呂一品，熊天紅，易文俊

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點實驗室，江蘇 南京 210094)

基于分叉理論的水下超空泡航行體運動特性研究

呂一品，熊天紅，易文俊

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點實驗室，江蘇 南京 210094)

為保證水下超空泡航行體穩(wěn)定地運動，分叉分析航行體的運動狀態(tài)隨空化數(shù)變化的規(guī)律，基于分叉理論，利用數(shù)值仿真、相軌圖分析并驗證航行體在不同空化數(shù)下的運動特性，最后通過二維分岔圖確定航行體穩(wěn)定運動條件和參數(shù)范圍。研究結(jié)果表明：超空泡航行體的運動具有非線性動力學(xué)特性，隨著空化數(shù)的變化，系統(tǒng)的相軌跡出現(xiàn)極限環(huán)、混沌吸引子等現(xiàn)象；合理地調(diào)整控制律可以擴(kuò)大航行體穩(wěn)定運動的空化數(shù)范圍，實現(xiàn)航行體的穩(wěn)定運動。

超空泡航行體；分叉理論；空化數(shù)；二維分岔圖

0 引 言

眾所周知，運動體在水中所受的阻力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其在空氣中所受的阻力，因此傳統(tǒng)的水下武器的速度很難超過 35 m/s[1]。超空泡技術(shù)的出現(xiàn)克服了這一限制水下運動體發(fā)展的瓶頸。它的原理是：當(dāng)水中航行體速度不斷增大時，根據(jù)伯努利效應(yīng)，其承受的水壓力減小，當(dāng)水壓力減小到可以讓常溫的水變成水蒸氣的程度時，水蒸氣構(gòu)成的氣泡進(jìn)而均勻地覆蓋在航行體上，將航行體與水分開，水的阻力就變?yōu)橛伤魵鈽?gòu)成的氣泡的阻力，實現(xiàn)了航行體在水中飛行[2]。然而，在超空泡航行體高速運動的同時，由于航行體的尾部與空泡壁的接觸會產(chǎn)生復(fù)雜的非線性滑行力，所以超空泡航行體系統(tǒng)為非線性動力學(xué)系統(tǒng)。

非線性系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而發(fā)生定性變化，即出現(xiàn)分叉現(xiàn)象。因此，非線性系統(tǒng)中的一些失穩(wěn)、顫振等現(xiàn)象就可能與系統(tǒng)產(chǎn)生分叉、混沌等動態(tài)有關(guān)，從而研究參變非線性系統(tǒng)中分叉的控制，以保證系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)在某一給定的范圍內(nèi)變化時仍工作在穩(wěn)定狀態(tài)，既有理論意義，又有應(yīng)用價值[3–4]。Lin等[5]提出超空泡航行體系統(tǒng)隨參數(shù)變化會產(chǎn)生分叉現(xiàn)象；白濤等[6]運用分叉法對超空泡航行體的運動穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。本文運用非線性科學(xué)中的分叉理論系統(tǒng)地分析超空泡航行體的運動特性，通過分叉研究，揭示非線性的影響，并通過調(diào)整控制項來擴(kuò)大系統(tǒng)穩(wěn)定運動的參數(shù)范圍。

本文基于 Dzielski 和 Kurdila[7]的超空泡航行體動力學(xué)模型，分叉分析系統(tǒng)隨空化數(shù)變化產(chǎn)生的非線性動力學(xué)現(xiàn)象，基于分叉理論探討不同空化數(shù)下航行體運動特性，并運用二維分岔圖揭示空化數(shù)與控制律同時變化時對航行體穩(wěn)定性的影響。

1 水下超空泡航行體的動力學(xué)模型

1.1 空化數(shù)的描述

空泡在起始與發(fā)展過程中具有不同的形態(tài)，不同條件下發(fā)生的空泡也有不同的形狀，按照空泡流型空泡可分為瞬態(tài)孤立空泡、附著空泡和空化渦[8]。為研究一般情況下的空泡形態(tài)，引用反映空泡的無量綱空化數(shù)，其表達(dá)式為：

式中：P∞為外壓；Pc為空泡內(nèi)壓；ρ 為水的密度；V為航行體總速度[8]。

由式（1）可知，空化數(shù) σ 表征空化程度且與 1/V2成正比，另外，小空化數(shù)對應(yīng)大尺寸空泡的形成，空化數(shù)能夠控制超空泡尺寸的大小，同時，超空泡的尺寸直接影響尾部滑行力的大小和方向，進(jìn)而影響空泡與航行體之間的相互作用，決定航行體的運動狀態(tài)，對航行體運動穩(wěn)定性產(chǎn)生至關(guān)重要的影響，故本文選取空化數(shù)為分叉參數(shù)。

1.2 水下超空泡航行體動力學(xué)建模

如圖 1 所示，本文研究航行體在縱平面內(nèi)的運動，當(dāng)超空泡航行體在水下高速運動時，受到的力主要有空化器上的升力 Fcavitator、尾翼上的升力 Ffins、航行體質(zhì)心位置的重力 Fgravity及滑行力 Fplaning。

超空泡航行體動力學(xué)建模的體坐標(biāo)系原點位于航行體頭部圓盤形空化器頂端面的圓心，把地面系當(dāng)作慣性系，X 軸與航行體對稱軸重合指向前，Z 軸垂直于X 軸指向下。航行體 Z 軸方向的速度 w，方向與航行體軸線垂直；V 代表縱平面內(nèi)航行體頭部空化器的合速度，方向與航行體軸線平行；θ 是航行體俯仰角，q是體坐標(biāo)系下的俯仰角速度，z 是航行體的深度，建模采用 z，w，θ，q 作為 4 個狀態(tài)變量來描述超空泡航行體的動力學(xué)。此外，該系統(tǒng)有 2 個控制輸入，1 個是空化器偏轉(zhuǎn)角 δc，另 1 個是尾翼偏轉(zhuǎn)角 δe。上述變量有如下關(guān)系[5]：

圖 1 超空泡航行體示意圖Fig. 1 The schematic diagram of supercavitating vehicles

式中 c2為重力加速度。aij，bij，dij的表達(dá)式如下[5]：

式中：L 為航行體長度；n 為尾翼效率，即航行體尾翼

圖 2 浸沒深度Fig. 2 Immersion length

浸入水中的長度與總長度之比；m 為航行體對水的密度比；g 為重力加速度；Cx0為空化器升力系數(shù)；Rn為空化器半徑；Rc為空泡半徑；R 為航行體半徑；為空泡半徑變化率。

模型考慮了復(fù)雜的非線性滑行力 Fplaning，該力由于航行體尾部與空泡壁接觸時產(chǎn)生。其表達(dá)式為[5]：

非線性滑行力的出現(xiàn)不僅會增加航行體的摩擦阻力，還會給航行體造成振動與沖擊，產(chǎn)生分岔、混沌等復(fù)雜的非線性現(xiàn)象[4–5]。如何有效控制超空泡航行體的姿態(tài)，避免滑行力出現(xiàn)、減少航行體與空泡壁碰撞產(chǎn)生的沖擊，是保證航行體在水下穩(wěn)定運動的關(guān)鍵。

如圖 3 所示，超空泡航行體尾部浸入水中的深度稱為浸沒深度，浸沒深度 h′ 和航行體浸沒角 α 的表達(dá)式為[5]：在式（4）中，當(dāng) |w| 〉 wth時，浸沒深度 h′ 〉 0；當(dāng)

|w| ＜ wth時，浸沒深度 h′ = 0，wth為臨界分界點。

2 水下超空泡航行體運動狀態(tài)分析

2.1 分叉理論

設(shè)超空泡航行體的動力學(xué)微分方程可以用如下非線性動力學(xué)系統(tǒng)的一般形式來描述，即

式中：x =（x1x2… xn）T∈Rn為狀態(tài)變量，對應(yīng)于超空泡航行體動力學(xué)微分方程組中的深度、垂直速度、俯仰角和俯仰角速度（即 z，w，θ，q）；μ=（μ1μ2… μm）T∈Rm為控制變量，對應(yīng)于超空泡航行體的空化數(shù)σ、空化器偏轉(zhuǎn)角 δc和尾翼偏轉(zhuǎn)角 δe；f=（f1f2…fn）T：Rn× Rm→Rn，對應(yīng)于 z，w，θ，q 對時間 t 的變化率函數(shù)。

根據(jù)分岔理論，首先進(jìn)行奇異性分析。奇異點由如下方程得到[9]：

式中 Dxf（x，μ）為 f（x，μ）對 x 的 Jacobi 矩陣，即這是一個關(guān)于 x，μ 的非線性代數(shù)方程組的求解問題，可用Newton-Raphson 方法求解出奇異點（x0，μ0）。則在該點處利用泰勒級數(shù)將式（6）展開，得到[6]：

2）若 A（μ）的特征根中有 1 對共軛純虛特征根，而其他特征根均有負(fù)實部，可利用中心流形定理對系統(tǒng)進(jìn)行降維約化后分析其穩(wěn)定性；

3）若 A（μ）的特征根有 1 對純虛特征根，則說明系統(tǒng)在此處發(fā)生 hopf 分叉，開始從平衡態(tài)失穩(wěn)并產(chǎn)生周期振蕩。

2.2 超空泡航行體分叉分析

根據(jù)所建立的超空泡航行體系統(tǒng)的四維動力學(xué)方程（2），分析水下航行體動力學(xué)特性。超空泡航行體的系統(tǒng)參數(shù)值為：重力加速度 g = 9.81 m/s2，密度比 m = 2；尾翼效率 n = 0.5；空化器半徑 Rn= 0.019 1 m；航行體半徑 R = 0.050 8 m；航行體長度 L = 1.8 m；空化數(shù)的有效范圍是 σ∈[0.019 8，0.036 8]。升力系數(shù) Cx0=0.82 。

超空泡航行體設(shè)有反饋控制器，Dzielski 和 Kurdila[7]提出了經(jīng)典的反饋控制律，分別為 δe= 0 和 δc= 15z–30θ–0.3q?；诖丝刂坡?，系統(tǒng)狀態(tài)變量 w 隨空化數(shù) σ 變化的分叉圖如圖 3 所示。

如圖 3 示，在經(jīng)典反饋控制率的條件下，當(dāng)系統(tǒng)處于小空化數(shù) σ∈[0.019 8，0.024 2]時，圖中左上細(xì)黑線段穩(wěn)定平衡點說明航行體處于穩(wěn)定運動的狀態(tài)；σ = 0.242 5 時，系統(tǒng)發(fā)生 hopf 分岔，系統(tǒng)由穩(wěn)定的有界點突變到極限環(huán)，空化數(shù) σ∈[0.024 25，0.031 78] 時，極限環(huán)的出現(xiàn)將使航行體平衡態(tài)失穩(wěn)并產(chǎn)生周期振蕩[5]；經(jīng)過一系列倍周期分岔，空化數(shù) σ∈[0.031 78，0.036 8]時，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，航行體將劇烈振蕩甚至傾覆。

上消化道出血是消化系統(tǒng)常見的一種急癥，主要表現(xiàn)為突發(fā)的嘔血、黑便等，該病復(fù)發(fā)率高、病死率高[1]，對患者的身心健康帶來極大的危害，導(dǎo)致患者產(chǎn)生負(fù)性情緒，甚至影響疾病的預(yù)后。有研究[2]表明：導(dǎo)致上消化道出血的主要誘因是不良的生活及飲食習(xí)慣，加強(qiáng)健康教育可提高患者的疾病相關(guān)知識水平，促進(jìn)其健康的行為，進(jìn)而有利于疾病的康復(fù)。因此，探索適合上消化道出血患者的健康教育方式具有重要的臨床意義。循證護(hù)理又稱實證護(hù)理，是以臨床科學(xué)證據(jù)為依據(jù)，針對護(hù)理問題尋找證據(jù)，對患者實施最恰當(dāng)?shù)淖o(hù)理方案[3]。本研究基于循證護(hù)理理念，對上消化道出血患者進(jìn)行健康教育，取得了良好的臨床效果，具體如下。

圖 3 系統(tǒng)隨空化數(shù) σ 變化的分岔圖Fig. 3 Bifurcation diagram of system for σ

2.3 不同空化數(shù)下航行體運動狀態(tài)分析

根據(jù)超空泡航行體分叉分析，在超空泡航行體穩(wěn)定運動范圍 [0.019 8，0.024 2] 內(nèi)任取 σ = 0.021 0，以該點為代表分析航行體的運動狀態(tài)。

在平衡點處求系統(tǒng)方程（2）的近似線性化形式，得到 Jacobi 矩陣為：

根據(jù)其特征方程：

可解得特征根為 λ1，2= –27.860 ± j327.339，λ3，4=–15.761 ± j34.334。由分叉理論可知，系統(tǒng)在平衡點處所有特征根均存在負(fù)實部，故系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

取初始狀態(tài)為 [0，0，0，0]，σ = 0.021 0 時得到系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖 4 所示。由圖 4（a）～圖 4（d）可知：系統(tǒng)各個狀態(tài)變量初始時刻的值較大，在反饋控制律的作用下系統(tǒng)的各個變量都逐漸吸引到穩(wěn)定平衡點 S1上。圖 4（e）～圖 4（f）顯示尾部伸出空泡長度h′ 以及滑行力 Fplaning也都恒定在確定值上。不難看出，航行體在小空化數(shù)下高速航行時，尾部一直處于穿過空泡浸入水中的狀態(tài)，此時由頭部的空化器和尾翼升力以及尾部的滑行力共同維持航行體的平衡，航行體處于穩(wěn)定航行狀態(tài)，由此也驗證了上節(jié)分叉理論對系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定。

由分叉分析可知，當(dāng)空化數(shù) σ 增大時，超空泡航行體將不能保持穩(wěn)定航行的運動狀態(tài)，出現(xiàn)周期振蕩。在空化數(shù) σ∈[0.024 25，0.031 78] 內(nèi)任取 σ = 0.027，經(jīng)計算得系統(tǒng)的平衡點 S2：[2.271 6，0，0.028 7，0.061 3]。在平衡點處獲得系統(tǒng)（2）的 Jacobi 矩陣：

圖 4 σ = 0.021 0 時系統(tǒng)響應(yīng)示意圖Fig. 4 Time response for σ = 0.021 0

計算得到 4 個特征根為：λ1，2= 67.159 ± j336.361，λ3，4= –18.271 ± j32.222，其中特征根 λ1，2是實部為正的共軛虛根，根據(jù)分叉理論，此時系統(tǒng)已經(jīng)歷 hopf 分叉，致使上述平衡態(tài)失穩(wěn)，產(chǎn)生周期振蕩。

相軌圖是系統(tǒng)運動軌跡的記錄，反映系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況，是觀察系統(tǒng)中動力學(xué)行為的最直接的方法[10]。圖 5 給出了系統(tǒng)（2）的一些典型的周期軌道，由圖所示，極限環(huán)的出現(xiàn)說明系統(tǒng)發(fā)生了周期性振蕩，極限環(huán)與臨界切換分界線 w = wth相交，航行體的垂直速度w 時而大于 wth，時而小于 wth，由式（4）可知，航行體尾翼相應(yīng)地不時擺動與空泡碰觸，引起航行體滑行力周期性的變化，稱為“尾擊現(xiàn)象”[5]。表明系統(tǒng)映射從一個有界點逐步形成了不穩(wěn)定的閉合極限環(huán)。

由圖 6 可知，航行體的 4 個狀態(tài)變量水中深度 z、縱向速度 w、俯仰攻角 θ 以及角速度 q 均圍繞平衡點S2位置發(fā)生周期性的微幅振蕩。航行體尾部伸出空泡的長度 h′ 約在 [0，0.06] m 之間作周期振蕩，表明此時航行體尾部不斷與空泡壁面發(fā)生碰撞，尾翼時而處于空泡內(nèi)部，不與空泡接觸，滑行力為 0；時而穿過空泡深入水中，產(chǎn)生滑行力，相應(yīng)的滑行力 Fplaning在[0，37] N 之間作周期振蕩。由此也表明，此時航行體處于不穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)，驗證了上節(jié)對系統(tǒng)運動狀態(tài)分析的正確性。系統(tǒng)持續(xù)的振蕩不僅會影響控制設(shè)備的使用壽命，也會使控制精度下降，因此必須對航行體進(jìn)行有效的控制避免周期振蕩的發(fā)生。

在隨著 σ 逐步增大，系統(tǒng)歷經(jīng)一系列的倍周期分岔突變到混沌狀態(tài)，在空化數(shù)范圍 [0.031 78，0.036 0]內(nèi)任取 σ = 0.032 5，獲得系統(tǒng)的平衡點 S3：[1.138 9，0，0.015 8，0.035 0]，此時系統(tǒng)的 Jacobi 矩陣為：

圖 5 σ = 0.027 0 時系統(tǒng)相軌圖Fig. 5 Phase track diagram for σ = 0.027 0

解得相對應(yīng)的 4 個特征根為：λ1，2= 365.839 ± j306.982，λ3，4= –21.666 ± j30.46，這里，λ1，2為實部為正共軛虛根，故平衡點 S3為不穩(wěn)定鞍焦點，即指數(shù)2 平衡點，滿足形成混沌吸引子的必要條件[10]。

圖 7 給出了 σ = 0.032 5 系統(tǒng)相軌圖在二維空間和三維平面上的投影.由圖可知，此時系統(tǒng)的極限環(huán)演變形成了混沌吸引子，出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，此時航行體運動具有復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為。

圖 6 σ = 0.027 0 時系統(tǒng)響應(yīng)示意圖Fig. 6 Time response for σ = 0.027 0

圖 7 σ = 0.032 5 時系統(tǒng)相軌圖Fig. 7 Phase track diagram for σ = 0.032 5

由圖 8（a）～圖 8（d）可知，系統(tǒng)的 4 個狀態(tài)變量 z，w，θ，q 隨著時間的變化發(fā)生了劇烈的非周期震蕩。同時，由圖 8（e）～圖 8（f）可看出，航行體尾部伸出空泡長度 h′ 與滑行力 Fplaning也在隨時間不斷變化，浸沒深度最高達(dá)到了 0.16 m，該長度超過了航行體的直徑，對應(yīng)的滑行力接近 300 N，顯然，這種現(xiàn)象在實際運動中不可能出現(xiàn)，航行體已失去穩(wěn)定進(jìn)而傾覆，因此必須對航行體進(jìn)行有效的控制以避免這種狀況的發(fā)生。

圖 8 σ = 0.032 5 時系統(tǒng)響應(yīng)示意圖Fig. 8 Time response for σ = 0.032 5

3 超空泡航行體的穩(wěn)定運動

由上述分析可知，當(dāng)超空泡航行體在經(jīng)典控制率δe= 0、δc= 15z–30θ–0.3q 下穩(wěn)定航行的范圍是空化數(shù) σ∈[0.020，0.024 2]，而在空化數(shù)的有效范圍σ∈[0.024 2，0.036 8] 下無法實現(xiàn)穩(wěn)定航行，這是由于尾翼偏轉(zhuǎn)角 δe= 0，往往會使航行體缺乏尾翼提供的支持力，不能平衡航行體的重力，從而導(dǎo)致航行體在重力的作用下浸入空泡而失穩(wěn)，很大程度上限制了航行體的可控性以及穩(wěn)定性。

為實現(xiàn)超空泡航行體穩(wěn)定運動，保持空化器偏轉(zhuǎn)角 δc不變，調(diào)整尾翼偏轉(zhuǎn)角 δe= kθ，其中 k 為俯仰角θ 的反饋增益。依照分叉理論，圖 9 給出了（σ，k）二維分岔圖，揭示了在整個空化數(shù)有效范圍內(nèi)，反饋增益 k 的變化對航行體運動狀態(tài)的影響。

圖 9 系統(tǒng)動力學(xué)行為分布圖Fig. 9 Regions of different dynamical behaviors in the space of the bifurcation parameters σ and k

參數(shù) σ、k 同時變化時，在（σ，k）相空間上，其動力學(xué)行為分布情況如圖 9 所示，水平切面是空化數(shù)σ 變化時系統(tǒng)的分岔圖，豎直切面是參數(shù) k 變化時系統(tǒng)的分岔圖。圖中白色部分表示航行體穩(wěn)定運動區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)任意選取一點（σ， k），其空化數(shù)下對應(yīng)的控制增益能夠?qū)崿F(xiàn)航行體的穩(wěn)定航行；灰色部分則表示航行體不穩(wěn)定運動區(qū)域，在此范圍內(nèi)航行體則會出現(xiàn)振動與沖擊，處于不穩(wěn)定狀態(tài)。利用二維分岔圖能夠確定航行體穩(wěn)定運動條件和參數(shù)取值范圍，由此不難看出，空化數(shù) σ∈[0.019 8，0.035 6] 時，在[–7.5，31.5] 范圍內(nèi)調(diào)節(jié)控制增益 k 的取值，均能夠有效實現(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行，大大地拓寬了系統(tǒng)穩(wěn)定運動的范圍，對航行體的穩(wěn)定性控制具有指導(dǎo)意義。

4 結(jié) 語

為研究水下超空泡航行體的運動特性，本文基于超空泡航行體的四維動力學(xué)模型，分析了不同空化數(shù)下航行體的運動狀態(tài)，揭示了尾翼偏轉(zhuǎn)角反饋控制增益的變化對航行體穩(wěn)定性的影響，得到以下結(jié)論：

1）運用分叉理論可以確定超空泡航行體在任一參數(shù)下的運動穩(wěn)定性，為探討求解超空泡的非線性問題，提供了分析途徑；

2）隨著空化數(shù)的變化，超空泡航行體的運動具有穩(wěn)定、周期和混沌 3 種狀態(tài)；相軌圖揭示了極限環(huán)和混沌吸引子的出現(xiàn)，說明超空泡航行體的縱向運動具有非線性動力學(xué)特性；3）二維分岔圖能夠確定航行體穩(wěn)定運動條件和參數(shù)范圍，根據(jù)航行體的運動速度，可以對應(yīng)設(shè)置恰當(dāng)?shù)目刂坡剩瑥亩行б种坪叫畜w的振動與沖擊，實現(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行。

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Motion characteristics of underwater supercavitating vehicles based on bifurcation theory

LV Yi-pin, XIONG Tian-hong, YI Wen-jun

(National Key Laboratory of Transient Physics, Nanjing University of Science and Techology, Nanjing 210094, China)

To guarantee the steady motion of underwater supercavitating vehicles, the bifurcation analysis of underwater vehicles with variable cavitation numbers is conducted. Through numerical simulation and phase track diagram, the difference of motion characteristics with different cavitation numbers is revealed based on bifurcation theory. The conditions and ranges of parameters for the stable motion of vehicles are finally determined by a two-dimensional bifurcation diagram. The results indicate that the motion of supercavitating vehicles is found to have nonlinear dynamic characteristics, resulting in the phenomena with cavitation numbers varying, such as Hopf bifurcations, period-doubling bifurcations and chaos. The stable range of underwater supercavitating vehicles can be expanded by adjusting the gain of control law reasonably. Then the steady motion will be realized.

supercavitating vehicles；bifurcation theory；cavitation number；two-dimensional bifurcation diagram

O322

A

1672–7619(2016)12–0020–06

10.3404/j.issn.1672–7619.2016.12.004

2016–05–09；

2016–06–26

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(11402116)；國家自然科學(xué)基金(11472136)；自主科研專項計劃(30910612203)

呂一品(1993–)，女，博士研究生，研究方向為水下超空泡技術(shù)。