許 文●

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

立體電場(chǎng)例析

許 文●

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

在近幾年全國(guó)與各地的高考物理試題中，我們看到常常以點(diǎn)電荷的立體電場(chǎng)為背景的相關(guān)試題.這類試題從多側(cè)面、多角度、全方位的對(duì)電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的分布特征、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系、電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能的變化規(guī)律等進(jìn)行考查，要求考生從立體的角度全面的認(rèn)識(shí)電場(chǎng)的性質(zhì)，這對(duì)考生的能力要求明顯提高.因此我們?cè)诟呖紓淇紡?fù)習(xí)中，對(duì)常見一些典型電場(chǎng)在了解其平面分布特征后，要向立體延伸，具有一定的空間想象力，建立正確的電場(chǎng)圖景.本文對(duì)常見的電場(chǎng)的立體分布特征作出分析與總結(jié).

一、勻強(qiáng)電場(chǎng)

勻強(qiáng)電場(chǎng)各處的場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向相同.其特征有：(1)電場(chǎng)線平行等距，其等差等勢(shì)面(線)也平行等距；(2)沿場(chǎng)強(qiáng)E方向相距為d的兩點(diǎn)的電勢(shì)差為U，有U=Ed；(3)沿同一方向兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與距離成正比；(4)平行等長(zhǎng)的兩線段端點(diǎn)的電勢(shì)差相等；(5)勻強(qiáng)電場(chǎng)中某線段中點(diǎn)的電勢(shì)等于兩端點(diǎn)電勢(shì)的(算術(shù))平均值.

例1 (2009寧夏)空間有一均勻強(qiáng)電場(chǎng)，在電場(chǎng)中建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系O-xyz，M、N、P為電場(chǎng)中的三個(gè)點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)(0，a，0)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0，0)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a/2，a/2).已知電場(chǎng)方向平行于直線MN，M點(diǎn)電勢(shì)為0，N點(diǎn)電勢(shì)為1V，則P點(diǎn)的電勢(shì)為

評(píng)析 本題利用電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直的關(guān)系先作出等勢(shì)面，再利用勻強(qiáng)電場(chǎng)中沿場(chǎng)強(qiáng)方向兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為U=Ed，沿同一方向兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與距離成正比來進(jìn)行求解.求解的關(guān)鍵是找出P點(diǎn)在xoy平面的等勢(shì)點(diǎn)P′，將此立體的勻強(qiáng)電場(chǎng)在xoy平面的分布圖畫出.

A．UDC=4 V B．UDC=3 V

C．E=200 V/m D．E=400/3 V/m

解析 由題意知AB是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的一條等勢(shì)線.作DO垂直于底面ABC于O，連CO交AB于M(圖4所示)，由幾何知識(shí)可知CM⊥AB，MC是一條電場(chǎng)線，DO是一條等勢(shì)線.由于OC=2MC/3，則

評(píng)析 本題由題給條件容易判斷AB是一條等勢(shì)線，由等勢(shì)面與電場(chǎng)線垂直可知MC是一條電場(chǎng)線，再由三垂線定理等幾何知識(shí)判斷DO也是一條等勢(shì)線，這是問題求解的關(guān)鍵.

二、點(diǎn)電荷電場(chǎng)

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線以點(diǎn)電荷為中心，沿徑向向外輻射，其等勢(shì)面是以點(diǎn)電荷為球心的球面，離球心越近，等差等勢(shì)面也越密.電場(chǎng)的分布特征具有多種對(duì)稱性.

例3 水平面上A、B、C三點(diǎn)固定著三個(gè)電荷量為Q的正點(diǎn)電荷，將另一質(zhì)量為m的帶正電的小球(可視為點(diǎn)電荷)放置在O點(diǎn)，OABC恰構(gòu)成一棱長(zhǎng)為L(zhǎng)的正四面體，如圖5所示.已知靜電力常量為k，重力加速度為g，為使小球能靜止在O點(diǎn)，小球所帶的電荷量q為

評(píng)析 由正四面體的對(duì)稱性，判斷A、B、C三個(gè)相同的點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)均與過O點(diǎn)的豎直線成θ角，并用幾何知識(shí)表達(dá)出此角度的函數(shù)值，這是對(duì)放在O點(diǎn)的帶電小球建立力的平衡方程的基礎(chǔ).

三、等量雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)

1．等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)(圖6)有以下特征：

(1)兩點(diǎn)電荷連線上：各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向從正電荷指向負(fù)電荷；兩點(diǎn)電荷連線上中點(diǎn)O場(chǎng)強(qiáng)最小，靠近兩兩點(diǎn)電荷，場(chǎng)強(qiáng)變大；與O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相等；順著電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低.

(2)兩點(diǎn)電荷連線的中垂面(線)上：各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向均相同，且與中垂面(線)垂直；在中垂面(線)上到O點(diǎn)等距離處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等.中垂面內(nèi)各點(diǎn)的電勢(shì)相等(一般取無限處的電勢(shì)為零，則中垂面內(nèi)各點(diǎn)的電勢(shì)均為零).

2．等量同種點(diǎn)電荷電場(chǎng)(圖7)有以下特征：

(1)兩點(diǎn)電荷連線上：連線中點(diǎn)O處場(chǎng)強(qiáng)為零，靠近兩兩點(diǎn)電荷，場(chǎng)強(qiáng)變大；與O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向相反；順著電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低.

(2)兩點(diǎn)電荷連線的中垂面(線)上：從O點(diǎn)到無限遠(yuǎn)處作任一射線，此線上從O點(diǎn)到無限遠(yuǎn)處各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)先變大后變小，場(chǎng)強(qiáng)方向與該射線平行；與O點(diǎn)等距離的兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等.

例4 (2014湖南模擬)如圖8所示，A、B、C、D是真空中一正四面體的四個(gè)頂點(diǎn).現(xiàn)在A、B兩點(diǎn)分別固定電量為+q、-q的兩個(gè)點(diǎn)電荷，則下列說法正確的是( ).

A．C、D兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相同，電勢(shì)相同

B．C、D兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不同，電勢(shì)不同

C．將一正電荷從C點(diǎn)移到D點(diǎn)，靜電力對(duì)該正電荷先做正功后做負(fù)功

D．將一正電荷從C點(diǎn)移到D點(diǎn)，靜電力對(duì)該正電荷先做負(fù)功后做正功

解析 在A點(diǎn)放置點(diǎn)電荷+q，在B點(diǎn)放置點(diǎn)電荷-q，則在正四面體空間的電場(chǎng)分布是兩個(gè)等量異種電荷產(chǎn)生電場(chǎng).由兩等量異種電荷電場(chǎng)的分布特點(diǎn)可知：正四面體的C點(diǎn)處于A、B兩個(gè)等量異種電荷連線在側(cè)面ACB內(nèi)的中垂線上，故C點(diǎn)的電勢(shì)φC=0，場(chǎng)強(qiáng)EC的方向平行于AB連線(由A指向B)；D點(diǎn)處在A、B兩個(gè)等量異種電荷連線在側(cè)面ADB內(nèi)的中垂線上，故D點(diǎn)的電勢(shì)φD=0，場(chǎng)強(qiáng)ED的方向平行于AB連線(由A指向B)；由于C、D兩點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)電荷的距離相等，可知C、D兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小相等.

本題正確選項(xiàng)為A.

評(píng)析 本題圖8中C點(diǎn)與D點(diǎn)的連線其實(shí)在A、B兩個(gè)等量異種電荷連線的中垂面上，其中垂面是一個(gè)等勢(shì)面，CD的連線是一條等勢(shì)線，故不管是正電荷還是負(fù)電荷在CD線上移動(dòng)，靜電力(電場(chǎng)力)均不做功.

例5 (2013武昌區(qū)模擬)如圖9所示，空間中有一個(gè)正方體abfe-dcgh，有一對(duì)等量異種點(diǎn)電荷分別位于空間中的d點(diǎn)和g點(diǎn).現(xiàn)在各頂點(diǎn)間移動(dòng)一正試探電荷，關(guān)于該試探電荷所受的電場(chǎng)力和具有的電勢(shì)能，以下判斷正確的是( ).

A．在e點(diǎn)和b點(diǎn)所受電場(chǎng)力相同

B．在a點(diǎn)和f點(diǎn)所受電場(chǎng)力相同

C．在e點(diǎn)和b點(diǎn)電勢(shì)能相等

D．在a點(diǎn)和f點(diǎn)電勢(shì)能相等

解析 根據(jù)等量異種電荷電場(chǎng)的分布特征可知，h、e、b、c都在過+Q與-Q連線的中垂面上，且e點(diǎn)與b點(diǎn)的到兩個(gè)點(diǎn)電荷距離相等，所以e點(diǎn)與b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，其方向都與中垂面垂直，所以同一試探電荷在e點(diǎn)和b點(diǎn)所受電場(chǎng)力的大小及方向都相同，選項(xiàng)A正確；由于此中垂面是一個(gè)等勢(shì)面，e點(diǎn)和b點(diǎn)電勢(shì)相等，故同一試探電荷在e點(diǎn)和b點(diǎn)電勢(shì)能相等，選項(xiàng)C正確；對(duì)a點(diǎn)和f點(diǎn)，分別在兩個(gè)點(diǎn)電荷的正下方，由等量異種電荷電場(chǎng)線的分布特征可知，a點(diǎn)和f點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小相等，但方向不同，所以同一試探電荷在a點(diǎn)和f點(diǎn)所受電場(chǎng)力的大小相等，方向不同，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)等量異種電荷電場(chǎng)等勢(shì)面的分布和順著電場(chǎng)線電勢(shì)降低可知，a點(diǎn)的電勢(shì)高于f點(diǎn)的電勢(shì)，正試探電荷在a點(diǎn)電勢(shì)能較大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

本題正確選項(xiàng)為AC.

評(píng)析 一對(duì)等量異種點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)具有對(duì)稱性，根據(jù)電場(chǎng)線的分布特征和對(duì)稱性，分析場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，從而判斷電荷所受電場(chǎng)力大小及方向；根據(jù)等勢(shì)面的分布特點(diǎn)，判斷電勢(shì)的大小關(guān)系，確定電荷的電勢(shì)能的大小關(guān)系.

例6 (2014湖北二模)如圖10所示，真空中有一正四面體ABCD，M、N分別是AB和CD的中點(diǎn).現(xiàn)在A、B兩點(diǎn)分別固定電荷量為+Q、-Q的點(diǎn)電荷，下列說法中正確的是( ).

A．將試探電荷+q從C點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力做正功，試探電荷+q的電勢(shì)能降低

B．將試探電荷-q從M點(diǎn)移到N點(diǎn)，電場(chǎng)力不做功，試探電荷-q的電勢(shì)能不變

C．C、D兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等

D．N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向平行AB，且跟CD垂直

解析CD在兩等量異種電荷AB連線的中垂面內(nèi)，CD是一條等勢(shì)線，試探電荷從C點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力不做功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；MN兩點(diǎn)的連線也在兩等量異種電荷AB連線的中垂面內(nèi)，故MN的連線也是一條等勢(shì)線，將試探電荷從M點(diǎn)移到N點(diǎn)，電場(chǎng)力不做功，試探電荷的電勢(shì)能不變，選項(xiàng)B正確；根據(jù)等量異種電荷在空間的電場(chǎng)線分布特點(diǎn)知道C、D兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等，選項(xiàng)C正確；根據(jù)電場(chǎng)疊加原理知道N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向平行AB且跟CD垂直，選項(xiàng)D正確.

本題正確選項(xiàng)為BCD.

評(píng)析 明確兩等量異種點(diǎn)電荷中垂面的電場(chǎng)分布特征，認(rèn)識(shí)到CD與MN均在等量異種點(diǎn)電荷A、B連線的中垂面內(nèi)，這是求解本題的關(guān)鍵.

通過以上幾例的分析，我們可以看出，對(duì)典型的常見電場(chǎng)分布特征的立體考查，這類問題既考查了電場(chǎng)的分布特點(diǎn)與規(guī)律，考查了對(duì)稱性思想，也考查了對(duì)空間圖形的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)和空間想象能力，考查了學(xué)科綜合能力.這符合新課程的學(xué)習(xí)理念，很受新高考關(guān)注.

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