林 靜，唐國強(qiáng)，覃良文

(桂林理工大學(xué) 理學(xué)院，廣西 桂林 541006)

基于3σ準(zhǔn)則的分段擬合及其GARCH修正模型*

林 靜，唐國強(qiáng)，覃良文

(桂林理工大學(xué) 理學(xué)院，廣西 桂林 541006)

在金融時(shí)間序列中，一組金融序列可被視為由不同時(shí)間段的分段函數(shù)擬合連接而成.利用3σ準(zhǔn)則確定分段函數(shù)的臨界點(diǎn)，并根據(jù)AIC準(zhǔn)則及調(diào)整后R2對分段點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，從而分段點(diǎn)把數(shù)據(jù)分割成兩部分.對兩序列分別用合適的函數(shù)進(jìn)行擬合，并用ARMA-GARCH模型對殘差序列進(jìn)行修正.由上證綜合指數(shù)數(shù)據(jù)的實(shí)證分析結(jié)果表明：3σ準(zhǔn)則能很好地檢索出臨界點(diǎn)，同時(shí)建立的分段函數(shù)模型預(yù)測效果要優(yōu)于ARMA與EGARCH模型，以及ARMA-GARCH模型的引入對模型的精確度有所提高.所介紹的方法簡單易懂、便于操作、精度高，為金融投資者和學(xué)者提供參考價(jià)值.

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)；分段擬合；拉依達(dá)準(zhǔn)則；GARCH模型；臨界點(diǎn)

1 引 言

從金融數(shù)據(jù)產(chǎn)生至今，對金融數(shù)據(jù)的分析一直是金融研究領(lǐng)域中一個(gè)倍受關(guān)注的焦點(diǎn)[1].運(yùn)用科學(xué)的預(yù)測方法對金融序列進(jìn)行預(yù)測具有十分重要的意義.從序列趨勢波動的視角分析，序列的走勢往往會呈現(xiàn)短期的上升或下降.在分析金融序列波動的趨勢的基礎(chǔ)上，提出了建立分段函數(shù)來對序列進(jìn)行擬合.以分段函數(shù)的分段點(diǎn)作為突破點(diǎn)，在不同的時(shí)間區(qū)域中擬合合適的函數(shù).

在分析較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)時(shí)，往往采用分段曲線在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行擬合逼近.趙麗坤和劉陽(2010)[2]指出分段函數(shù)是指自變量在不同范圍取值時(shí)，有著不同的對應(yīng)法則的一種函數(shù)，即用幾個(gè)或無窮個(gè)解析式來近似表示曲線的函數(shù).在實(shí)際生活中，很多問題都是多方面的，要考慮全面時(shí)常離不開分類討論的思想，此時(shí)在解決日常生活中的問題(如，移動通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、個(gè)人應(yīng)納稅所得稅額、購物等)通常需要用到分段函數(shù)的模型函數(shù).張興元 (2007)[3]為了克服分段曲線擬合方法中存在不連續(xù)性與不可導(dǎo)性的缺陷，提出了一種分段函數(shù)的光滑算法，該方法在凸輪實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分段曲線擬合中得到了很好的擬合效果；劉麗坤和劉陽(2010)[4]采用系統(tǒng)工程的方法，并建立分段函數(shù)模型，和結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)的復(fù)合方法對風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目各階段做出動態(tài)的決策.對于分段函數(shù)研究，很多學(xué)者是側(cè)重于理論上對分段函數(shù)的求導(dǎo)與連續(xù)性來確定分段點(diǎn)的某個(gè)角度的定性認(rèn)識，缺乏一定的說服力，而在文章中從定量的角度上確定分段點(diǎn)，引入拉依達(dá)準(zhǔn)則進(jìn)行確認(rèn)分段點(diǎn)，使得分段函數(shù)模型更具有有效性與說服力.對于拉依達(dá)準(zhǔn)則的研究，往往被應(yīng)用于異常值的確定.陳俊等(2007)[5]在研究捕食模型的高精度參數(shù)估計(jì)中，針對時(shí)間變量出現(xiàn)的誤差，采用了拉依達(dá)準(zhǔn)則進(jìn)行篩選，最終提出了一種較為簡單的參數(shù)分段的動態(tài)估計(jì)算法.最近30年來，GARCH模型的應(yīng)用在金融領(lǐng)域中發(fā)揮了較好的作用.劉青 (2015)[6]對上證綜合指數(shù)收益率建立GARCH族模型進(jìn)行比較，結(jié)果表明指數(shù)GARCH(EGARCH)模型可更好的預(yù)測資產(chǎn)收益率的波動過程.

借鑒以上研究中的一些基本成果，建立合理的預(yù)測模型，并與文獻(xiàn)[6]推薦建立的EGARCH模型作對比，結(jié)果表明修正后的模型精度優(yōu)于修正前的模型和EGARCH模型.文中的創(chuàng)新點(diǎn)在于運(yùn)用拉依達(dá)準(zhǔn)則確定分段函數(shù)的分段點(diǎn)和運(yùn)用ARMA-GARCH模型修正殘差序列.對分段點(diǎn)的確定實(shí)際上是逐步擬合合適的模型，找出異常的殘差值.異常的殘差對應(yīng)的樣本值是嚴(yán)重地偏離預(yù)測值，表明該樣本點(diǎn)不宜于在該曲線上或者是不宜于用該曲線去擬合該樣本點(diǎn).異常值的判斷，往往可以采用拉依達(dá)準(zhǔn)則來確定.

2 以3σ準(zhǔn)則確定的分段ARMA-GARCH模型

模型建立的基本原理是先尋找合適的模型對前一部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用拉依達(dá)準(zhǔn)則尋找最初的殘差異常值，對“正?！钡臄?shù)據(jù)再次擬合合適的模型，不斷地循環(huán)及判斷，直至找出分界點(diǎn).最后對分界點(diǎn)前后兩序列重新擬合，并對其殘差采用ARMA-GARCH模型來修正.

2.1 3σ準(zhǔn)則

(1)

當(dāng)n≥10時(shí)，若|ui|>3S，即殘余誤差ui的絕對值大于3倍標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，把樣本點(diǎn)xi視為異常值.

2.2 GARCH模型

GARCH模型是由Bollerslev(1986)發(fā)展起來的ARCH模型的拓展.在金融領(lǐng)域中，GARCH模型適用于時(shí)間序列的條件異方差的分析，被廣泛的用于金融資產(chǎn)收益和風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測.為簡便起見，文章中運(yùn)用GARCH(1，1)模型來研究上證綜合指數(shù).標(biāo)準(zhǔn)的GARCH(1，1)模型[8]的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

yt=xtγ+μt,

(2a)

(2b)

(2c)

2.3 建模步驟

Step1 對上證綜合指數(shù){Xt,t=1,2,…,n}(假設(shè)N為偶數(shù)時(shí))的前50%數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合合適的模型，得出全部數(shù)據(jù)的預(yù)測值與殘差值，求出前50%數(shù)據(jù)殘差的3σ區(qū)間(即：Xε50%±3σ)；

Step2 把1/2分位數(shù)初步視為第一個(gè)臨界點(diǎn)λ1=n/2，s1從1開始，若Xn(s1=1,2,…, λ1)對應(yīng)的殘差值不介于前50%數(shù)據(jù)殘差的3σ區(qū)間時(shí)，把Xn前一個(gè)點(diǎn)被重新視為臨界點(diǎn)λ2=n/2+s1-1；

Step3 把前n/2+s1-1數(shù)據(jù)重新擬合，并求出全部數(shù)據(jù)的預(yù)測值與殘差值及前n/2+s1-1數(shù)據(jù)的3σ區(qū)間，重復(fù)步驟二，直至重新擬合前n/2+si數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)其后面一位數(shù)據(jù)Xn/2+Si+1對應(yīng)的殘差仍然不介于殘差數(shù)據(jù)的3σ區(qū)間時(shí)停止，并求出該部分的殘差序列ε1；

Step4 根據(jù)AIC最小準(zhǔn)則及可決系數(shù)最高來驗(yàn)證斷點(diǎn)；

Step5 把t>λ(λ=n/2+si)的數(shù)據(jù)Xt序列用ARMA模型進(jìn)行擬合，得出殘差序列ε2；

Step6 殘差序列ε由ε1與ε2序列組成，并用ARMA-GARCH模型對該部分的序列進(jìn)行建模，從而對殘差序列起到修正作用.

3 基于3σ準(zhǔn)則的分段擬合及模型修正的建模分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取

在文章中，把上證綜合指數(shù)作為研究對象進(jìn)行說明文章的思想.上證綜合指數(shù)是由上海證券交易所編制，用于體現(xiàn)上海證券市場層次豐富及行業(yè)拓展的市場結(jié)構(gòu)和變化特征，同時(shí)是國際資本市場的一個(gè)重要參考數(shù)字[9].為了驗(yàn)證3σ準(zhǔn)則用于分段擬合與ARMA-GARCH的修正模型的有效性，文中數(shù)據(jù)來源于同花順金融網(wǎng)(數(shù)據(jù)來源路徑：http://q.10jqka.com.cn/stock/zs/szzs/).利用收集到2014年6月3日到2016年4月30日的上證綜合指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，總計(jì)469個(gè)數(shù)據(jù)(記為序列X，作為訓(xùn)練集，見圖1所示).而2016年5月3日至2016年5月30日的上證綜合指數(shù)數(shù)據(jù)為樣本外檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，共20個(gè)數(shù)據(jù).利用計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析軟件Eviews6.0和RStudio軟件完成上證綜合指數(shù)的建模過程.

3.2 分段函數(shù)臨界點(diǎn)的確定(3σ準(zhǔn)則)

從圖1中，可觀察序列X前面一部分?jǐn)?shù)據(jù)與后面一部分?jǐn)?shù)據(jù)的波動情況不一致，總體上是先上升后下降，則采取分段函數(shù)的方法把數(shù)據(jù)分成兩部分進(jìn)行建模.但是，對于分段函數(shù)的臨界點(diǎn)的確定成為了文章的關(guān)鍵.

對前面50%數(shù)據(jù)(1-235)進(jìn)行指數(shù)、二次函數(shù)、線性函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)進(jìn)行擬合，結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的擬合效果最好，求出預(yù)測值，并算出前面235個(gè)樣本殘差序列的3σ區(qū)間(-411.495，413.352)，以及全部數(shù)據(jù)的殘差.由表1可知，在第一擬合時(shí)，發(fā)現(xiàn)第259號殘差的值不介于殘差序列的3σ區(qū)間，則緊接著對前面258個(gè)樣本重新擬合；從而得到前面258個(gè)樣本殘差序列的3σ區(qū)間為(-424.447，427.146)，但是第259號殘差值開始就不介于該區(qū)間內(nèi)，則擬合結(jié)束,臨界點(diǎn)為t=259.

表1 基于拉依達(dá)準(zhǔn)則檢索出異常殘差的步驟

樣本序號

把第一次擬合所得到的模型視為分段函數(shù)在t≤258時(shí)的函數(shù)，即：

X=0.0485t2-0.9812t+2078.3,t≤258,

(3)

AIC=12.76,adjR2=0.975．

利用赤池信息準(zhǔn)則(以下簡稱AIC)準(zhǔn)則以及調(diào)整后的R方進(jìn)行檢驗(yàn)，先把前235個(gè)樣本進(jìn)行擬合，得出AIC值及調(diào)整后R方值；逐漸加入樣本，并比較AIC值及調(diào)整后R方值.結(jié)果表明，當(dāng)樣本量n為258時(shí)，AIC值最小，調(diào)整后R方值最大.

3.3 對臨界點(diǎn)后的序列建立ARMA建模

1) 序列平穩(wěn)化檢驗(yàn)

在建立時(shí)間序列模型時(shí)，往往需要檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性.對Xt(t>258)序列進(jìn)行檢驗(yàn)平穩(wěn)性，結(jié)果如下表2所示.從表2中可得，序列Xt(t>258)不平穩(wěn)，經(jīng)過一階差分后，Y序列的ADF值為-13.28，其小于不同顯著性水平下的臨界值，拒絕存在單位根，即一階差分后的序列平穩(wěn)，記Yt=Xt-Xt1(t>258).

表2 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

2) 模型的識別與估計(jì)

從序列Y的Q統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的p值可知，該序列是非白噪聲序列，具有研究的意義；而自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)均呈現(xiàn)出拖尾性.經(jīng)過多次的比較模型的AIC值、可決系數(shù)的大小及P值，在顯著性水平為0.05的條件下，可以確定ARMA模型的階數(shù)，其中p=2,q=2，如下表3所示；從而可以得到模型的各個(gè)參數(shù)的估計(jì)值.

由表3的結(jié)果顯示，當(dāng)t>258時(shí)的模型為

(4)

3.4 ARMA-GARCH模型對殘差序列進(jìn)行修正

根據(jù)上述建立的分段函數(shù)模型，對上證綜合指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，得出殘差序列(記為et,t=1,2,...,348).對序列et再次檢驗(yàn)其平穩(wěn)性,對殘差序列進(jìn)行差分(記為Zt=et-et-1,t=1,2,...,348)，根據(jù)AIC準(zhǔn)則最小對差分后序列確定建立ARMA(2,2)模型，模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果見下表4所示.對模型進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)，由下表5可知F統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的P值小于顯著性水平0.05，拒絕原假設(shè)，即模型存在ARCH效應(yīng).因此，需要引入GARCH模型來做殘差序列的修正模型，以便消除ARCH效應(yīng)，再次對GARCH(1，1)模型的殘差序列進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)(見表5).

表3 ARMA(2，2)模型估計(jì)結(jié)果

從表5可知經(jīng)過均值方程配有GARCH(1，1)模型可以消除序列的ARCH效應(yīng)，最終可確定對序列Z建立ARMA(2，2)-GARCH(1，1)模型，其估計(jì)結(jié)果見下表4所示.根據(jù)下表4的估計(jì)結(jié)果，得出對殘差序列Zt的修正模型為：

(5)

方差方程中的ARCH和GARCH項(xiàng)的系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)顯著的，并且AIC和SIC值均變小，R方達(dá)到0.16.用以上ARMA(2，2)-GARCH(1，1)模型作殘差序列的修正模型，擬合效果是比較理想的，走勢基本一致，兩曲線基本是重合的(見圖2).因此引入ARMA-GARCH模型作修正模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)，有助于提高模型的精度.

3.5 預(yù)測模型的有效性比較

綜合式(3,4，5)，可得出文章的最終模型，與對上證綜合指數(shù)建立的ARMA模型做對比，并對樣本外的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見下圖3.

表4 ARMA(2，2)和ARMA(2，2)-GARMA(1，1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

模型變量系數(shù)P值P(F統(tǒng)計(jì)量)ARMA(2,2)C-0.1940.95AR(1)-1.1840.000.00AR(2)-0.8940.00MA(1)1.2090.00MA(2)0.9440.00GARCH(1,1)均值方程C-1.1900.000.00AR(1)0.2000.00AR(2)0.7390.00MA(1)-0.2740.00MA(2)0.7640.00方差方程C9.5870.068resid(-1)20.1140.00GARCH(-1)0.8960.00

表5 ARCH-LM檢驗(yàn)

樣本序號

由此可見，修正后模型的誤差值最小，其次為修正前的模型，再者為ARIMA模型.在四種模型的比較中，修正后的模型對實(shí)際收盤價(jià)的預(yù)測性能要優(yōu)于常規(guī)建立的ARIMA模型、EGARCH模型和修正前的模型；而修正前的分段函數(shù)模型的預(yù)測效果稍微比ARIMA模型要好，但是效果不是很明顯.從方法的角度出發(fā)，引入ARMA-GARCH模型對分段函數(shù)模型殘差做修正模型的預(yù)測效果有所提高；同時(shí)，用3σ準(zhǔn)則確定臨界點(diǎn)來建立的分段函數(shù)也可以提高模型的精度.四種模型所預(yù)測的二十期的預(yù)測值及其95%置信度區(qū)間如表6所示：

圖3 不同模型下的預(yù)測效果

滯后期數(shù)修正后模型置信區(qū)間修正前模型置信區(qū)間ARMA(4,1,4)置信區(qū)間EGARCH模型置信區(qū)間12965(2753,2916)2936(2771,3102)2938(2797,3079)2941(2881,3002)22966(2754,2918)2933(2695,3171)2932(2721,3142)2945(2882,3004)32965(2752,2917)2935(2649,3221)2934(2676,3193)2948(2885,3009)42938(2752,2859)2938(2614,3262)2934(2631,3238)2951(2889,3014)52937(2753,2861)2937(2574,3300)2936(2587,3285)2955(2892,3018)62933(2745,2854)2933(2532,3335)2930(2539,3322)2958(2893,3021)72935(2745,2856)2935(2502,3367)2933(2507,3359)2961(2896,3025)82938(2749,2862)2938(2480,3396)2933(2476,3391)2965(2901,3030)92937(2744,2857)2937(2451,3423)2935(2444,3426)2968(2904,3035)102934(2741,2856)2934(2419,3449)2931(2408,3454)2971(2905,3037)112934(2741,2857)2934(2394,3474)2932(2382,3483)2975(2908,3041)122917(2720,2837)2917(2376,3499)2933(2357,3509)2978(2912,3046)132917(2721,2840)2917(2354,3521)2935(2333,3537)2981(2915,3051)142934(2735,2855)2934(2326,3542)2931(2302,3560)2985(2917,3054)152934(2732,2853)2934(2304,3564)2932(2280,3585)2988(2919,3057)162932(2732,2854)2932(2289,3585)2933(2259,3607)2992(2923,3062)172933(2729,2853)2933(2271,3605)2935(2238,3632)2995(2927,3067)182935(2729,2854)2935(2247,3623)2932(2211,3652)2998(2929,3070)192934(2729,2855)2934(2226,3642)2932(2191,3673)3002(2931,3073)202936(2728,2855)2936(2212,3661)2933(2172,3693)3005(2935,3078)

4 結(jié) 論

針對文章提出的模型修正以及樣本區(qū)間確定的問題，采取了3σ準(zhǔn)則確定樣本區(qū)間的選擇，并運(yùn)用ARMA-GARCH模型對殘差進(jìn)行擬合，從而起到了模型修正的作用，有效地降低了誤差值.根據(jù)上證綜合指數(shù)的走勢以及波動情況，從觀察的視角出發(fā)，建立分段函數(shù)模型可能會比其他模型更有說服力.通過基于拉依達(dá)準(zhǔn)則對上證綜合指數(shù)建立分段函數(shù)，然后運(yùn)用ARMA-GARCH模型對殘差序列擬合，并與殘差修正前模型、ARMA模型和EGARCH模型作對比，得出以下結(jié)論：

1)對于分段函數(shù)的分段點(diǎn)的確定是十分困難的，而文中提出引入3σ準(zhǔn)則的方法恰好可以克服了這個(gè)問題，為文章后面分段擬合做鋪墊，可以提高模型的精度，同時(shí)也為投資者提供了一種較為簡單的分段函數(shù)方法.

2)分段函數(shù)的殘差序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，建立ARMA-GARCH模型可以提高模型的精度；從模型比較的角度出發(fā)，修正后的模型的擬合效果和預(yù)測效果均優(yōu)于其他三種模型.通過修正前與修正后的模型對比，結(jié)果顯示引入ARMA-GARCH模型對殘差序列進(jìn)行修正可以提高模型的精度，降低模型的誤差，該修正方法可以給廣大學(xué)者作參考.

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Piecewise Fitting based on 3σ Guidelines and its GarchRemaining Modified model

LIN Jing, TANG Guo-qiang, QIN Liang-wen

(College of science, Guilin University of technology, Guilin 541006,China)

In the financial time series, a group of financial sequence can be used as a function, in which piecewise fitting connection is made in different time periods. The Pauta criterion was exploited to determine the critical point of piecewise functions, according to AIC guidelines and coefficient of determination after adjustment to test breaking point, thus the staging point split the data into two parts. Two sequences were fitted with the appropriate function, and ARMA-GARCH model was used to amend the residual sequence. The empirical results of Shanghai composite index show that the 3 σ guidelines can retrieve critical point commendably. At the same time, the forecasting efficiency of piecewise function model is better than ARMA model and EGARCH model. Also, the precision of the model is improved by the introduction of ARMA-GARCH model. Moreover, the method is simple, easy to understand and operate, and accurate, which provides reference value for financial investors and scholars.

Application of statistical; Sub-fitting; Pauta criterion; GARCH model; Critical point

2016-05-30

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41101136)；國家社會科學(xué)基金項(xiàng)目(13CJY075)；廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(2014)

林 靜(1991—)，女，廣西北海人，碩士研究生E-mail:tanggq@glut.edu.cn

F224

A