周龍虎 劉師妤

（1.湖北省華中師范大學第一附屬中學 全國新青年數(shù)學工作室430223；2.湖北省武漢市英格中學430079）

高中數(shù)學中，有很多章節(jié)涉及數(shù)學模型及實際應用等內容，但更多的一線教師對這一塊的處理辦法往往是一帶而過甚至根本不講，僅因為其產生的高考效益不高，這是現(xiàn)今教學中典型的重“目標教學”輕“過程教學”的亂象.謀求數(shù)學上的發(fā)展應是一個懷石成玉、懷沙成珠的過程，數(shù)學能力的培養(yǎng)、數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成在于朝朝夕夕、點點滴滴.數(shù)學模型給我們提供的不僅僅只是解決問題的程序與步驟，更應是解決問題的思維方式.2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》明確指出高中數(shù)學課程需要設立“數(shù)學探究”“數(shù)學建?！钡葘W習活動以及體現(xiàn)數(shù)學某些重要應用的專題課程.要求“增強用數(shù)學的意識，能初步運用數(shù)學模型解決實際問題，逐步學會把實際問題歸結為數(shù)學模型，然后運用數(shù)學方法進行探索、猜測、判斷、證明、運算、檢驗，使問題得到解決”.為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.這些要求不僅符合數(shù)學本身發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要.因為我們的數(shù)學教學不僅要使學生獲得新的知識而且要提高學生的思維能力，要培養(yǎng)學生自覺地運用數(shù)學知識去考慮和處理日常生活、生產中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質，具有探索新知識、新方法的創(chuàng)造性思維能力.

基于這種考量，利用數(shù)學模型原型作為教學資源，啟發(fā)引導學生建立數(shù)學模型解決問題的教學思路逐漸形成，就是我們常說的數(shù)學模型思想.數(shù)學模型思想就是利用數(shù)學語言（包括符號、圖形、公式）模擬現(xiàn)實問題的模型，把問題原型進行抽象、概括、假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結構是完全形式化和符號化的模型，從而指導相關數(shù)學問題的研究和解決的一種演繹思想.

數(shù)學模型思想的提煉、內化離不開數(shù)學建模，哪怕我們在平時的教學中只做其中的某些步驟.文[1]中張思明老師以鮮活的、可借鑒的建模案例全方位地展現(xiàn)了中學教師如何做好中學數(shù)學建模，對落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)、提升數(shù)學課程價值意義重大.文[2]中章建躍等老師圍繞著函數(shù)y=Asin（ω x+φ）的修訂研究工作談到了建模思想應至始至終貫穿于整個建?！饽＿^程中，即使得到模型后也不能僅限于在數(shù)學內部研究問題，要體現(xiàn)模型回歸實際意義的過程，而不是簡單的說明.文[3]中張唯一老師以高中概率的教學為例，也呼吁要加強建模的抽象過程和解釋過程，并加強模型的對比.這給我們的教學作了很好的一個引領作用，數(shù)學建模思想的介入，使得較籠統(tǒng)的、不太確定的教學過程變得有機相連、層層遞進、環(huán)環(huán)相扣，科學的解釋性和精確性得到充分的體現(xiàn).經(jīng)過不斷的探索和經(jīng)驗的積累，我們已經(jīng)對某些模型研究得非常成熟了，如對勾函數(shù)模型、立幾中的正方體模型、四面都是直角三角形的三棱錐模型等.相信隨著研究的深入，我們模型教學的素材會愈加貼近生活，愈有數(shù)學味.但數(shù)學模型原型雖作為一種很好的介入方式，但能否順應出新問題的建模及解模，是一個值得思考的問題，筆者以《建立不等式模型解決實際問題》為例，展示從數(shù)學模型原型出發(fā)，到探求數(shù)學模型的教學思路與做法，以期與同行交流.

1 教學設計

1.1 教學內容解析

本課內容是高三第一輪復習《不等式與不等式選講》章節(jié)中的一節(jié)課，這一章的主要內容有：不等關系與不等式、一元二次不等式的解法、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題、基本不等式、絕對值不等式以及不等式的證明.建立不等式模型解決實際問題基于建立不等式模型和求解不等式的方法兩大塊，因此本節(jié)課的重點是進一步完備建模的思想，引導學生建立不等式模型并求解.

本節(jié)課是繼建立函數(shù)模型后再一次數(shù)學建模的拓展，在不等式相關知識背景下展開，目的在于再現(xiàn)建模方法、體現(xiàn)不等式價值、強調數(shù)學應用.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學重點確定為：

建立不等式模型解決實際問題

1.2 學生學情診斷

學生在《函數(shù)、導數(shù)及其應用》章節(jié)中已經(jīng)學習了建立函數(shù)模型解決實際問題，并在《不等式與不等式選講》章節(jié)中學習了不等式的性質、解不等式及不等式的證明，對建立數(shù)學模型有了初步的認識，但對于從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能力仍有欠缺.第一輪復習階段學生對建立不等式模型的思想的理解還比較模糊，對于實際問題中有用信息的收集與轉化、變量關系的處理仍感到困難，尤其是不容易建立不等式模型解決實際問題.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學難點確定為：

不等式模型的建立

1.3 教學標準設置

（1）通過數(shù)學測試得分、綠化投資方案比較兩個簡單實例，能抓住題中“不低于”、“不少于”等關鍵詞，感受“關鍵詞”在建立不等式模型中的作用；

（2）通過人員調整利潤最大化和高峰期增開售票窗口兩個例題，對文字材料進行分析、獲取并整理信息，并在已有認知基礎上建立不等式模型，感受建立不等式模型的思維過程與方法；

（3）經(jīng)歷建立不等式模型解決實際問題的過程，加深對建模過程的認識，體會建模的思想與方法.

1.4 教學策略分析

高三第一輪復習課旨在核心知識再梳理、知識網(wǎng)絡的構建、思想方法上逐步提升.本節(jié)課采用的是“逐步遞進式”，即遵照“易建模，易解?！薄耙捉?，難解模”→“難建模，易解?！钡乃悸氛归_.通過對實例的探究，讓學生進一步明確建立不等式模型解決實際問題，提升數(shù)學建模的意識，體會收集信息、整理信息對應用不等式建立模型的重要性.

2 課堂演示

2.1 基礎訓練

引例1在一次數(shù)學測試中，一共有16個選擇題，規(guī)定答對一題得6分，答錯一題扣2分，不答不得分也不扣分.該同學只有一道題未答.該同學答對多少道題，其得分不低于70分？設該同學答對的題數(shù)為x道，則不等關系為：_______.

引例2某市環(huán)保局為增加城市的綠地面積，提出兩個投資方案：方案A為一次性投資500萬元；方案B為第一年投資5萬元，以后每年都比前一年增加10萬元.列出不等式表示“經(jīng)過n年后，方案B的投入不少于方案A的投入”為：________.

評析以學生熟悉的題型入手，開門見山，體會建立不等式模型在解決實際問題中的作用.

2.2 實例探究

例1某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產業(yè)結構，調整出x（x∈N*）名員工從事第三產業(yè)，同時為了保證企業(yè)正常的運轉，規(guī)定調整出的員工人數(shù)x（x∈N*）應滿足300≤x≤400.調整后從事第三產業(yè)員工平均每人每年創(chuàng)造利潤為，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.2x%.

（1）請問能保證剩下員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤嗎？

（2）若調整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？

評析以實際應用問題形式給出的不等關系，需要學生加工、整理信息轉化為數(shù)學不等關系，從而建立該問題的不等式模型或由函數(shù)模型進一步轉化為不等式模型，再根據(jù)問題的求解目標，選擇使用不等式的方法，通過求解不等式，回歸實際問題實際意義達到解題的目的.

為直觀表達題干中有關量的關系，可引導學生建立如下表格，使數(shù)學表達到建立模型更順暢、快捷.

人數(shù) 人均創(chuàng)造利潤 年總利潤調整前10 00 10 10 00 0_____________調整后第三產業(yè) x 10a-3x（ ）50 0 10x a-3x（ ）50 0原產業(yè) 10 00-x 10（1+0.2x%） 10（10 00-x）（1+0.2x%）

例2春運期間，各車站通過增加售票窗口、檢票窗口、班次等方式來減少旅客的滯留量.旅客在車站排隊購票，并且排隊的旅客可視為均勻增加.若只開設一個售票窗口，需要40分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出（假設每名排隊旅客只能購一張所需車票）；若只開設兩個售票窗口，只需15分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出.現(xiàn)有一班增開客車進站運送旅客.因時間緊張，所有排隊購票的旅客必須在5分鐘內全部購票上車（假設等待購票的旅客都乘坐該車，并且購票后立即上車），問此時車站最少要同時開放幾個售票窗口？

評析本題的變量關系具有一定的隱蔽性，引導學生搜集信息、加工信息是本題的一大難點.

教學片段

師：同學們先認真審題

生：【審題、思考】

師：審完題了，不太好下手吧，我先提三個問題供大家思考：（1）本例要解決的問題是什么？（2）問題如何用文字語言表述？（3）文字語言中的量如何用數(shù)學符號語言表示？并用表格呈現(xiàn)出來（投影顯示）.

請大家回憶我們解決前面兩個問題的思維過程，認真討論，我再請同學回答.

生：【思考、討論】

師：有沒有哪位同學主動回答這個問題？

生1：需要解決的是“旅客必須在5分鐘內全部購票上車，求此時開設的最少窗口數(shù)”.

師：對，如何用文字不等式表示呢？

生1：【思考】

師：怎樣保證旅客在5分鐘內全部購票上車？

生1：5分鐘內窗口能售出的票數(shù)不得少于購票的旅客人數(shù).

師：一個窗口可以保證嗎？

生1：不能，設開n個窗口.

師：即5分鐘內n個窗口能售出的票數(shù)≥5分鐘內排隊購票的旅客人數(shù)

師：那這個不等關系中涉及哪些量呢？

生1：5分鐘內的購票人數(shù)以及排隊購票的旅客人數(shù).

師：很好，如何表示呢？我們先來表示排隊購票的旅客人數(shù).

生1：排隊購票的旅客人數(shù)包括兩部分，一是已經(jīng)在車站等的旅客，二是均勻增加陸續(xù)來的旅客.

師：非常好！如何表示出排隊購票的旅客人數(shù)中的兩個量呢？

生1：設售票開始時排隊旅客購票的旅客有x人，排隊的人數(shù)每分鐘增加y人，從而5分鐘內排隊購票的旅客人數(shù)為x+5y.

師：很好，再看左邊，5分鐘內n個窗口能售出的票數(shù)又該如何表示呢？

生1：設每售一張票的時間為t0（分鐘），5分鐘內n個窗口能售出的票數(shù)為.

師：這個不等關系就為？

師：真不錯，請坐！要解決這個問題，光知道這個不等式還不能求出n，我們還要進一步尋求x，y，t0的關系，請同學們接著審題，確定需要哪些量并用表格表示出來，找出其它關系.

生：【再審題、思考并討論】

師：大家應該得到x，y，t0的其他關系了吧，我們請同學展示一下你們的成果.

生2：有售票窗口數(shù)、售票時間、售票初排隊人數(shù)、排隊人數(shù)均勻增速、能售出的票數(shù)和購票人數(shù)這些量.還滿足.

【投影顯示】

如何求n呢？

生：由（1）（2）可以消參，用t0表示x，y.

師：這個問題也圓滿解決了，看來大家運用數(shù)學的能力很強！從該例來看，獲得模型較困難，解模卻很容易，因而搜集信息、轉化信息就顯得尤為重要.相比而言，例1中直接可建立不等式，但解模要稍復雜些.兩個例題揭示了建立不等式模型解決實際問題中兩個很重要的本領：一個是“建”的本領，認真審題、對信息去粗存精；另一個是“解”的本領，解一般不等式的方法、不等式恒成立問題的求解辦法.

評析該問題是本節(jié)課的核心問題，為了保證預期解模的成功，教師沒有急于告知，而是搭建一定的腳手架，并給學生充分的時間思考、探索及表達，讓整個數(shù)學建模過程緊張而激烈，對增強學生攻克難題的信心、解決問題的有序性都大有幫助.

2.3 歸納提升

師生共同總結建立不等式模型解決實際問題的基本步驟：

1.審題 → 尋求變量關系；

2.建模 → 建立不等式；

3.解模 → 求解不等式；

4.作答 → 回歸實際意義.

評析從兩個實例的探究過程中歸納出建立數(shù)學模型的基本步驟，并進一步明確建立不等式模型的方法.

2.4 練習鞏固

某大學為推進后勤社會化改革，與光谷新區(qū)商定：由該區(qū)向銀行貸款500萬元在光谷新區(qū)為學校建一棟可容納一千人的學生公寓，工程于2014年初動工，年底竣工并交付使用，公寓管理處采用收費還貸償還銀行貸款（年利率5%，按復利計算），公寓所收費用除去物業(yè)管理費和水電費18萬元，其余部分全部在年底償還銀行貸款.

（1）若公寓收費標準定為每生每年800元，問到哪一年可償還銀行貸款.

（2）若公寓管理處要在20 22年底把銀行貸款全部還清，則每生每年的最低收費標準是多少元（精確到一元）.

（參考數(shù)據(jù)：l g1.73 43=0.2391，l g1.05=0.0212，1.058=1.4774.）

評析數(shù)列、不等式在銀行貸款及利率方面的應用是學生熟悉的一類實際問題，引導學生分析問題中的文字語言如“到哪一年可償還銀行貸款”表面上是等量關系，實質上是不等關系.

2.5 作業(yè)布置

1.某地鐵路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達B站，并停車1分鐘，8時12分到達C站，在實際運行中，假設列車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以平均速度vk m/h行駛，現(xiàn)規(guī)定列車從A站到達某站的實際時間與時刻表上相應的規(guī)定時間之差的絕對值W為列車在該站的運行誤差.

（1）分別寫出列車在B，C兩站的運行誤差WB，WC.

（2）若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求v的取值范圍.

2.夏天，某省電網(wǎng)用電短缺：每天從早晨8點整到下午6點整為用電正常期，每小時缺電300萬千瓦；從下午6點整到晚上10點整為用電高峰期，每小時缺電750萬千瓦；從晚上10點整到次日早晨8點整為用電低谷期，每小時缺電100萬千瓦.現(xiàn)從外省購買電量（定值），量少可直接被電網(wǎng)使用，量多可蓄能再用.已知購買價格為每度（千瓦時）0.5元，蓄能電站每吸收1度電可發(fā)0.6度電；除輸入電量的成本外，電站每發(fā)1度電的額外成本S與每天發(fā)出的總電量Q（萬度）之間的關系是元.為保證該省電網(wǎng)正常運轉的情況下，每小時需購買多少萬千瓦的電量時，每日（從晚10點整到次日10點整）成本最低？

3.某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起開始包括維修費在內，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元.

（1）該船捕撈幾年開始盈利（即總收入減去成本及所有費用之差為正值）？

（2）該船捕撈若干年后，處理方案有兩種：

①當年平均盈利達到最大值時，以26萬元的價格賣出；

②當盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出.

問哪一種方案較為合算，請說明理由.

評析通過作業(yè)與思考中不同實際問題情境的設置，進一步強化學生利用不等式建模的意識，提高學生的分析能力和應用數(shù)學的能力.

3 課后反思

通過本節(jié)課的教學實踐，認識到多一點精心預設，就能融一份動態(tài)生成，體會到什么是由“關注知識”轉向“關注學生”.在教學過程中，注意到了由“給出知識”轉向“引起活動”，由“完成教學任務”轉向“促進學生發(fā)展”，課堂上的主體應該是學生.一堂好課，師生一定會積極的互動，并有良好的情感交流.本節(jié)課的教學中，較難的不等式模型是在老師的引導下建立的，學生通過在解決實際問題的過程中“抽出”的，并通過所學知識，完成解模的過程，學生真正體會到數(shù)學應用的魅力.

可取之處：一是教學設計簡潔明快，將建立不等式模型解決實際問題的核心定位在建模和解模兩大塊，尤其是在高中學習階段最易忽視的利用信息轉化建立模型方面作了一些嘗試，并取得了一定的教學效果；二是教態(tài)自然得體，親和力強，能很好地駕馭課堂，積極調動學生思考問題，課堂氣氛活躍.

改進之處：由于時間有限，在暴露學生問題、思維過程等方面略顯不足，探究過程中還應讓更多的學生發(fā)表自己的看法.

4 教學點評

本節(jié)課是第一輪復習中的復習課，對這節(jié)課如何“選材”進行了認真的思考，對怎樣建模作了幾點嘗試.

選材：一是選材源于教材、貼近生活.如引例2選自必修5的課后習題，以等差數(shù)列前n項和作為知識背景，建構的是學生熟悉的數(shù)列不等式模型；二是選材注重“四性”—層次性、典型性、趣味性、探究性.“2+2+1+3”模式由淺入深、由易到難體現(xiàn)了建立不等式模型的基本程序，符合學生螺旋式發(fā)展認知規(guī)律；針對實際問題建立了如一次不等式、二次不等式、絕對值不等式等不同類型的模型，建?；静襟E的歸納總結具有一般性；選擇與學生息息相關的生活問題如考試得分、優(yōu)化調整、銀行利率、排隊購票等能激發(fā)學生的探究欲望.

建模：建立不等式模型是本節(jié)課的重點與難點.如何建立不等式模型，我的做法是：（1）抓住題中的“不低于”、“不少于”等關鍵詞建立不等式模型；（2）抓住題中的等量關系與不等關系建立不等式模型.在建模的過程中，認真分析，使思維程序化：（1）閱讀材料，收集信息；（2）分析篩選、處理信息，將信息用表格的形式呈現(xiàn)出來；（3）用字母表示信息中的量；（4）尋找等量關系與不等關系；（5）用含字母的量表出等式關系與不等關系.

解模：解模的過程注重通性通法的應用以及變量的轉換，能促進學生思維的提升.

對于數(shù)學建模，在深化課程改革之今天，我們的中學課堂雖不能像大學理工科及部分文科專業(yè)的必修課那般常態(tài)化，綜合化，但不可否認的是，模型教學中學生的學習方式改變了，學生的多種能力提升了，數(shù)學課堂更鮮活了，效果也更好了！值得稱道的是將要使用的新修訂或編寫的高中課標教材已把“數(shù)學建?！钡群诵脑~直接作為章節(jié)標題的一部分，這表明模型的功能性地位不改變（素材、載體），但模型的延伸價值（由已知模型的探討到未知模型的建立）已受到重視，學生應用意識、實踐能力的培養(yǎng)才能落到實處.

希望模型教學是今后數(shù)學課堂教學改革中一道靚麗的風景線，學生通過多種合作交流活動學中做，做中學，真正體會數(shù)學的實用價值，為數(shù)學學科育人奉獻一份力量！