李偉健

（安徽省滁州中學(xué)，239000）

文[1]提出的1720號(hào)數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)容如下：△ABC中，以BC為軸（長(zhǎng)軸或短軸均可）作一橢圓交AB于E，交AC于F.設(shè)M、N分別是點(diǎn)E、F關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，EN交FM于D.求證：AD⊥BC.文[2]給出了證明方法，之后文[3]、文[4]進(jìn)行了大篇幅的討論分析，得出的結(jié)論極富美感，但兩者推理過(guò)程由于計(jì)算過(guò)于繁瑣而稍顯不和諧，筆者從極點(diǎn)、極線(xiàn)出發(fā)簡(jiǎn)化文[4]的證明；另外文[4]對(duì)文[3]的推廣工作并不徹底，本文對(duì)文[4]補(bǔ)充完善，并徹底推廣了文[3]的工作；此外，回歸原問(wèn)題，在思考1720號(hào)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)過(guò)程中，得到了一個(gè)有趣性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)，解釋了文[5]作者趙忠華老師利用幾何畫(huà)板發(fā)現(xiàn)的一個(gè)有趣現(xiàn)象.

1 文[4]推理過(guò)程的簡(jiǎn)化

文[3]對(duì)1720號(hào)問(wèn)題開(kāi)展分析討論，得出兩個(gè)結(jié)論，即為：

結(jié)論1以△BC中的BC為長(zhǎng)軸（實(shí)軸）的橢圓（雙曲線(xiàn)）交此三角形的另兩邊AB、AC分別于點(diǎn)E、F.設(shè)M、N分別是點(diǎn)E、F關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，G、H分別是E、F在x軸上的射影，連EN交FM于D，連EH交FG于K，連BF交CE于Q，過(guò)點(diǎn)E、F分別作橢圓（雙曲線(xiàn)）的切線(xiàn)交于點(diǎn)P，則A、P、Q、K、D五點(diǎn)共線(xiàn).

文[4]同樣對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題17 20試圖對(duì)結(jié)論1進(jìn)行推廣，探究得到的4個(gè)結(jié)論，概括地來(lái)說(shuō)，即為如下結(jié)論：

結(jié)論2設(shè)A，B，C，D是非退化二階曲線(xiàn)Γ上不同的四點(diǎn)，連直線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)M，連直線(xiàn)AD、BC交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A，B分別作曲線(xiàn)Γ的切線(xiàn)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C，D分別作曲線(xiàn)Γ的切線(xiàn)交于點(diǎn)Q.則M、N、P、Q四點(diǎn)共線(xiàn).

該結(jié)論具有和諧的美感，不足之處在于論證過(guò)程過(guò)于繁瑣而失去美感，本文從極點(diǎn)與極線(xiàn)的角度，結(jié)合配極原理，予以論證，即：

證明記R=AB×CD，由于MNR是自極點(diǎn)三點(diǎn)形，直線(xiàn)MN為R的極線(xiàn)，因?yàn)镻A，PB與Γ相切于點(diǎn)A，B，所以直線(xiàn)AB是P點(diǎn)的極線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)R，根據(jù)配極原理，點(diǎn)R的極線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)P，同理直線(xiàn)MN也過(guò)點(diǎn)Q，即M、N、P、Q四點(diǎn)共線(xiàn).

2 文[3]工作的徹底推廣

文[4]所得結(jié)論較文[3]來(lái)說(shuō)，另一個(gè)不足之處在于，與文[3]相比，丟失了兩個(gè)點(diǎn)，實(shí)際上P、Q兩點(diǎn)在結(jié)論2中情形是一樣的，本文擬彌補(bǔ)缺失的兩個(gè)點(diǎn)，要想補(bǔ)出這兩個(gè)丟失的點(diǎn)，必須了解此兩點(diǎn)的由來(lái)，文[3]中直線(xiàn)EM與直線(xiàn)FN，交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此點(diǎn)在位于R的極線(xiàn)MN上，至此，E、M與F、N的由來(lái)實(shí)際上是過(guò)R的極線(xiàn)上一點(diǎn)與曲線(xiàn)Γ的交點(diǎn)，接下來(lái)，就可以把文[4]迷失的兩點(diǎn)再現(xiàn)出來(lái)，即：

結(jié)論3設(shè)L為R的極線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)L作兩條直線(xiàn)，分別交Γ于點(diǎn)E、M，F(xiàn)、N，且D=EN×FM，K=GF×EH，則D、K在R的極線(xiàn)上.

證明根據(jù)完全四點(diǎn)形MNF E的調(diào)和性，D必在R的極線(xiàn)上，且（RT，E F）=-1，（RD，HG）=-1，所以（R，T，E，F(xiàn)）（R，D，H，G），又因?yàn)楣颤c(diǎn)R自對(duì)應(yīng)，所以（R，T，E，F(xiàn)）（R，D，H，G），所以直線(xiàn)DT、HE、GF三點(diǎn)共線(xiàn)，即為K在R的極線(xiàn)上.

行文至此，在結(jié)論[2]、[3]的基礎(chǔ)上，文[3]所得的結(jié)論1徹底推廣后的一般情形如下：

定理設(shè)B、C、E、F是非退化二階曲線(xiàn)Γ四點(diǎn)，設(shè)A=BE×C F，Q=BF×CE，點(diǎn)P是曲線(xiàn)Γ在E、F處切線(xiàn)的交點(diǎn)，L為直線(xiàn)A Q上一點(diǎn)，直線(xiàn)LE、LF與曲線(xiàn)Γ另一交點(diǎn)分別為M、N，且D=EN×FM，G=BC×EM，H=BC×FN，K=GF×EH，則A、P、Q、K、D五點(diǎn)共線(xiàn).

注文[3]實(shí)際上是L為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的特殊情形.

3 1720號(hào)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)

反思文[4]的簡(jiǎn)化證明過(guò)程，實(shí)質(zhì)上揭示了17 20號(hào)問(wèn)題結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)上是極點(diǎn)、極線(xiàn).直線(xiàn)MN為R的極線(xiàn)緊緊依賴(lài)于完全四點(diǎn)形ABCD內(nèi)接于Γ這一事實(shí)，正是這一點(diǎn)導(dǎo)致M、N、P、Q四點(diǎn)共線(xiàn)，因此說(shuō)這一結(jié)果是平凡的，通過(guò)對(duì)“完全四點(diǎn)形ABCD內(nèi)接于Γ”這一條件思考，筆者發(fā)現(xiàn)，完全四點(diǎn)形ABCD未必需要四點(diǎn)A，B，C，D均與Γ接觸，事實(shí)上有兩點(diǎn)就可以了，即：

定理設(shè)直線(xiàn)BC與非退化二階曲線(xiàn)Γ相切于點(diǎn)B，直線(xiàn)AD與非退化二階曲線(xiàn)Γ相切于點(diǎn)A，M=AC×BD，N=BC×AD，R=AB×CD，直線(xiàn)AC交Γ于另一點(diǎn)E，直線(xiàn)BD交Γ于另一點(diǎn)F，那么直線(xiàn)MN為R的極線(xiàn).

證明以A、B為束心與另外四點(diǎn)B，E，F(xiàn)，A連接，由二階曲線(xiàn)的基本定理知

用直線(xiàn)AC、BD分別截以A、B為束心的線(xiàn)束，

則有

所以

因此（CE，MA）=（BM，F(xiàn)D），

所以（CE，MA）=（DF，MB），

故（C，E，M，A）（D，F(xiàn)，M，B），

又因?yàn)閮牲c(diǎn)列的交點(diǎn)M自對(duì)應(yīng)，所以有因此DC、FE、AB三線(xiàn)共點(diǎn)，即為R.

根據(jù)完全四點(diǎn)形ABEF的調(diào)和性，所以點(diǎn)M在R的極線(xiàn)上，又因?yàn)镽在點(diǎn)N的極線(xiàn)上，所以點(diǎn)N在R的極線(xiàn)上，所以直線(xiàn)MN為R的極線(xiàn).

從證明過(guò)程看，DC、FE、AB三線(xiàn)交于點(diǎn)R，可以推出歐幾里得幾何學(xué)中難以解釋的現(xiàn)象變得自然，如文[5]提出的如下性質(zhì)，即為本文的推論，即：

推論1在雙曲線(xiàn)所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)（該點(diǎn)不在漸近線(xiàn)和雙曲線(xiàn)上），過(guò)此點(diǎn)作兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，則這兩條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，與漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)連線(xiàn)平行于漸近線(xiàn)上兩點(diǎn)連線(xiàn).

這一結(jié)論放到射影空間內(nèi)就好解釋了，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)實(shí)際上是其與無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)交點(diǎn)處的切線(xiàn)，為了便于解釋?zhuān)鐖D所示：

雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)連線(xiàn)FE，漸近線(xiàn)上兩點(diǎn)連線(xiàn)DC交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)R∞，所以二者必然平行.

注該結(jié)論屬于趙忠華老師.

從證明的結(jié)果看，直線(xiàn)MN為R的極線(xiàn)，設(shè)I=AG×BH，J=F G×EH，則有如下：

推論2M、N、I、J四點(diǎn)共線(xiàn)，此線(xiàn)就是R的極線(xiàn)，也是曲線(xiàn)Γ的Pascal線(xiàn).

注這一圖形蘊(yùn)藏著大量的共線(xiàn)點(diǎn)，有興趣的讀者不妨一試.