲存在橡膠中的彈性勢能以及磁性材料中的磁能變化.磁場的能量即是指磁場的磁勢能.當(dāng)磁性介質(zhì)受到磁場的作用時，介質(zhì)將會被磁化而產(chǎn)生磁勢能.磁勢能在宏觀上主要包括靜磁能.

假設(shè)一線性、均勻且各向同性可磁化材料，其材料內(nèi)部和表面上均無電流，則放置于勻強磁場中的磁性材料磁疇區(qū)域上的靜磁能可表示為:

WH=-μ0MHcosθ

(3)

式中:M為磁化強度，WH為磁介質(zhì)被外磁場磁化時的磁場能量密度函數(shù).其中θ為磁偶極矩與磁場強度的夾角，θ∈[0°,180°].

2.2 磁致模量的計算

磁流變彈性體的磁致力學(xué)性能主要研究其在磁場中磁致楊氏模量的變化.表征磁流變彈性體的磁致力學(xué)性能的模型多基于單鏈的偶極子模型.現(xiàn)基于偶極子理論計算磁流變彈性體的磁致壓縮模量與磁致剪切模量的計算式.

對于磁流變彈性體的單鏈模型，磁場引起的力的變化與壓縮應(yīng)變的關(guān)系可表示為[7]：

(4)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率，μ1為基體的相對磁導(dǎo)率，R為顆粒半徑，ε為沿磁場方向的線應(yīng)變.對于橡膠基體來說，μ1≈1.同時將上式對ε求偏導(dǎo)，即可求得磁流變彈性體的磁致壓縮模量，表示為：

(5)

基于Jolly的磁偶極子理論模型[1]，當(dāng)剪切應(yīng)變ε﹤0.1時，可得到磁流變彈性體磁致剪切模量的計算公式為：

(6)

從以上兩式可以看出，磁場誘導(dǎo)產(chǎn)生的彈性模量和剪切模量都為正值，因而根據(jù)理論可知磁場將使得磁流變彈性體的壓縮模量和剪切模量增大.

2.3 磁流變彈性體電磁場的邊界條件

電磁場的邊界條件是指磁介質(zhì)分界面兩側(cè)場量與分界面上電流的制約關(guān)系.磁介質(zhì)的邊界條件應(yīng)滿足的關(guān)系有：

(1)磁感應(yīng)強度B的法向分量連續(xù)，可表示為

(7)

(2)磁場強度H的切向分量連續(xù)，可表示為

H1t=H2t

(8)

式中H1t和H2 t分別表示分界面上H1和H2的切向分量.該式說明，在兩種磁介質(zhì)的交界面處，磁場強度的切向分量是連續(xù)的.

下文基于RVE方法對磁流變彈性體的磁致力學(xué)性能進行磁-彈耦合數(shù)值模擬的時候，鐵磁顆粒為單一材料，且顆粒之間互不接觸，因而磁場邊界條件是自然滿足的.而位于RVE邊界處被截開的顆粒，在軟件中則可通過對其邊界施加Maxwell應(yīng)力張量來滿足邊界條件.

3 顆粒成鏈磁流變彈性體磁致力學(xué)性能的數(shù)值模擬

本節(jié)使用COMSOL Multiphysics對顆粒成鏈磁流變彈性體進行磁-彈性耦合數(shù)值模擬.建立的多鏈磁流變彈性體的二維RVE相關(guān)參數(shù)見表1.未列出的參數(shù)包括，鏈上顆粒衷心距為5.5，顆粒鏈間距為10.

表1 磁流變彈性體模型的相關(guān)參數(shù)

磁流變彈性體二維RVE及邊界條件示意圖如圖1所示，磁感應(yīng)強度平行于顆粒鏈方向，大小分別為0、0.5、1、1.5 Tesla.

圖1 多鏈磁流變彈性體RVE及邊界條件示意圖

圖2～圖3為磁流變彈性體磁致壓縮和磁致剪切相關(guān)云圖.從圖2可以看出，應(yīng)力在鐵磁顆粒上及顆粒鏈之間較為集中，形成一條條明顯的“應(yīng)力鏈”.從圖4可以看出應(yīng)力在上下兩邊的個別顆粒處較為集中.

圖2 磁致壓縮變形及其應(yīng)力云圖

圖3 磁致壓縮磁感應(yīng)強度云圖及其流線圖

從圖3和圖5可以看出，磁流變彈性體與空氣接觸處的顆粒邊緣的磁感應(yīng)強度較大，其次在顆粒邊緣處較大，垂直于磁感線的基體區(qū)域上磁感應(yīng)強度最小.從圖3可以看出，磁流變彈性體受壓變形后，磁感線平行顆粒鏈通過磁流變彈性體內(nèi)部時發(fā)生了彎曲，在顆粒鏈之間形成“波浪”.而圖5中的磁感線通過磁流變彈性體內(nèi)部時僅發(fā)生了傾斜，較為平緩.

圖4 磁致剪切變形及其應(yīng)力云圖

圖5 磁致剪切磁感應(yīng)強度云圖及其流線圖

圖6～圖7為多鏈磁流變彈性體磁致壓縮及剪切應(yīng)力-應(yīng)變曲線.從圖6可以看出，在壓縮作用下，材料的磁致壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線隨磁感應(yīng)強度的增大，初始應(yīng)力減小為負值.這說明磁場的施加使得磁流變彈性體受到與磁場反向的作用力，且磁場強度越大，該作用力越大.

從圖7可以看出，在剪切作用下，顆粒成鏈磁流變彈性體磁致剪切應(yīng)力-應(yīng)變曲線隨磁感應(yīng)強度的增大，曲線的斜率增大.由于應(yīng)力-應(yīng)變的曲線斜率即是該點處的彈性模量，因此可以說明施加磁場后磁流變彈性體的剪切模量增大，且磁場強度越大，曲線斜率越大，因而磁致剪切模量越大.

圖7 磁致剪切應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖8～圖9為多鏈磁流變彈性體磁致壓縮及磁致剪切磁能-應(yīng)變曲線.從圖8和圖9可以看出，壓縮和剪切的總磁能曲線都是隨著磁感應(yīng)強度的增大而增大，隨著應(yīng)變的增大，總磁能略微減小.同時顆粒體積分數(shù)大的曲線磁能更高，而與應(yīng)變的關(guān)系不大.

從圖9可以看出，剪切的總磁能曲線是隨著磁感應(yīng)強度的增大而增大；隨著應(yīng)變的增大，總磁能幾乎不變.

圖8 磁致壓縮磁能-應(yīng)變曲線

圖9 磁致剪切磁能-應(yīng)變曲線

對以上現(xiàn)象可通過以下解釋來說明.磁流變彈性體磁致模量與零磁場時的等效模量的不同實際上是由磁場能量和基體應(yīng)變能的相互轉(zhuǎn)換引起的.鐵磁性顆粒被外磁場磁化后，顆粒之間將產(chǎn)生磁力，并相互吸引.這種顆粒之間的磁力可稱作“預(yù)應(yīng)力”.由于預(yù)應(yīng)力的存在，磁流變彈性體的基體將沿磁場方向產(chǎn)生微小的壓縮.這種預(yù)應(yīng)力的存在增加了材料的可靠性.

對磁流變彈性體施加磁場后，在剪切變形過程中，排列成鏈的鐵磁性顆粒之間的距離增大，導(dǎo)致引起相互吸引的磁力減少.為了恢復(fù)平衡狀態(tài)，預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的儲存在橡膠基體里的應(yīng)變能將釋放.從宏觀上看，此時材料的應(yīng)變值將大于基體在相同載荷下的值，所以磁流變彈性體整體的初始磁模量呈增大的趨勢.而在壓縮過程中，顆粒之間的距離減小，顆粒之間的相互吸引力增大，此時材料的應(yīng)力值將小于相同應(yīng)變下的值，因此表現(xiàn)出初始應(yīng)力小于零的現(xiàn)象.

隨著應(yīng)變的增大，磁場的部分能量轉(zhuǎn)化為橡膠中的應(yīng)變能，因而磁場能量減小.而顆粒體積分數(shù)大的磁流變彈性體，磁能在顆粒中存儲的較多，同時轉(zhuǎn)化為基體應(yīng)變能的磁能也較多，因而磁場總能量會減少.

4 結(jié)論

本文基于細觀力學(xué)RVE方法，建立了顆粒成鏈磁流變彈性體的二維多鏈RVE，從理論分析和數(shù)值模擬兩條通道，研究了磁流變彈性體的磁致壓縮和磁致剪切力學(xué)性能，得出了如下結(jié)論：

(1) 顆粒成鏈磁流變彈性體在壓縮作用下，初始應(yīng)力較小.在剪切作用下，材料的磁致剪切模量增大.這是由于磁場能量和基體應(yīng)變能量的相互轉(zhuǎn)換引起的.

(2) 顆粒成鏈磁流變彈性體在壓縮作用下，總磁能隨著磁感應(yīng)強度的增大而增大；隨著應(yīng)變的增大，總磁能略微減小.剪切的總磁能曲線是隨著磁感應(yīng)強度的增大而增大；隨著應(yīng)變的增大，總磁能幾乎不變.同時顆粒體積分數(shù)大的磁流變彈性體磁場能量較小，反之亦然.

(3) 本文未能考慮鐵磁顆粒磁化過程的非線性和顆粒的磁飽和等因素的影響.下一步工作將考慮這兩個因素的作用，同時研究磁場的方向性對磁流變彈性體力學(xué)性能的影響.

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Numerical Simulation Research on Magnetic Mechanical Properties of Magnetorheological Elastomers

ZHAO Shu-xun，YOU Shi-hui，QIAN Zi-han

(College of Civil Engineering and Mechanics，Xiangtan University，Xiangtan 411105， China)

Magnetorheological Elastomers (MREs) are a kind of magneto-elastic smart materials which are compose of magneto-sensitive particles and soft elastomers. MREs have both advantages of magnetorheological materials and elastomers， such as rapid response， excellent reversibility and strong controllable ability. Based on RVE(Representive Volume Element) in mesomechanics method, multi-chained RVE of MREs is built and the magneto-mechanical property of comression and shear is studied through theoretical analysis and multi-physics coupling numerical simulation. These researches include magneto-induced modulus of magnetic filed energy as well as the relationship of the two variables. By magneto-elastic coupling numerical simulation to multi-chained RVE of MREs, we draw the conclusion that the MREs’ initial value of compression stress is decresed and shear modulus is increased due to magnetic field.

magnetorheological elastomers; magneto-mechanical property; magneto-elastic couple; numerical simulation

2016-05-13

國家自然科學(xué)基金項目資助(51375416).

趙樹勛(1990-)，男，碩士研究生，研究方向：工程力學(xué)與計算.

通迅作者：游世輝(1962-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：工程力學(xué)與計算.

TN303

A

1671-119X(2016)04-0084-06