☉江蘇省江陰市華西實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳 艷

直覺、優(yōu)化、升華
——由“點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)”引發(fā)的思考

☉江蘇省江陰市華西實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳 艷

眾所周知，“點(diǎn)到直線的距離”這節(jié)課的重心是引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.教材（人教A版）試圖通過“構(gòu)造法”（構(gòu)造直角三角形）讓學(xué)生經(jīng)歷直線的距離公式的思維過程，深刻領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含于其中的數(shù)學(xué)思想和方法，特別是在坐標(biāo)法使用過程中滲透數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想.但實(shí)際教學(xué)中，教材提供的解決方案學(xué)生很難自然想到，這就很容易產(chǎn)生兩種教學(xué)“誤區(qū)”，一種是教師把教材奉為經(jīng)典強(qiáng)行灌輸給學(xué)生，從而導(dǎo)致教學(xué)與學(xué)生認(rèn)知水平脫節(jié)；另一種是回避教材的方案，采用自認(rèn)為的“簡便方法”、“巧妙方法”，推導(dǎo)方法五花八門，讓人應(yīng)接不暇.實(shí)際上，方法抉擇不僅要考慮方法的本身，還應(yīng)考慮把新舊知識(shí)的聯(lián)系、學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)生的接受能力等多方面的因素.只有這樣，公式推導(dǎo)過程方能自然和諧，才能被學(xué)生真正理解和掌握.

一、直覺：開啟最自然的學(xué)習(xí)過程

學(xué)生在嘗試解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)，一般預(yù)先要考慮到幾種可能的思路，究竟先選擇哪個(gè)思路？放棄或暫時(shí)擱置哪個(gè)思路？單憑邏輯思維往往是解決不了的，這就需要運(yùn)用直覺思維.所謂的數(shù)學(xué)直覺思維是以—定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過對數(shù)學(xué)對象作總體觀察，在一瞬間頓悟到對象的某方面的本質(zhì)，從而迅速做出估計(jì)判斷的一種思維.直覺思維可以幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象、猜想數(shù)學(xué)命題、頓悟解題思路、縮短思維過程、培育數(shù)學(xué)靈感等.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)立足于學(xué)生的直覺思維.

數(shù)學(xué)直覺體現(xiàn)在“點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)”就是“在沒有外部條件的干預(yù)下，學(xué)生會(huì)怎么思考這個(gè)問題？會(huì)首先采用什么方法？”最自然、最樸素的方法莫過于“求出垂足坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式直接推導(dǎo)”，但遺憾的是教材中的一句話“上述方法雖然思路十分自然，但具體運(yùn)算需要一定的技巧”嚴(yán)重地打擊了學(xué)生繼續(xù)探究的勇氣，也為教師避開這一方法提供了借口，但事實(shí)真的如此嗎？

方法一：如圖1所示，已知點(diǎn)P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A2+ B2≠0），PQ⊥l，垂足為Q.

圖1

設(shè)直線PQ的方程為y-y0=（x-x）（A≠0），即Bx-Ay=Bx0- Ay0，設(shè)點(diǎn)Q（x1，y1）.

雖然上述運(yùn)算過程相對煩瑣，但并沒有涉及比較深?yuàn)W的運(yùn)算技巧.實(shí)際上，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷地嘗試、摸爬，積累經(jīng)驗(yàn)的過程.倘若跳過這一過程，直接拋給學(xué)生一個(gè)“簡單、快捷”的思路，那么這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練來說的確是一個(gè)“遺憾”.

二、優(yōu)化：在反思與改進(jìn)中生成

雖然說數(shù)學(xué)直覺是對數(shù)學(xué)問題及其本質(zhì)屬性的直接感悟，但它受限于學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知水平；雖然它是學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維最“自然”的流露，但它所呈現(xiàn)出來的結(jié)果并非是最理想的狀態(tài)，有時(shí)甚至與教學(xué)預(yù)期背道而馳.因此，后續(xù)教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該是在學(xué)生直覺思維的基礎(chǔ)上，把已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)加以改組，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化.

方法一雖然自然，但此方法無法全面展示解析幾何思想方法的精髓，比如：數(shù)形結(jié)合、整體代換、設(shè)而不求等.因此，很有必要采用多種方法對“點(diǎn)到直線的距離公式”進(jìn)行探究，從而讓學(xué)生在公式推導(dǎo)的過程中逐步體會(huì)解析幾何的基本思想方法.當(dāng)然，這些方法應(yīng)建在原有方法基礎(chǔ)上的改進(jìn)與優(yōu)化，而不能是毫無章法的“狂轟濫炸”.

思考：導(dǎo)致“方法一”煩瑣的原因是什么？

分析：垂足Q的坐標(biāo)表示比較復(fù)雜，從而導(dǎo)致運(yùn)算煩瑣.如果能夠避開求垂足Q的坐標(biāo)，那么運(yùn)算就會(huì)變的簡單.對于兩點(diǎn)間距離公式如果不直接求x1，y1，消元與換元也是常用的運(yùn)算手段.于是，我們不妨思考如何把x1，y1兩個(gè)參數(shù)變成一個(gè)參數(shù)或者所學(xué)的知識(shí)中，哪個(gè)量或者式子包含了“（x1-x0）、（y1-y0）”？

方法二：利用

方法三：利用斜率換元.

1010

因?yàn)閤1=At+x0，y1=Bt+y0，代入直線l的方程，得t=所以

方法四：構(gòu)造=（x-x，y-y），n=（A，B）都是直線l的法向量，則

1010所以

上述方法“貴”在聯(lián)系緊密，體現(xiàn)出來的是后一種方法是對前一種方法的改進(jìn)與優(yōu)化，呈現(xiàn)出來的是由繁到簡、由淺及深的思維過程.雖然點(diǎn)到直線的距離公式的方法很多，但要明白好思路方法并不是教師強(qiáng)加給學(xué)生，而是通過在教師的引導(dǎo)下使學(xué)生“自然想到”，否則很容易演變?yōu)榻處焸€(gè)人的“表演”.

三、升華：教師專業(yè)發(fā)展的契機(jī)

數(shù)學(xué)公式課教學(xué)的重點(diǎn)就更應(yīng)突出公式的發(fā)現(xiàn)、探索和證明的過程，這一數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中蘊(yùn)含著育人的價(jià)值，尤其是讓學(xué)生不斷探索、發(fā)現(xiàn)、思考、確定思路方案和具體的操作流程，不斷地采取驗(yàn)證、完善，最后形成切實(shí)可行的點(diǎn)到直線的距離公式證明方法，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)，是讓學(xué)生了解和經(jīng)歷公式的探究過程成為思維提升、思維訓(xùn)練的良好素材，增強(qiáng)每一位學(xué)生解決問題的信心、錘煉堅(jiān)強(qiáng)的毅力和鍥而不舍的探究精神，充分發(fā)揮學(xué)生獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)能力，有利于學(xué)生長遠(yuǎn)的發(fā)展和成長.通過本課，教師可以從中提煉出一般公式課的教學(xué)策略.

1.注重知識(shí)的前后聯(lián)系

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)、前后知識(shí)聯(lián)系很緊密的學(xué)科，聯(lián)系舊知識(shí)、學(xué)習(xí)新知識(shí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.烏申斯基有句名言：“智慧不是別的，而是組織得很好的知識(shí)體系.”數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不是不加組織地向?qū)W生傳授孤立的知識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)間的聯(lián)系加以組織和提煉.鄭毓信教授也多次強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求全，而要求聯(lián)”.對于數(shù)學(xué)公式定理的推導(dǎo)來說，關(guān)注知識(shí)的前后聯(lián)系，在已有的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知，可以降低思維的難度，從而使推導(dǎo)過程自然流暢.

2.注重學(xué)生的個(gè)人體驗(yàn)

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式中，教師在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成事先準(zhǔn)備的內(nèi)容，注重了知識(shí)的傳輸，對作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生關(guān)注不夠，因而教學(xué)效率不高，學(xué)習(xí)的效果也不好.適合學(xué)生的教學(xué)才是有效的教學(xué)，關(guān)注學(xué)生成為有效教學(xué)的前提.課前，要關(guān)注新舊知識(shí)的聯(lián)系，學(xué)生是否具備學(xué)習(xí)新知識(shí)的學(xué)習(xí)條件，是否具備了學(xué)習(xí)新知的“心向”；課上，要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，包括學(xué)習(xí)的反應(yīng)、情緒等，對出現(xiàn)的問題及時(shí)處理，調(diào)整自己的教學(xué)；課后，也要關(guān)注學(xué)生的反饋，包括作業(yè)、學(xué)生問題等.教學(xué)過程中，只有對學(xué)生全程關(guān)注，才能有針對性地設(shè)計(jì)教學(xué)，才是高效的課堂，才會(huì)是高質(zhì)量的教學(xué).