張躍紅

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003）

在高三復(fù)習(xí)中，圓錐曲線部分的解答題是讓教師和學(xué)生都比較頭疼的.因為在測試中，它并不屬于真正的難題，本應(yīng)該通過復(fù)習(xí)能取得不錯的成績.但事實上，教師勞心費力，收效卻甚微.學(xué)生一旦遇到綜合性題目，往往頭緒萬千，深陷其中，而不能自拔，最后無功而返.那么，如何才能讓學(xué)生盡快理清思路，從“迷霧”中走出？本文結(jié)合高三復(fù)習(xí)課中一道例題的化簡方法，談一些想法與同行交流.

1 一個例題

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，兩個頂點分別為A1（-2，0），A2（2，0）. 過點D（1，0）的直線l交橢圓于M，N兩點，直線A1M與A2N的交點為G.

圖1

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：點G恒在一條定直線上.

本題的第（2）問是比較常見的問題，解決問題的關(guān)鍵在于如何處理直線與橢圓的交點.雖然圓錐曲線的解答題會涉及到各類型的問題，比如求值，最值與范圍，定點、定值等等，但歸根結(jié)底都會與直線和圓錐曲線的交點有關(guān).而事實上，學(xué)生處理不好圓錐曲線問題往往就是因為不清楚是“設(shè)點”，“設(shè)直線”，還是“求點”？以至于“東想西想”列出來一堆式子，而面對它們又不知道要做些什么，理不清思路，最后只好作罷.

那么，面對這樣的問題，到底應(yīng)該如何思考？

2 多種解法

2.1 直接求

方法1設(shè)直線A1M的方程為y=k1（x+2），直線A2N的方程為y=k2（x-2）.

消去y得

解得點M的坐標(biāo)為

同理，可解得點N的坐標(biāo)為

由M，D，N三點共線，

化簡得（k2-3k1）（4k1k2+1）=0.

由題設(shè)可知k1與k2同號，

所以k2=3k1.

解得交點G的坐標(biāo)為

將k2=3k1代入點G的橫坐標(biāo)，得

所以，點G恒在定直線x=4上.

從方法1的解答過程中知道，在求M，N兩點的坐標(biāo)時，聯(lián)立方程組是算了兩次的.能只算一次嗎？

2.2 以一代二

方法2設(shè)直線A1M的方程為y=k1（x+2），

直線A1N的方程為y=k3（x+2），

直線A2N的方程為y=k2（x-2）.

消去y得

解得點M的坐標(biāo)為

將k1替換成k3，可得點N的坐標(biāo)為

化簡可得點N的坐標(biāo)為

下面解法同方法1.

還有其他解法嗎？

2.3 設(shè)而不求

方法3由已知條件，可猜出點G恒在直線x=4上.

證明如下：顯然，直線MN的斜率為0時不合題意.

設(shè)直線MN的方程為x=my+1，

由點A1，M，G三點共線，有

再由點A2，N，G三點共線，

將x1=m y1+1，x2=m y2+1代入①式，

化簡得2my1y2-3（y1+y2）=0. ②

消去x得（m2+4）y2+2m y-3=0，

從而有

將其代入②式，有

所以，當(dāng)m為任意實數(shù)時，

點G恒在定直線x=4上.

方法3是先將直線MN的位置特殊化（比如垂直于x軸），猜出結(jié)論，再進(jìn)行證明.當(dāng)然，也可以直接證明.

方法4設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

直線A1M的方程為，

直線A2N的方程為

解得交點G的橫坐標(biāo)

由M，D，N三點共線，

化簡可得y1x2-y2x1=y1-y2，

將其代入點G的橫坐標(biāo)，可得

代入點G的橫坐標(biāo)，

由點M，N在橢圓上，

化簡得

即x1=x2或2x1x2-5（x1+x2）+8=0.

當(dāng)x1=x2時，由M，D，N三點共線，

可知x1=x2=1，與x1≠1且x2≠1矛盾，

所以2x1x2-5（x1+x2）+8=0.

當(dāng)x1=x2=1時，可知

滿足xG=4.

綜上所述，點G恒在定直線x=4上.

3 比較分析

從本題的四種解法中，可以看出：方法1和2，與方法3和4在處理直線與橢圓的交點M，N坐標(biāo)時，采用的方式是完全不同的.前兩種采用的方法是“直接求”，而后兩種是“設(shè)而不求”.

那么，何為“直接求”與“設(shè)而不求”？它們之間有什么區(qū)別、聯(lián)系？應(yīng)在何種情況下使用？

所謂“直接求”是指，在處理圓錐曲線與直線的交點坐標(biāo)時，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程組，通過解方程直接求出它們交點；而“設(shè)而不求”，則只是將它們用坐標(biāo)的形式表示出來（即M（x1，y1），N（x2，y2）），然后再根據(jù)已知條件，找到它們坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，進(jìn)而運算、化簡.

方法1和2雖然在運算上有些繁，但在思維與化簡能力上的要求并不高.究其原因，是因為直線A1M（或直線A2N）與橢圓的兩個交點，都有一個點A1（或A2）的坐標(biāo)是已知的，如果需要求另一個交點M（或N）的坐標(biāo)，即轉(zhuǎn)化為解方程問題.接下來，解題線索會很快理清，只需尋找k1和k2的關(guān)系（M，D，N三點共線），然后將其代入點G的坐標(biāo)，問題迎刃而解.所以，“直接求”可作為處理“直線與圓錐曲線相交時，已有一個交點坐標(biāo)確定”的情況下這類問題的首選，把它作為解題的突破口，然后再根據(jù)其他條件化解題目.

可以發(fā)現(xiàn)，方法2比方法1的化簡要簡單一些，原因是少求一次交點坐標(biāo).方法1用了完全不相關(guān)的兩條線（A1M和A2N）與橢圓方程聯(lián)立求交點.而方法2卻用了過同一點A1的兩條線（A1M和A1N）與橢圓聯(lián)立.在求出交點M的坐標(biāo)后，點N的坐標(biāo)則無需再求.因為直線A1M和A1N與橢圓聯(lián)立之后得到的方程，只有k1與k3是不同的，其余完全相同，所以只需將點M坐標(biāo)當(dāng)中的k1替換成k3，即可得到點N的坐標(biāo).稱其“以一代二”，即“用一次運算代替二次運算”，從而實現(xiàn)了簡化運算的目的.

除此之外，“以一代二”還有另外一個用途，即“用一個方程代替二個方程”.比如，在化簡運算中遇到2x21+3x1-4=0且2x22+3x2-4=0時，有時并不需要將x1和x2的值分別求出，可以用一個一元二次方程2x2+3x-4=0代替它們兩個方程，而x1和x2則是此一元二次方程的兩個根，可用韋達(dá)定理和x1x2=-2進(jìn)行整體代換，簡化運算.

“設(shè)而不求”中的“設(shè)”是非常容易的.如何找到所設(shè)若干未知量的等量關(guān)系，以及在列出的多個關(guān)系式中理清所求目標(biāo)與這些未知量之間的聯(lián)系，才是重中之重！

雖然方法3和4都采用了“設(shè)而不求”，但化簡過程明顯不同.

方法3，當(dāng)猜出點G恒在定直線x=4上的結(jié)論后，需要證明的關(guān)鍵等量關(guān)系是.而此等式存在四個未知量，消元勢在必行.等式①是由點M，N分別在直線A1G和A2G上的“身份”得到的，挖掘點M，N的其他“身份”得到等式進(jìn)而再消元便是關(guān)鍵.易知，點M，N還有兩重“身份”：在橢圓上及直線MN過點D.由于等式①均為一次形式，若用在橢圓上的“身份”消元顯然不合適，所以利用它們的另一重“身份”設(shè)出直線MN的方程x=m y+1消去x，得到方程2m y1y2-3（y1+y2）=0，再借助韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換.

設(shè)直線MN的方程時，需要考慮設(shè)成哪種形式，是x=my+1？還是y=k（x-1）？如本題，直線MN的斜率不為0，且斜率存在與否都有可能，最好設(shè)成x=my+1，避免斜率的討論.一旦設(shè)成此種形式，在與橢圓方程聯(lián)立時，最好消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，這樣運算簡單.若直線MN的斜率一定存在時，可設(shè)成y=k（x-1）的形式，再與橢圓方程聯(lián)立可消去y，會更方便運算.

方法4，先要分析交點的多重“身份”（比如M，N兩點在橢圓上，又滿足M，D，N三點共線，還滿足直線A1M與A2N的交點為G），根據(jù)它們的多重“身份”列出不同的等量關(guān)系.比如，點M，N在橢圓上，有；M，D，N三點共線，有；直線A1M與直線A2N的交點為G，可得點G的橫坐標(biāo)為xG=.

接下來，至關(guān)重要的是如何處理這些方程！

（1）判斷未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)是否匹配.如果匹配（即未知量與方程個數(shù)相等），未知量均可求.之后，對若干方程進(jìn)行四則運算，問題便迎刃而解；

（2）如果不匹配，比如方法4，5個未知量x1，y1，x2，y2，xG，卻只列出4個方程（①、②、③、④），未知量的值是不可能全部求出的，化簡的“終極目標(biāo)”必是將某兩個未知量間的關(guān)系代入所求方程④.這些未知量留誰？去誰？看結(jié)構(gòu)！所求目標(biāo)④過于復(fù)雜，但觀察到未知量y1x2，y2x1同時出現(xiàn)，故可先利用③的整式形式y(tǒng)1x2-y2x1=y1-y2進(jìn)一步化簡，得到xG=.通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)此式為分式結(jié)構(gòu)，且分子、分母均含有y的一次形式.若同時除以y1，出現(xiàn)，而又有，若將其代入只會出現(xiàn)兩個未知量x1和x2間的關(guān)系，這與我們的預(yù)期不謀而合.倘若再尋找到x1和x2間的關(guān)系，然后再代入所求目標(biāo)，問題便可解決.事實上，，很快找到了x1和x2間的關(guān)系.

從前面的比較分析中，可以看出“設(shè)而不求”對方程“掌控”能力的要求是比較高的.其關(guān)鍵在于對所“設(shè)”的若干未知量的處理，是能求出未知量的值？還是只能利用關(guān)系進(jìn)行整體代換？要做到心中有數(shù).至于用哪些未知量的關(guān)系進(jìn)行代換，一定要根據(jù)結(jié)構(gòu)來決定.

一般情況下，“設(shè)而不求”是比較適合于直線與圓錐曲線的交點均未知的情況.因為“設(shè)而不求”的化簡要求比較高，如果已知一交點坐標(biāo)，不如“直接求”這樣比較“省心”.當(dāng)兩個交點的坐標(biāo)都未知時，它的優(yōu)越性才會顯現(xiàn).

4 思考線索

處理好直線與圓錐曲線的交點是解決圓錐曲線問題的核心，決定了整個問題的“發(fā)展”方向.只有交點問題處理清楚找對方向了，才會為后面的解答鋪平道路.

鑒于此，并基于以上不同解法的比較分析，總結(jié)概括出處理直線與圓錐曲線交點問題的思考線索：

（1）合理使用“直接求”與“設(shè)而不求”兩種方法.

若已知直線與圓錐曲線的一個交點坐標(biāo)，對待另一交點的坐標(biāo)，采用“直接求”的方法相對容易找到解決問題的突破口；若兩交點均未知，可使用“設(shè)而不求”.

（2）使用“直接求”時，一方面，需考慮將直線方程設(shè)成哪種形式（比如y=kx+b或x=my+n）；另一方面，需考慮是否可以使用“以一代二”的化簡方法.通常情況下，“以一代二”往往可以和“直接求”結(jié)合起來使用，達(dá)到事半功倍的效果.

（3）使用“設(shè)而不求”時，第一，需考慮交點有幾重“身份”，根據(jù)不同的“身份”列出方程.第二，需考慮未知量與方程的個數(shù)是否匹配.若匹配，未知量均可求；若不匹配，只能求出其中某些未知量的關(guān)系.第三，需考慮化簡若干方程的途徑.通常情況下，化簡途徑有兩種：借助韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換；或是根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，選擇易被消去的未知量，利用四則運算進(jìn)行化簡.

當(dāng)然，上述思考線索并不是絕對的，還需要具體問題具體分析.但至少可以讓我們在遇到圓錐曲線問題時，有一個明確的方向，在各種紛繁復(fù)雜的頭緒中，盡快理清思路，少走彎路.