常 凱，張海江,b*,林 葉,b

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.地球與空間科學(xué)學(xué)院萬(wàn)泰微地震實(shí)驗(yàn)室，b.地震與地球內(nèi)部物理實(shí)驗(yàn)室，合肥 230026)

基于樣條插值與曲波變換壓縮感知的井下微地震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)重建

常 凱a，張海江a,b*,林 葉a,b

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.地球與空間科學(xué)學(xué)院萬(wàn)泰微地震實(shí)驗(yàn)室，b.地震與地球內(nèi)部物理實(shí)驗(yàn)室，合肥 230026)

對(duì)于非常規(guī)油氣開(kāi)發(fā)水力壓裂井下微地震監(jiān)測(cè)，由于井中布設(shè)的檢波器數(shù)量有限而導(dǎo)致空間采樣不夠，致使在進(jìn)行偏移成像時(shí)產(chǎn)生空間假頻。為消除假頻現(xiàn)象，需要對(duì)空間欠采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)插。目前基于曲波變換(Curvelet)稀疏約束的地震道插值方法(即壓縮感知)已經(jīng)逐漸被廣泛應(yīng)用,但是對(duì)于井下微地震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，由于檢波器數(shù)量過(guò)少，其在時(shí)間上的采樣點(diǎn)數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于檢波器數(shù)。在這種情況下，曲波基函數(shù)在一定尺度下所能取到的方向信息是有限的，致使其基函數(shù)各向異性特征不能很好地發(fā)揮，因此插值效果不好。為解決該問(wèn)題，我們提出了結(jié)合樣條插值的基于曲波變換稀疏約束地震道插值方法。對(duì)于井下微地震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，首先利用樣條插值方法對(duì)每道數(shù)據(jù)的特定震相到達(dá)時(shí)間進(jìn)行插值，在達(dá)到曲波基函數(shù)可以取到的方向后(如水平方向)，此時(shí)曲波基函數(shù)可以更稀疏地表示微地震數(shù)據(jù)體，然后再進(jìn)行基于曲波變換稀疏約束的道間插值，并進(jìn)行方向?yàn)V波，即可以達(dá)到較好的插值效果。我們基于一個(gè)井下微地震監(jiān)測(cè)合成數(shù)據(jù)進(jìn)行了測(cè)試，與數(shù)據(jù)加密前的地震偏移成像結(jié)果對(duì)比，內(nèi)插之后數(shù)據(jù)偏移成像中的假頻得到了壓制。

井下微地震監(jiān)測(cè)； 樣條插值； 曲波變換； 壓縮感知； 數(shù)據(jù)重建

0 引言

對(duì)于非常規(guī)油氣開(kāi)發(fā)來(lái)說(shuō)，例如頁(yè)巖氣和致密砂巖氣的開(kāi)采，由于儲(chǔ)層滲透率低，必須采用水力壓裂技術(shù)使地層產(chǎn)生裂縫以提供油氣運(yùn)移的通道。水力壓裂井下微地震監(jiān)測(cè)，是一種有效的刻畫(huà)目標(biāo)儲(chǔ)層裂縫分布的手段。井下微地震監(jiān)測(cè)指的是把一串檢波器放在靠近壓裂井的監(jiān)測(cè)井中，接收裂縫發(fā)育過(guò)程產(chǎn)生的微地震信號(hào)并對(duì)微地震事件進(jìn)行定位或者對(duì)界面偏移成像。但是由于監(jiān)測(cè)成本和技術(shù)等因素限制，井下微地震監(jiān)測(cè)通常只布置十幾個(gè)檢波器[1]。在利用井下檢波器接收到的微地震波形進(jìn)行偏移成像時(shí)，會(huì)由于道間距過(guò)大而出現(xiàn)空間假頻現(xiàn)象[2]。為解決此類(lèi)問(wèn)題，微地震數(shù)據(jù)道間插值成為抗空間假頻非常必要的一種手段[3]。

地震道集經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)變換后可以用較少的基函數(shù)系數(shù)來(lái)表示[4]。Donoho等[5]提出了壓縮感知技術(shù)，在理論上解決了在數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足Nyquist采樣定理的情況時(shí)，具有稀疏性質(zhì)數(shù)據(jù)如何重建的問(wèn)題。在此理論框架下，多種基函數(shù)被應(yīng)用到地震數(shù)據(jù)恢復(fù)中，常用的有傅里葉基函數(shù)，小波基函數(shù)和曲波(Curvelet)基函數(shù)等[6-8]。其中曲波基函數(shù)在稀疏表示地震道集上表現(xiàn)出了相當(dāng)好的各向異性，局部性和多尺度特性。

Herrmann等[9-10]在曲波框架下基于壓縮感知原理,對(duì)地震數(shù)據(jù)重建問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，取得了很好的效果。在國(guó)內(nèi)，劉國(guó)昌等[11]將凸集投影(POCS)方法引入到基于曲波變換L1范數(shù)約束的地震道插值問(wèn)題；張華等[12]采用了基于jilter采樣的曲波變換對(duì)三維地震數(shù)據(jù)進(jìn)行了重建;馮飛等[13]將三維曲波變換和焦點(diǎn)變換結(jié)合起來(lái)，對(duì)三維地震數(shù)據(jù)進(jìn)行插值和去噪，取得了良好的效果。然而，當(dāng)已知地震道數(shù)很少，同時(shí)又有較長(zhǎng)的時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)(例如井下微地震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù))，若直接采用基于曲波變換稀疏約束的插值方法，由于曲波在具體尺度下的方向數(shù)是有限的，當(dāng)同相軸不能符合其基函數(shù)的方向時(shí)，插值效果并不理想。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者提出了一種樣條插值與基于曲波變換稀疏約束反演相結(jié)合的方法對(duì)井下微地震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行加密。這里首先分析了壓縮感知的基本原理并簡(jiǎn)要說(shuō)明曲波變換的方向性和多尺度特性；然后提出結(jié)合樣條插值和基于曲波變換稀疏約束數(shù)據(jù)重建的混合插值方法；最后基于一個(gè)井下微地震監(jiān)測(cè)合成數(shù)據(jù)，比較了插值前后逆時(shí)偏移成像結(jié)果。

1 基于壓縮感知數(shù)據(jù)重建基本原理

地震數(shù)據(jù)插值可以看成由欠采樣數(shù)據(jù)到全部數(shù)據(jù)的一個(gè)數(shù)據(jù)重建反問(wèn)題[14]。

d=M m

(1)

其中:d為觀測(cè)到的數(shù)據(jù);M為采樣矩陣;m為想要恢復(fù)的全部地震數(shù)據(jù),它可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換W來(lái)進(jìn)行稀疏表示，如式(2)所示：

x=Wm

(2)

通過(guò)對(duì)x的逆變換可以恢復(fù)m。如果數(shù)學(xué)變換W是一個(gè)正交變換，其逆變換與轉(zhuǎn)置等價(jià)：

m=WTx

(3)

因此，地震數(shù)據(jù)插值問(wèn)題可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為稀疏約束優(yōu)化問(wèn)題，即得到的解一方面要擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，另外要保持其稀疏性，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，如式(4)所示。

(4)

其中:G=MWT;λ為正則化參數(shù);‖·‖0表示x中非零元素個(gè)數(shù)，即稀疏性。因?yàn)?范數(shù)約束方程求解時(shí)不可導(dǎo)，且為NP-hard問(wèn)題，所以通常利用1范數(shù)替代[15]。最后得到最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

這里采用SPG_L1方法求解此泛函，其基本原理是將基追蹤(Basis Pursuit)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列的最小絕對(duì)收縮和選擇(Least Absolute Shrinkage and Selection)問(wèn)題進(jìn)而求解[16]。因?yàn)榍ㄗ儞Q具有良好的多尺度特性和一定的方向特性，所以地震數(shù)據(jù)插值問(wèn)題中的數(shù)學(xué)變換W可選為曲波變換。

在離散曲波變換中，由于其基函數(shù)的方向特性，空間不同方向的分量可以在曲波域中離散表示(如圖1)。對(duì)于二維函數(shù)f(n1,n2),0≤n1,n2≤n，其在笛卡爾坐標(biāo)系下的曲波系數(shù)可以表示為：

(6)

圖1 數(shù)據(jù)在空間域與曲波域的表示Fig.1 Data representation in both space domain and curvelet domain(a)空間域數(shù)據(jù)；(b)對(duì)應(yīng)于空間域數(shù)據(jù)的曲波系數(shù)

圖1(a)為空間域中兩個(gè)“同相軸”，在曲波域中可以表示為不同位置，不同尺度，不同角度稀疏的曲波系數(shù)(圖1(b))。由于一般情況下相鄰地震道“同相軸”不會(huì)在近垂直方向，因此可以通過(guò)對(duì)曲波系數(shù)按照方向特征濾波，濾掉在空間域中近垂直分量，達(dá)到提高插值效果的目的。

2 聯(lián)合樣條函數(shù)基于曲波變換的稀疏約束插值

基于壓縮感知技術(shù)插值的前提條件,是波形可以在變換域中稀疏表示。然而對(duì)于微震數(shù)據(jù)，由于井下檢波器數(shù)過(guò)少，致使曲波基函數(shù)無(wú)法直接稀疏表示全部微震數(shù)據(jù)。由于以上條件限制，我們將樣條插值與基于曲波變換的稀疏約束插值相結(jié)合。當(dāng)樣條方向與曲波基函數(shù)所能稀疏表達(dá)的方向一致時(shí)，此時(shí)的曲波變換能夠使數(shù)據(jù)較好地稀疏表示，進(jìn)而利用壓縮感知技術(shù)插值。其中三次樣條插值以其兼顧低次插值穩(wěn)定性和高次插值光滑性的優(yōu)點(diǎn),已在工程中得到廣泛應(yīng)用[18]。

對(duì)于空間欠采樣的井下微地震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，為壓制微震成像時(shí)產(chǎn)生的空間假頻，采取以下技術(shù)流程來(lái)實(shí)現(xiàn)微震數(shù)據(jù)特定震相的重構(gòu)。

1)對(duì)于高信噪比的數(shù)據(jù)，利用相鄰兩道的波形相似性并基于整體的背景速度，在微震波形中找到相同的震相，此震相視需要而定。

2)利用樣條插值擬合同相軸的形態(tài)，得到所有要插值的地震道上特定震相在時(shí)間軸上的位置。

3)基于樣條插值得到的相同震相的位置，對(duì)每個(gè)地震道在時(shí)間軸上截取相同的時(shí)間，然后使相同震相在曲波基函數(shù)能夠稀疏表達(dá)的方向上(水平方向)對(duì)齊。

4)對(duì)齊后的數(shù)據(jù)在曲波域中可以得到更稀疏的表示，滿(mǎn)足稀疏約束條件，進(jìn)而利用壓縮感知技術(shù)進(jìn)行插值并進(jìn)行方向?yàn)V波。

5)將插值后的數(shù)據(jù)再返回到原來(lái)的位置上，最終實(shí)現(xiàn)微地震數(shù)據(jù)的特定震相的重構(gòu)。

為了測(cè)試聯(lián)合樣條插值和曲波變換的數(shù)據(jù)重構(gòu)效果，我們構(gòu)建了一個(gè)井下微地震監(jiān)測(cè)系統(tǒng)(圖2(a))。理論模型的背景P波速度為4 200 m/s，裂縫作為一個(gè)低速異常位于(1 000 m,2 200 m)附近，速度為3 570 m/s。34級(jí)檢波器(三角形)等間距地安裝在x=445 m的監(jiān)測(cè)井處，深度范圍為975 m～1 965 m，空間間隔為30 m。在低速體和監(jiān)測(cè)井之間(800 m,2 100 m)附近存在8個(gè)微地震事件(星形)。利用有限差分方法基于聲波方程計(jì)算了8個(gè)微地震事件的地震波場(chǎng)。圖2(b)顯示了一個(gè)微地震事件被34個(gè)檢波器接收到的地震合成波形。由圖2(b)可以看出，直達(dá)波以及對(duì)應(yīng)于低速裂縫區(qū)域的散射震相。逆時(shí)偏移成像方法用于微地震成像時(shí)，如果是對(duì)微震位置定位，那么只需要將直達(dá)波反傳。因?yàn)楹罄m(xù)散射波可認(rèn)為由二次震源產(chǎn)生，在反傳時(shí)會(huì)在強(qiáng)散射點(diǎn)處加強(qiáng)，有可能在定位時(shí)造成一定程度的干擾；如果不考慮定位，比如已知位置的射孔事件，而是對(duì)裂縫等低速結(jié)構(gòu)成像，那么就類(lèi)似于傳統(tǒng)勘探手段中的逆時(shí)偏移方法。反傳時(shí)若含有直達(dá)波，同樣也會(huì)對(duì)最終成像結(jié)果產(chǎn)生干擾。對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)(圖2(c))，我們可以較容易地拾取直達(dá)波震相，然而對(duì)于后續(xù)散射波的同相軸較難拾取，故而利用實(shí)際數(shù)據(jù)成像時(shí)選擇直達(dá)波后一段波形來(lái)進(jìn)行加密。

圖3為該技術(shù)應(yīng)用在模型上的算例。由于只對(duì)低速區(qū)界面成像，圖3(a)顯示了只包含后續(xù)散射震相的34個(gè)地震道。我們對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行均勻抽稀，得到了12個(gè)地震道，空間間距為90 m(圖3(b))，即稀疏度為66 %。首先拾取已有地震道相同震相最大振幅所對(duì)應(yīng)的到時(shí)，并根據(jù)樣條插值計(jì)算丟失地震道的到時(shí)，然后確定數(shù)據(jù)重構(gòu)的時(shí)間窗(圖3(c))，最后根據(jù)到時(shí)把時(shí)間窗向上移動(dòng)進(jìn)行展平(圖3(d))。在這個(gè)基礎(chǔ)上，對(duì)展平之后時(shí)間窗內(nèi)的地震道根據(jù)公式(5)給出的曲波變換稀疏約束插值方法進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)(圖3(e))，接著根據(jù)到時(shí)再把時(shí)間窗移回原來(lái)的位置(圖3(f))。為了比較，我們直接利用了基于曲波變換稀疏約束的內(nèi)插方法進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)(圖3(g))。為驗(yàn)證該方法的普適性，用相同的技術(shù)路線(xiàn)測(cè)試了既包含直達(dá)波也包含后續(xù)散射波的欠采樣數(shù)據(jù)插值(圖3(h))，可以看出，直達(dá)波和散射波都具有較好的插值效果。

圖3 聯(lián)合樣條插值與曲波變換稀疏約束數(shù)據(jù)重構(gòu)方法對(duì)一個(gè)微地震事件合成道集的測(cè)試Fig.3 Test on synthetic waveforms from a microseismic event for joint spline and curvelet-based sparsity constrained interpolation method(a)原始34道合成數(shù)據(jù)；(b)均勻抽稀后的12道原始數(shù)據(jù)； (c)利用樣條插值擬合散射震相的同相軸；(d)水平對(duì)齊后的數(shù)據(jù)；(e)對(duì)齊后應(yīng)用曲波變換稀疏約束插值的數(shù)據(jù)；(f)最終插值結(jié)果；(g)直接利用曲波變換稀疏約束插值得到的數(shù)據(jù)；(h)包含了直達(dá)波和后續(xù)散射波的欠采樣波形用該技術(shù)插值效果

在僅有12道數(shù)據(jù)的情況下聯(lián)合樣條插值重構(gòu)的地震數(shù)據(jù)，地震相位連續(xù)，效果良好(圖3(f))。與直接用曲波變換稀疏約束插值的結(jié)果相對(duì)比(圖3(g))，聯(lián)合方法的插值結(jié)果在相位連續(xù)性以及波形相似性更好。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)我們的方法對(duì)數(shù)據(jù)的恢復(fù)情況，計(jì)算了重構(gòu)數(shù)據(jù)與正演合成數(shù)據(jù)的差值(圖4)。由圖4可以看出，聯(lián)合樣條插值的方法能夠更精確地恢復(fù)振幅(圖4(a)、圖4(c))。我們進(jìn)一步選取了其中差值最大的一道數(shù)據(jù)進(jìn)行波形對(duì)比(圖4(b)、圖4(d))?？梢钥闯雎?lián)合了樣條插值的基于曲波變換稀疏約束的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法能夠很好地恢復(fù)相位、振幅。相比較而言，直接基于曲波變換的插值方法雖然也在一定程度上恢復(fù)了相位，但是存在一定程度的偏差，而且振幅恢復(fù)較差。

為定量說(shuō)明重建后的數(shù)據(jù)和正演合成數(shù)據(jù)的差別，在這里把正演合成數(shù)據(jù)與重建數(shù)據(jù)的差值當(dāng)作“噪聲”，把正演數(shù)據(jù)作為“信號(hào)”，引入信噪比的概念來(lái)定量評(píng)價(jià)插值數(shù)據(jù)的恢復(fù)質(zhì)量[8]：

(7)

其中:m0為正演合成的34道數(shù)據(jù)；m1為重建數(shù)據(jù)；SNR單位為dB。經(jīng)計(jì)算直接用曲波變換插值重構(gòu)的數(shù)據(jù)信噪比僅為-1.8 dB，而聯(lián)合樣條插值和曲波變換的插值方法重構(gòu)的數(shù)據(jù)信噪比為14.8 dB。

3 井下微地震合成數(shù)據(jù)加密前后成像效果對(duì)比

為檢驗(yàn)該方法加密數(shù)據(jù)壓制空間假頻的有效性，將其應(yīng)用于圖2所示井下微地震合成數(shù)據(jù)的偏移成像中。利用8個(gè)微地震事件的全部34道微震數(shù)據(jù)并基于聲波方程進(jìn)行了逆時(shí)偏移成像(圖5(a))。其基本原理為從震源發(fā)出的正傳波場(chǎng)與井下檢波器所計(jì)算的逆推波場(chǎng)，在成像點(diǎn)處對(duì)傳播方向不同的波場(chǎng)應(yīng)用互相關(guān)成像條件成像[19-20]。由圖5(a)可以看出，裂縫區(qū)域能夠很好地被刻畫(huà)出來(lái)。如果利用抽稀后的12道微震數(shù)據(jù)進(jìn)行成像，雖然裂縫區(qū)域能夠較好地成像，但是在監(jiān)測(cè)井附近存在較強(qiáng)的空間假頻現(xiàn)象(圖5(b))，這主要是由于微震波場(chǎng)空間采樣不夠所導(dǎo)致的。如果不聯(lián)合樣條插值，直接利用曲波變換進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)得到34道微震數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行偏移成像(圖5(c))。由圖5(c)可以看出，雖然地震道進(jìn)行了加密，但是由于插值效果較差，成像的結(jié)果依然顯示出與圖5(b)類(lèi)似的空間假頻現(xiàn)象。與之不同的是，結(jié)合樣條插值基于曲波變換的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法能夠很好地恢復(fù)數(shù)據(jù)，而且成像結(jié)果中也不存在由于空間采樣不足而產(chǎn)生的空間假頻現(xiàn)象(圖5(d))。

通過(guò)對(duì)比圖5(a)～圖5(d)，我們還可以發(fā)現(xiàn)，加密后的數(shù)據(jù)與全部數(shù)據(jù)相比，在裂縫遠(yuǎn)離監(jiān)測(cè)井的界面成像效果稍有不足。加密后的數(shù)據(jù)和原始稀疏的數(shù)據(jù)相比，除了能夠更好地壓制假頻之外，對(duì)裂縫的成像效果并沒(méi)有太多形態(tài)上的差別。這說(shuō)明基于樣條插值和曲波變換壓縮感知方法加密數(shù)據(jù)，并沒(méi)有帶來(lái)新的有效信息。

4 結(jié)論與討論

筆者提出了聯(lián)合樣條插值與曲波變換稀疏約束的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，并用于壓制微地震偏移時(shí)由于空間采樣不足而產(chǎn)生的假頻。基于井下微地震監(jiān)測(cè)合成數(shù)據(jù)測(cè)試，取得以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

1) 基于數(shù)學(xué)變換稀疏約束插值的前提，是地震道集圖像可以在變換域稀疏表示。對(duì)于曲波變換來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)同相軸所表示的方向與其所對(duì)應(yīng)的尺度下基函數(shù)所能刻畫(huà)的方向一致時(shí)，才可以稀疏表示全部地震道集，從而得到較好的插值效果。

2)聯(lián)合樣條插值與曲波變換稀疏約束的插值方法，可以針對(duì)在較少地震道的情況下，通過(guò)同相軸追蹤較好地進(jìn)行地震數(shù)據(jù)重建。避免了當(dāng)已知地震道較少時(shí)，曲波基函數(shù)對(duì)整個(gè)地震道難以進(jìn)行稀疏表示的問(wèn)題。

3)合成測(cè)試結(jié)果表明，針對(duì)空間采樣不足，用聯(lián)合方法加密微地震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可以壓制偏移成像時(shí)出現(xiàn)的假頻現(xiàn)象，而并不帶來(lái)新的有效信息。

[1]張永華,陳祥,楊道慶,等.微地震監(jiān)測(cè)技術(shù)在水平井壓裂中的應(yīng)用[J].物探與化探,2013,37(6):1080-1084.ZHANG Y H,CHEN X，YANG D Q，et al.Application of microseismic monitoring technology in horizontal well fracturing [J].Geophysical and Geochemical Exploration,2013,37(6):1080-1084.(In Chinese)

[2]劉財(cái),李鵬,劉洋,等.基于seislet變換的反假頻迭代數(shù)據(jù)插值方法[J].地球物理學(xué)報(bào),2013 (5):1619-1627.LIU C,LI P,LIU Y,et al.Iterative data interpolation beyond aliasing using seislet transform.[J].Chinese Journal Geophysics,2013 (5):1619-1627.(In Chinese)

[3]林葉，張海江.水力壓裂裂縫微地震逆時(shí)偏移成像[C].2015年中國(guó)地球科學(xué)聯(lián)合學(xué)術(shù)年會(huì)——專(zhuān)題52:微地震監(jiān)測(cè)與反演，2015:2273-2274.LIN Y,ZHANG H J.Reverse time migration imaging of microseismic data in hydraulic fracturing [C].Annual meeting of the Chinese Academy of Earth Science,2015.Special 52:microseismic monitoring and inversion，2015:2273-2274.(In Chinese)

[4]劉洋,王典,劉財(cái).數(shù)學(xué)變換方法在地震勘探中的應(yīng)用[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):地球科學(xué)版,2005,35(專(zhuān)輯) :1-8.LIU Y,WANG D,LIU C.The application of mathematical transform in seismic exploration [J].Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2005,35 (Spec):1-8.(In Chinese)

[5]DONOHO D L.Compressed sensing[J].Information Theory,IEEE Transactions on,2006,52(4):1289-1306.

[6]LUO T,LIU C,YANGX T,et al.Seismic data reconstruction based on iterative linear expansion of thresholds[J].Global Geology，2015,18(2) :127-133.

[7]崔興福,劉東奇,張關(guān)泉.小波變換實(shí)現(xiàn)地震道內(nèi)插[J].石油地球物理勘探,2003,38(B11):93-97.CUI X F,LIU D Q,ZHANG G Q.Wavelet transform to achieve seismic interpolation [J].Oil Geophysical Prospecting,2003,38(B11):93-97.(In Chinese)

[8]馮飛,王德利,張亞紅,等.結(jié)合曲波變換的焦點(diǎn)變換在地震數(shù)據(jù)去噪和插值中的應(yīng)用[J].物探與化探,2013,37(3):480-487.FENG F,WANG D L,ZHANG Y H,et al.The application of focal transform in combination with curvelet transform to seismic data denoising and interpolation[J].Geophysical and Geochemical Exploration,2013,37(3):480-487.(In Chinese)

[9]NAGHIZADEH M,SACCHI M D.Beyond alias hierarchical scale curvelet interpolation of regularly and irregularly sampled seismic data[J].Geophysics,2010,75(6):WB189-WB202.

[10]HERRMANN F J,HENNENFENT G.Non-parametric seismic data recovery with curveletframes[J].Geophysical Journal International,2008,173(1):233-248.

[11]劉國(guó)昌,陳小宏,郭志峰,等.基于Curvelet變換的缺失地震數(shù)據(jù)插值方法[J].石油地球物理勘探,2011,46(2):237-246.LIU G C,CHEN X H,GUO Z F,et al.Missing seismic data rebuilding by interpolation based on Curvelet transform [J].Oil Geophysical Prospecting,2011,46(2):237-246.(In Chinese)

[12]張華,陳小宏.基于 jitter 采樣和曲波變換的三維地震數(shù)據(jù)重建[J].地球物理學(xué)報(bào),2013 (5):1637-1649.ZHANG H,CHEN X H.Seismic data reconstruction based on jittered sampling and curvelet transform [J].Chinese Journal Geophysics,2013 (5):1637-1649.(In Chinese)

[13]馮飛.結(jié)合稀疏變換的稀疏約束反演一次波估計(jì)研究[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué),2014.FENG F.A study of estimation of primaries by sparse inversion in combination with sparse transformation [D].Changchun:Jilin University,2014.(In Chinese)

[14]SHANG X F.Inverse scattering:theory and application to the imaging of the Earth's seismic discontinuities[D].Boston:Massachusetts Institute of Technology,2014.

[15]ASTER R C,BORCHERS B,THURBER C H.Parameter estimation and inverse problems[M].Waltham:Academic Press,2011.

[16]謝志鵬.壓縮感知的稀疏重構(gòu)算法研究[D].南京：南京航空航天大學(xué),2012.XIE Z P.Research on sparse reconstruction algorithms in compressive sensing [D].Nanjing:Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2012.(In Chinese)

[17]CANDES E,DEMANET L,DONOHO D,et al.Fast discrete curvelet transforms[J].Multiscale Modeling & Simulation,2006,5(3):861-899.

[18]周強(qiáng),曹琳昱,曹中林,等.樣條曲線(xiàn)擬合初至波剩余靜校正方法[J].地球物理學(xué)進(jìn)展,2015 (3):1329-1332.ZHOU Q,CAO L Y,CAO ZH L,et al.A method of residual static corrections based on fitting first break using spline function [J].Progress in Geophysics,2015(3):1329-1332.

[19]林葉.VSP 逆時(shí)偏移角道集域成像方法與應(yīng)用[D].北京：中國(guó)地質(zhì)大學(xué) ,2014.LIN Y.VSP reverse time migration angle gather domain imaging method and application [D].Beijing:China University of geosciences,2014.(In Chinese)

[20]LIU F,ZHANG G,MORTON S,et al.An effective imaging condition for reverse-time migration using wavefield decomposition[J].Geophysics,2011,76:s29-s39.

Downhole microseismic monitoring data reconstruction based on spline interpolation and curvelet-based compressive sensing

CHANG Kaia，ZHANG Hai-jianga,b*，LIN Yea,b

(University Science and Technology of China a.Wantai Microseismic Lab of School of Earth and Space Sciences,b.Laboratory of Seismology and Physics of Earth's Interior,Hefei 230026,China)

For downhole microseismic monitoring of hydraulic fracturing of unconventional oil/gas reservoirs,the number of borehole receivers is limited and as a result the spatial sampling of seismic wavefield is sparse,which can lead to artifacts in the seismic migration image for downhole microseismic migration.To mitigate this spatial aliasing issue,spatial interpolation is needed.Currently,compressive sensing using the curvelet-based sparsity constraint has been gradually widely used for seismic trace interpolation.However,for the case of downhole microseismic monitoring,because the temporal sampling is much denser than the spatial sampling,the directional information obtained for curvelet bases at certain scales is limited,making it difficult to take full advantage of anisotropic features of curvelet bases.As a result,the result of seismic trace interpolation is poor.To solve this issue,we propose a hybrid method that combines spline interpolation and curvelet-based compressive sensing.First,spline interpolation method is used to calculate the reflection of interpolated traces using those of existing traces.Then the traces are shifted to a certain direction that could well be represented by the curvelet basis,such as the horizontal direction.After shifting the traces,the seismic gather is sparse in the curvelet domain and thus the curvelet-based spartisty constrained interpolation can then be used to more accurately reconstruct more traces in the space domain.We tested the hybrid method on a synthetic downhole microseismic dataset.It shows that the artifacts on seismic migration image using interpolated microseismic data are greatly reduced compare to the migration image from the original sparse data.

downhole microseismic monitoring; spline interpolation; curvelet transform; compressive sensing; data reconstruction

2015-11-13 改回日期：2015-12-24

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41274055)

常凱(1990-)，男，碩士，主要從事被動(dòng)源地震成像，稀疏約束反演研究,E-mail：chao_13@mails.jlu.edu.cn。

*通信作者：張海江(1973-)，男，教授，主要從事不同尺度下地震成像算法研究和應(yīng)用，E-mail：zhang11@ustc.edu.cn。

1001-1749(2016)06-0788-08

P 631.4