☉江蘇省宜興中學(xué) 劉國(guó)祥

嘗試中犯錯(cuò)、反思 反思中發(fā)現(xiàn)、積累
——“嘗試—發(fā)現(xiàn)”教學(xué)法的靈活運(yùn)用

☉江蘇省宜興中學(xué) 劉國(guó)祥

曾讀過一篇文章，題目叫《教室就是出錯(cuò)的地方》，作者魏得勝.“教室就是出錯(cuò)的地方.”這句話說得太好了！細(xì)想起來，確實(shí)就是這樣.出錯(cuò)是正常的，不出錯(cuò)才是不正常的.如果學(xué)生的學(xué)習(xí)解題、所作所為都正確，沒有出錯(cuò)，教師乃至學(xué)校就沒有存在的價(jià)值了.從教學(xué)的角度看，錯(cuò)誤是重要的教學(xué)資源.任何正確的答案和方式，都是通過曲折探索得到的.而往往在出錯(cuò)和改錯(cuò)的曲折探索過程中，課堂才是最活的，教學(xué)才是最美的，學(xué)生的生命才是最有價(jià)值的.從這個(gè)意義上說，錯(cuò)誤對(duì)于學(xué)生，不是盡量避免的問題，而是不可或缺的元素.關(guān)鍵是我們?nèi)绾螌?duì)待如何運(yùn)用這樣的“錯(cuò)誤”.

高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)中，我們常常引進(jìn)“嘗試—發(fā)現(xiàn)”教學(xué)法，即讓學(xué)生在老師創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境下自主嘗試學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中自主發(fā)現(xiàn)、探索，解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的問題.這種教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體參與和實(shí)踐中完成自身知識(shí)建構(gòu)的發(fā)展.但是教學(xué)現(xiàn)實(shí)中，教師還是不斷給學(xué)生詳盡的“提示”，唯恐學(xué)生出錯(cuò)；面對(duì)學(xué)生的“錯(cuò)誤”，除批評(píng)、責(zé)怪，并沒有重視這一重要資源.由此，我將“嘗試—發(fā)現(xiàn)”教學(xué)法推進(jìn)一步，形成“嘗試—犯錯(cuò)—反思—發(fā)現(xiàn)—積累”的教學(xué)方法，即讓學(xué)生在一定的教學(xué)情境下自主嘗試學(xué)習(xí)，在嘗試中犯錯(cuò)或產(chǎn)生思維阻塞，抓住這個(gè)契機(jī)，教師引導(dǎo)學(xué)生討論反思，尋找錯(cuò)因，發(fā)現(xiàn)正確方法正確思路，在發(fā)現(xiàn)中積累經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.下面以高中數(shù)列教學(xué)為例說說這種教學(xué)方法的意義.

數(shù)列是普通高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切聯(lián)系；同時(shí)，數(shù)列蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義.在高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)中，我運(yùn)用“嘗試—犯錯(cuò)—發(fā)現(xiàn)—積累”教學(xué)法，收到顯著效果.

一、利于積累審題經(jīng)驗(yàn)

嘗試中犯錯(cuò)發(fā)現(xiàn)細(xì)心閱讀題目，正確理解概念，提高運(yùn)算技能在數(shù)學(xué)解題中的重要性，從而積累教訓(xùn).

故人云“智者千慮，必有一失”.學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，并不是方法不對(duì)，也不是解題過程不嚴(yán)密，常常是因?yàn)槠綍r(shí)解題時(shí)，老師有明確的提示與強(qiáng)調(diào)，所以缺乏細(xì)心讀題、正確辨析概念的良好習(xí)慣，或者是忽略提高運(yùn)算技能而造成的.

例1求和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

錯(cuò)解1：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）an+1，因此（1-a）sn= a+2a2+2a3+…+2an+（2n-1）an+1（最后一項(xiàng)應(yīng)是減號(hào)）.

錯(cuò)誤2：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+…+2an-（2n-1）an+1，則（中間是n-1項(xiàng)等比數(shù)列和，并不是n項(xiàng)等比和）.

錯(cuò)誤3：沒有對(duì)變量a分類討論，分a=0，a=1，a≠0且a≠1三種情況來討論.

解題啟示：概念理解上的偏差是造成學(xué)生解題錯(cuò)誤的常見原因，讓學(xué)生自主嘗試解題，然后針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤，創(chuàng)設(shè)情境討論錯(cuò)誤原因，讓學(xué)生頓悟.上面案例中的錯(cuò)誤3告訴我們?cè)谑褂玫缺葦?shù)列求和公式時(shí)要注意對(duì)公比q進(jìn)行討論；而錯(cuò)誤一和二關(guān)鍵是運(yùn)算技能的缺失.通過這樣的嘗試、犯錯(cuò)、發(fā)現(xiàn)，逐步培養(yǎng)學(xué)生審讀題目、辨析概念與重視運(yùn)算技能良好習(xí)慣.

二、利于培養(yǎng)思維習(xí)慣

嘗試犯錯(cuò)中發(fā)現(xiàn)打破習(xí)慣思維，研究條件、改變思維角度帶來的意外效果，從而培養(yǎng)審題分析的良好習(xí)慣.

對(duì)于一題多解的問題，學(xué)生往往孤立地看待條件，從而鉆進(jìn)死胡同，形成繁雜的解題過程，既費(fèi)時(shí)間，又易出錯(cuò).如果能夠利用題目條件，改變思維角度，采用簡(jiǎn)約的思維，往往可以直達(dá)問題的本質(zhì)，運(yùn)算更簡(jiǎn)單，更能保證解題的正確性.

例2 數(shù)列｛an｝成等差數(shù)列，S10=100，S100=10，求S110.

解法1：這是我有意讓學(xué)生自主嘗試的一道計(jì)算題.絕大多數(shù)同學(xué)想到設(shè)首項(xiàng)為a1，公差d聯(lián)立方程得得由于運(yùn)算復(fù)雜，結(jié)果僅有較少一部分同學(xué)能得出S110=-110.

本題是否一定要求出首項(xiàng)和公差呢？在多數(shù)同學(xué)經(jīng)歷挫折后，老師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生改變思維角度，運(yùn)用整體思維，研究S10和S100間關(guān)系，思考另一種解法.結(jié)果，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

解法2：a11+a12+a13+…+a100=-90得到a11+a100=-2，因此

解題啟示：解法2運(yùn)算簡(jiǎn)單，體現(xiàn)整體思維，事半功倍.學(xué)生為什么沒想到后一種方法？原來，學(xué)生潛意識(shí)里只有求首項(xiàng)和公差，沒想到利用S10和S100之間的關(guān)系.面對(duì)運(yùn)算繁雜的解法1，只要稍稍轉(zhuǎn)換思維角度即可獲得解法2，可見，面對(duì)繁雜的運(yùn)算題，從整體上把握題中條件，研究條件間的聯(lián)系，改變思維角度，就可以取得意想不到的解題效果.學(xué)生從中積累了經(jīng)驗(yàn)，可以很容易完成以下問題：

（1）等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=m，Sm=n（m≠n），則Sm+n=-（m+n）.

（2）等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=Sm（m≠n），則Sm+n=0.

（3）等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=m2，Sm=n2（m≠n），則Sm+n=-（m+n）2.

（4））等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和為Sn，若則

三、利于提高思維的靈活性

嘗試中思路受阻時(shí)，發(fā)現(xiàn)調(diào)整解題角度或解題方法，可以打通思路，積累解題智慧，培養(yǎng)思維的靈活性.

解題中途思維受阻，因而無法完成解題，是學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常遇到的情況.這時(shí)，通過師生共同分析討論思路不通的原因，調(diào)整解題方向或解題方法，會(huì)讓學(xué)生有豁然開朗的感覺.

例3已知兩個(gè)等比數(shù)列｛an和｛bn｝，滿足a1=a（a>0），b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3，若數(shù)列｛an｝是唯一，求a值.

學(xué)生很容易想到設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，由數(shù)列（2+ aq）2=（1+a）（3+aq2），得aq2-4aq+3a-1=0.（*）

由a>0得Δ=4a2+4a>0，卻發(fā)現(xiàn)方程有兩解，與題中數(shù)列｛an｝是唯一發(fā)生矛盾而思路中斷.這時(shí)師生共同分析思路不通原因，回頭再分析題目，突然發(fā)現(xiàn)公比q有限制條件q≠0，思路豁然開朗，方程（*）必有一根為0，代入得學(xué)生經(jīng)歷了困惑、領(lǐng)悟的過程，加深了對(duì)概念的理解.

例4已知數(shù)列｛an｝中，a2=1，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=

（1）求a1.

（2）證明數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式.

（3）設(shè)lgbn=試問是否存在正整數(shù)p，q（其中1

解題分析：令n=1，容易得a1=0.

（n-1）an+1=nan，（1）

學(xué)生因an+1-an不能得到是常數(shù)而思路中斷.學(xué)生中斷思路原因是判定等差數(shù)列方法單一，師生共同分析努力走出困境.

思路一：從等差中項(xiàng)來判斷：對(duì)（1）式遞推得nan+2=（n+1）an+1.（2）

兩相加得，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1.

如何尋找滿足條件的（p，q），學(xué)生不知道如何處理.當(dāng)我們遇到一個(gè)比較復(fù)雜的問題時(shí)，不妨退到最簡(jiǎn)單的情況，通過簡(jiǎn)單情況的研究逐步推廣到復(fù)雜情況.當(dāng)p=2時(shí)得q=3；當(dāng)p=3時(shí)，等式顯然不成立.依次類推當(dāng)p≥3，且p∈N*時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列，于是所以此時(shí)方程（☆）無正整數(shù)解.易知（p，q）=（2，3）

解題啟示：學(xué)生思維受阻可能是知識(shí)理解上存在偏差，如等差數(shù)列判斷與證明有多種方法，當(dāng)定義失效，能否通過二階遞推回到等差中項(xiàng)來判斷，能否求出通項(xiàng)公式來判斷；也有可能是思維方法上缺失，如第（3）小題，通過特殊化研究，來尋求整體思路，在探索過程中獲得成就感和滿足感，一定能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

四、利用培養(yǎng)思維的思辯性

嘗試犯錯(cuò)中發(fā)現(xiàn)辨別概念內(nèi)涵、關(guān)注起始條件對(duì)解題的重要意義，培養(yǎng)與積累關(guān)注細(xì)節(jié)、綜合分析的能力.

分析粗疏、思維單向是學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中常有的問題，靠正面提醒或強(qiáng)調(diào)往往效果不明顯，這次糾正，下次又會(huì)重犯.如果讓學(xué)生在自主嘗試中犯錯(cuò)，又讓學(xué)生在自我分析或討論中明白錯(cuò)誤原因，發(fā)現(xiàn)正確途徑，學(xué)生就會(huì)記住教訓(xùn)，在辨別概念內(nèi)涵、關(guān)注起始條件方面細(xì)心起來.

例5已知數(shù)列｛an｝和｛bn｝是等差數(shù)列，Sn，Tn分別是它們的前n項(xiàng)和，且求值.

例6已知數(shù)列｛an｝滿足（n≥2），若am=2014，則m=_______

解題分析：數(shù)列問題在遞推是要注意題目的起始條件，在上（1）式中n≥2，在（2）式中n≥1，故累乘知即又a1=a2=1，所以an=通過嘗試犯錯(cuò)，學(xué)生對(duì)解題細(xì)節(jié)就會(huì)重視關(guān)注起來，逐步養(yǎng)成嚴(yán)密思維品質(zhì)，確保解題無懈可擊.

如果學(xué)生在“多次發(fā)現(xiàn)”“多次教訓(xùn)”中不斷關(guān)注概念內(nèi)涵、不斷關(guān)注起始條件，從而獲得正確的解題途徑，學(xué)生的綜合解題能力就會(huì)發(fā)生飛躍.

古代教育家孔子曾說：“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也.”意思是說：“不到學(xué)生努力想弄明白但仍然想不透的程度時(shí)先不要去開導(dǎo)他；不到學(xué)生心里明白卻又不能完善表達(dá)出來的程度時(shí)也不要去啟發(fā)他.如果他不能舉一反三，就不要再反復(fù)地給他們舉例了.”

意大利報(bào)人兼發(fā)行人朗根尼西也曾說過：“不要給我忠告，讓我自己去犯錯(cuò).”意思是說有些事情，只有自我實(shí)踐中有了教訓(xùn)，才能逐漸成熟并獲得智慧.

這些思想，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著特別重要的意義.“嘗試—犯錯(cuò)—發(fā)現(xiàn)—積累”的教學(xué)方法，是這種思想的最好實(shí)踐.