☉江蘇省宜興市第一中學(xué) 杜亞強(qiáng)

根深才能葉茂
——基于一類課本習(xí)題的探究

☉江蘇省宜興市第一中學(xué) 杜亞強(qiáng)

數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，在此過程中提高學(xué)生的思維水平，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題的能力.章建躍博士曾說過“課本是一科之本，課堂教學(xué)應(yīng)‘以課本為本’”.的確，我們從事教學(xué)的主要工具——教材，里面有著取之不完、用之不盡的研究素材，筆者通過一類課本習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)，取得了一些意想不到的結(jié)果，現(xiàn)把它寫出來，供共同商討、研究、學(xué)習(xí)之用.

一、問題的提出

蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修2-1）》上有這樣的幾道習(xí)題：

習(xí)題1：已知直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B，求證：OA⊥OB.

習(xí)題2：已知直線y=x+b與拋物線x2=2y交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求b的值（.該習(xí)題同時也出現(xiàn)在《選修1-1》P60上）

習(xí)題3：已知頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，斜邊長是一條直角邊所在直線的方程是y=2x，求拋物線的方程.

這三道習(xí)題，分別是課本54頁、67頁的習(xí)題，其都涉及這樣一個事實(shí)：過拋物線的頂點(diǎn)有兩條互相垂直的直線與拋物線相交于另外兩點(diǎn).教材上為數(shù)不多的例題習(xí)題中，竟然有3道習(xí)題涉及同一個模型，應(yīng)該引起教師學(xué)生的注意和重視.

章建躍博士說過：“課本是使學(xué)生學(xué)做人做事的基本載體，脫離課本的教學(xué)不是好的數(shù)學(xué)教學(xué).”高考試題中有相當(dāng)一部分試題是對“三基”的考查，雖然不大可能考查課本原題，但許多考題就是對課本原題的變形、改編或者是綜合，這些考題都能在課本上找到源頭.因此教學(xué)復(fù)習(xí)中，要重視課本，要重視例題習(xí)題的通性通法，適當(dāng)對例題習(xí)題進(jìn)行變式等，進(jìn)一步落實(shí)基礎(chǔ)，以不變應(yīng)萬變.

二、問題的探究

探究1：如圖1，已知拋物線C：y2=2px（p>0），過原點(diǎn)有兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試問直線AB有什么特點(diǎn)？

圖1

解析：記直線OA的方程為y= kx（k≠0），聯(lián)立方程消去y得到k2x2=2px，從而有A以代替k，可以得到B（2pk2，-2pk）.當(dāng)k≠±1時，直線AB的斜率為所以直線AB的方程為即即即所以直線過點(diǎn)（2p，0）.當(dāng)k=±1時，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是2p，直線AB也就過點(diǎn)（2p，0）了.所以直線AB恒過定點(diǎn)（2p，0）.

結(jié)論1：過拋物線y2=2px的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線交拋物線于另外兩點(diǎn)A，B，則直線AB過定點(diǎn)（2p，0）.

探究2：如圖2，已知橢圓的左頂點(diǎn)為E，過E有兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試問直線AB有什么特點(diǎn)？

圖2

解析：記直線EA的方程為y=k（x+a）（k≠0），聯(lián)立方程消去y得到（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a2（a2k2-b2）= 0，從而有A以代替k，可以得到B當(dāng)k≠±1時，直線AB的斜率為所以直線AB的方程為即所以直線過點(diǎn)當(dāng)k=±1時，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是直線AB也就過點(diǎn)了.所以直線AB恒過定點(diǎn)

結(jié)論2：過橢圓的左頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則直線AB過定點(diǎn)

探究3：如圖3，已知橢圓C的上頂點(diǎn)為E，過E有兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試問直線AB有什么特點(diǎn)？

圖3

解析：與如上探究2的解析類似，可以得到直線AB恒過定點(diǎn)

結(jié)論3：過橢圓的上頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則直線AB過定點(diǎn)

探究4：如圖4，已知雙曲線C的右頂點(diǎn)為E，過E有兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于另外兩點(diǎn)A，B，試問直線AB有什么特點(diǎn)？

圖4

解析：（限于篇幅本文僅考慮a>b的情形，左半支圖形略）記直線EA的方程為y=k（x-a）（k≠0），聯(lián)立方程消去y得到（a2k2-b2）x2-2a3k2x+a2（a2k2+b2）=0，從而有A以代替k，可以得到當(dāng)k≠±1時，直線AB的斜率為所以直線AB的方程為即所以直線過點(diǎn)當(dāng)k=±1時，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是直線AB也就過點(diǎn)了.故直線AB恒過定點(diǎn)

結(jié)論4：過雙曲線的右頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線交雙曲線于另外兩點(diǎn)A，B，則直線AB過定點(diǎn)

三、結(jié)論的拓展

細(xì)究如上探究過程，可以發(fā)現(xiàn)，如上結(jié)論的逆命題也成立.

拓展1：給定拋物線y2=2px，過點(diǎn)（2p，0）任意作直線交拋物線于另外兩點(diǎn)A，B，則線段AB對頂點(diǎn)張直角.

拓展2：給定橢圓過點(diǎn)任意作直線交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則線段AB對左頂點(diǎn)張直角.

拓展3：給定橢圓過點(diǎn)任意作直線交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則線段AB對上頂點(diǎn)張直角.

拓展4：給定雙曲線過點(diǎn)任意作直線交雙曲線于另外兩點(diǎn)A，B，則線段AB對右頂點(diǎn)張直角.

顯然，由對稱性，還可以發(fā)現(xiàn)其他的定點(diǎn)和直角.

四、結(jié)論運(yùn)用——考題鏈接

例1（2013年安徽理）已知直線y=a交拋物線y=x2于A，B兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為__________.

解析：由結(jié)論1、拓展1及對稱性，可以發(fā)現(xiàn)，直線y=1交拋物線得到的A，B兩點(diǎn)對頂點(diǎn)張直角，點(diǎn)C在頂點(diǎn)處就滿足要求.由題意，只要直線y=1向上移動即可，所以a的取值范圍為a≥1.

例2（無錫市2015屆高三第一學(xué)期期末考試）如圖5，已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，直線l：y=kx+ m交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.

圖5

（1）略；

（2）若k1k2=-1時，證明：直線l：y=kx+m過定點(diǎn).

解析：k1k2=-1就表示直線AP，AQ互相垂直，由結(jié)論3，直線l必過定點(diǎn)

例3如圖6，已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)（0，1），且離心率為Q為橢圓C的左頂點(diǎn).

圖6

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

解析：（1）易得

學(xué)生在上述自主探究的過程中，不僅僅是完成一個個結(jié)論，更是寶貴的生命歷程，心智的參與過程，從而可使學(xué)生感知獲取知識的不易與艱難.整個探究過程中思維的調(diào)控、優(yōu)化，不僅是能力的提高，更是對學(xué)習(xí)信心的激發(fā).

五、教學(xué)反思

波利亞說：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的數(shù)學(xué)鄰域.”首先，學(xué)生的主觀能動性得到發(fā)揮.讓學(xué)生自己去研究問題，獲得對知識的再發(fā)現(xiàn)，這本身就是獲取知識的心路歷程，要讓學(xué)生知曉探究知識的過程是艱辛的，但是獲取知識的結(jié)果是一件令人興奮的事，同時也體現(xiàn)了對學(xué)生的教學(xué)不一定非要在課堂講授，也可以是課外，教學(xué)和研究是相輔相成的，雙方是充滿互動的.教師在教學(xué)中可以在這方面多研究，多下功夫，這對學(xué)生的成長歷程都是有幫助的.正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說：“學(xué)生在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后就會忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法，研究方法，推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地的發(fā)生作用，使他們受益終生.”通過研究性學(xué)習(xí)，使筆者深深意識到除做好日常教學(xué)外，可以多開展這樣的研究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)中樂，樂中學(xué)，真正做到教學(xué)相長.

我們一線數(shù)學(xué)教師備課時要善于思考，善于聯(lián)系，特別是課本上的習(xí)題，題目雖小，往往藏有大乾坤，通過教師的講解，為學(xué)生做好知識鋪墊，順理成章地引導(dǎo)學(xué)生，使之達(dá)到會一題、通一類的目的，同時，也水到渠成地提升了教師本身的專業(yè)素養(yǎng).