卜 紅，南江霞

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點實驗室，廣西 桂林 541004)

三人模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心解*

卜 紅，南江霞

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點實驗室，廣西 桂林 541004)

研究了聯(lián)盟是模糊的合作博弈.利用多維線性擴展的方法定義了模糊聯(lián)盟最小核心解，并推導(dǎo)出三人模糊聯(lián)盟合作博弈最小核心的計算公式.研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈最小核心解是對清晰聯(lián)盟合作博弈最小核心解的擴展.最后給出三人模糊聯(lián)盟合作博弈的一個具體事例，證明了此方法的有效性和適用性.

運籌學(xué)；模糊聯(lián)盟最小核心解；多維線性擴展方法

1 引 言

合作博弈是博弈論重要的分支，已經(jīng)在各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.但現(xiàn)實生活中，如(李登峰(2003)，Branzei and Dimitrov et al(2005)，Bumariu and Kroupa (2009)，李登峰(2012)，LI(2012)， Branzei and Dimitrov (2008) ) 文中所提到的環(huán)境的不確定性、可支配資源的有限性等原因[1-6]，局中人常以一種參與度去參與聯(lián)盟，因此， Aubin(1974)首次提出了模糊聯(lián)盟的概念[7]，即局中人在參與合作時，參與程度可以不同，用[0,1]間的一個實數(shù)表示，由于其更符合人們的心理和實際問題，模糊聯(lián)盟合作博弈的理論和應(yīng)用引起了許多國內(nèi)外研究者的關(guān)注，成為合作博弈理論的重要組成部分和研究熱點之一.許多研究者對模糊聯(lián)盟合作博弈進行了深入的研究，如孫紅霞(2010)首先拓展了 Owen 聯(lián)盟值在經(jīng)典意義下滿足的 5 個公理，利用 Choquet 積分給出了基于聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的模糊合作博弈的 Owen 聯(lián)盟值，即模糊 Owen聯(lián)盟值的具體形式，并證明該聯(lián)盟值滿足新定義的 5 個公理[8].占家權(quán)和張強(2010) 提出一類具有特殊結(jié)構(gòu)的模糊合作博弈的資源分配方法，而且其方法可以保證所有局中人支付之和最大, 從而解決了模糊合作博弈中會形成什么樣的模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的問題[9].黃武軍等(2010)研究了擬陣約束下TU模糊合作博弈的Banzhaf-Colema值[10].Owen(1972)等引入了多維線性擴展方法，用于大規(guī)模清晰合作博弈的Shapley值計算，并利用此方法對經(jīng)典合作博弈進行拓展，提出了多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈[11].Meng(2010)等對具有多維線性擴展形式的模糊聯(lián)盟合作博弈Shapley值進行研究，證明了Shapley值的存在性和唯一性,并給出了解析表達式[12].孟凡永(2012)提出了基于多維線性擴展模糊聯(lián)盟合作博弈的Banzhaf值，討論了其性質(zhì)和公理化方法[12].綜上所述目前，該研究的重要分支就是利用多維線性擴展方法對清晰聯(lián)盟合作博弈下的支付函數(shù)進行模糊拓展，并提出基于多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈分配方案.從文獻中看基于多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈Shapley值和Banzhaf值等都有深入的研究，成果較多，但對于最小核心的研究很少.最小核心彌補了核心可能是空集的缺陷，另外三人博弈在現(xiàn)實生活中很普遍，很多聯(lián)盟都是產(chǎn)、供、銷三方聯(lián)盟，因此研究三人模糊合作博弈最小核心具有一定的理論價值和應(yīng)用價值.文中探討了基于多維線性擴展的三人模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心.利用多維線性擴展方法對經(jīng)典清晰聯(lián)盟合作博弈最小核心進行模糊拓展，定義了基于多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈的核心、強ε-核心和最小核心，并給出最小核心的一些性質(zhì).最后通過算例來說明基于多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心的有效性和實用性.

2 模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心的基本概念

，實值支付函數(shù)v(SN)表示為模糊聯(lián)盟SN合作時可期望獲取的支付，滿足v(eφ)=0.當(dāng)(SN)i只取0和1時模糊聯(lián)盟SN就退化為清晰聯(lián)盟，相應(yīng)的模糊聯(lián)盟合作博弈就退化成清晰聯(lián)盟合作博弈.

定義1.1(孟凡永等(2010)[13]) 令v∈G(N)，給定模糊聯(lián)盟SN∈L(N)，基于多維線性擴展模糊聯(lián)盟合作對策的支付函數(shù)為

-(ST)i))v0(P)，(T?N)，

則稱v是關(guān)于v0基于多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈.其中v0為清晰聯(lián)盟合作博弈的特征函數(shù)，即v0:N→R且滿足v0(φ)=0.記Gm(N)為基于多維線性擴展的模糊聯(lián)盟合作博弈的集合.

定義1.2 (汪賢裕等(2008)[14]) 設(shè)v∈Gm(N)和SN∈L(N)，v的模糊核心C(SN,v)可表示為

模糊核心是所有局中人都能接受的分配方案組成的集合，這是因為任意的模糊子聯(lián)盟中的所有局中人所獲得支付之和都不少于其聯(lián)盟所得的支付.

定義1.3 設(shè)v∈Gm(N)和SN∈L(N)，ε是一個實數(shù).非空的預(yù)轉(zhuǎn)歸集稱為他的強ε-核心，記為Cε(SN,v)：

定義1.4 設(shè)v∈Gm(N)和SN∈L(N)，ε0是使得Cε(SN,v)≠φ的最小ε，稱Cε0(SN,v)為Gm(N)的最小核心，記為LC.

根據(jù)模糊聯(lián)盟合作博弈最小核心的定義，對模糊聯(lián)盟合作博弈的最小ε-核心LC，可將經(jīng)典合作博弈的ε*的求解方式推廣到模糊聯(lián)盟合作博弈ε*的求解，即：可用下面線性規(guī)劃求解．

(1)

3 計算三人模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心

三人模糊合作博弈在現(xiàn)實生活中很普遍，很多聯(lián)盟都是產(chǎn)、供、銷三方聯(lián)盟，根據(jù)定義1.1和定義1.4，下面將給出三人模糊聯(lián)盟合作博弈最小核心的計算公式.

定理2.1 三人模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心的計算公式為：

Cε0=

Si∈SI},

min z=ε*

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

x1+x2+x3=v(SI)．

(8)

由式(2)得

(9)

由式(7)和式(8)可得

(10)

由式(5)，式(6)和式(8)可得

(11)

(12)

由式(10)和式(11)可得

求解ε*可得

(13)

由式(12)和式(13)得

同理若x2有解則求解ε*可得

(14)

(15)

同理若x3有解則求解ε*可得

(16)

(17)

同理可得

同理可求得

則最小核心為

綜合(Ⅰ)和(Ⅱ)可證.

在n人合作博弈中，最小核心總是有解的，最小核心求解出來的分配方案，滿足群體合理性條件，但不一定滿足個體合理性條件.

4 算例分析

表1 清晰聯(lián)盟合作博弈的特征函數(shù)

表2 模糊聯(lián)盟合作博弈的特征函數(shù)

利用定理2.1可求出最小核心為

三家公司合作時，公司1所得的利益分配為1.756萬元，公司2獲得利益分配在[5.576,13.576]之間，公司3獲得的利益分配在[4.756,12.576]之間.此方法可以應(yīng)用到企業(yè)聯(lián)盟利潤分配問題中，不僅有固定的的計算公式，而且也彌補了核心常常為空集的情況.說明了文中所給出的三人模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心解的合理性和實用性.

5 結(jié) 論

研究了三人模糊聯(lián)盟合作博弈的最小核心的計算方法.把經(jīng)典的合作博弈擴展到模糊聯(lián)盟合作博弈上，并提出模糊聯(lián)盟最小核心的定義，利用多維線性擴展模糊聯(lián)盟合作博弈，得出三人模糊聯(lián)盟合作博弈最小核心的計算公式.對于三個以上合作博弈的聯(lián)盟最小核心算法，由于計算比較繁瑣，有待進一步研究.此外可以進一步推廣到特征函數(shù)為模糊集的合作博弈，以及聯(lián)盟和特征函數(shù)均為模糊的合作博弈中.

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The Least Core for Three Person Ffuzzy Coalition Cooperative Game

BO Hong, NAN Jiang-xia

(School of Mathematics and Computing Science, Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation, Guilin University of Electronic Technology,Guilin, Guangxi 541004, China)

A fuzzy coalition cooperative game was studied, according to themultinear extension. The least core of three person fuzzy coalition cooperative game was defined and its' computational formulae was obtained. The research result shows that the least core of the three person fuzzy cooperative games with multilinear extension form is an extension of the least core of crisp cooperative games. The validity and applicability of the proposed method were illustrated with a real example.

operation research; the least core for fuzzy coalition cooperative game; multilinear extension

2016-05-25

國家自然科學(xué)基金(71561008，71461005)；廣西自然科學(xué)基金(2012GXNSFAA053013，2014GXNSFAA118010)

卜 紅(1990—)，女，河北邢臺人，碩士研究生，研究方向為模糊決策與對策.E-mail:1614754797@qq.com

O225

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