王彥朝

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院,四川 成都 610066)

蛛網(wǎng)模型的分析性質(zhì)*

王彥朝

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院,四川 成都 610066)

首先分析了一種只是純粹考慮了數(shù)學意義的蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定點求法，并指出其不妥之處在于沒有考慮到經(jīng)濟情況的證明問題，這樣使利用這類蛛網(wǎng)模型解決的問題缺乏有效的支撐.因此給出綜合考慮了數(shù)學和經(jīng)濟意義下的蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定點存在的證明，再應用常微分方程的特征值求法對收斂型的蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定點求法進行三種情況的分別討論，最后給出了差分方程形式下的蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定點的特征值求法并猜想蛛網(wǎng)模型是否具有MarkovProc.性質(zhì).

經(jīng)濟數(shù)學；分析性質(zhì)；蛛網(wǎng)模型；穩(wěn)定點；特征值求法

1 蛛網(wǎng)模型介紹

蛛網(wǎng)模型是自由貿(mào)易市場上的一種常見模型，由于商品的價格是由消費者的需求關系決定的，商品數(shù)量越多價格就越低，而下一時期商品的數(shù)量由生產(chǎn)者的供求關系決定，商品價格越低生產(chǎn)的數(shù)量就越少，這樣的需求和供應關系決定了市場經(jīng)濟中商品的價格和數(shù)量必然是震蕩.那么求的該供求關系下的穩(wěn)定情況就是研究該類問題的核心目的[1].

蛛網(wǎng)模型在文獻[2]中的數(shù)學表述為：若設商品的需求和供給函數(shù)分別為D=f(p),

證明 記E(p)=f(p)-g(p)為超額需求函數(shù).由

以上這段證明看起來正確，其實有個誤區(qū)：因為在差分形式下的蛛網(wǎng)模型中的變量很多是離散出現(xiàn)的，而證明中假設是連續(xù)情況，這只是符合了數(shù)學意義下的理想情況，而沒有真正考慮到經(jīng)濟中的離散事實，對于實際應用沒有任何作用.那么我們就要問了是否有考慮到了數(shù)學和經(jīng)濟兩種情況的證明呢？

2 蛛網(wǎng)模型的分析性質(zhì)

上面的蛛網(wǎng)模型只考慮到了變量連續(xù)的情況，且針對變量連續(xù)作出了相應的證明.但在實際的經(jīng)濟現(xiàn)象和經(jīng)濟模型中，我們不難發(fā)現(xiàn)多數(shù)的變量都是以不連續(xù)點的方式出現(xiàn)的，那么在這個時候，我們很明顯的可以看出上述的證明就存在一定的局限性，現(xiàn)在我們就根據(jù)離散數(shù)據(jù)的模型，考慮到數(shù)學和經(jīng)濟的雙重意義，給出蛛網(wǎng)模型的完整證明如下： 首先給出差分方程形式下的蛛網(wǎng)模型的定義. Qd:yk-y0=-a(xk-x0) ，a>0，

(1)

Qs:xk+1-x0=b(yk-y0) ，b>0．

(2)

其中k=1,2,…

從式(1)與式(2)中消去yk-y0項，得到：

xk+1-x0=-ab(xk-x0),k=1,2…

(3)

很明顯式(3)是一階常系數(shù)差分方程[3].由于k的變化，方程有如下形式：

x2-x0=-ab(x1-x0)，

x3-x0=-ab(x2-x0)，

?

xk+1-x0=-ab(xk-x0)．

對以上k個方程進行迭代得到：

xk+1-x0=-(ab)k(x1-x0)．

由于x1與x0都可以作為初值條件，所以在k→情況下，xk+1→x0的條件是：01是k→時，xk+1→的條件.我們分別稱01是不穩(wěn)定點條件，其中a與b只是系數(shù).從敘述我們不難看出以上這種由差分方程的遞歸性質(zhì)求出的穩(wěn)定點條件是符合數(shù)學和經(jīng)濟學的定義的[4].差分方程就滿足了經(jīng)濟學中離散點的情況，上述結論的數(shù)學證明可以由差分方程的性質(zhì)來證明．

證明

1)對xk+1-x0=-ab(xk-x0)，將其簡化為xk+1=g(xk)，其中g是連續(xù)可微函數(shù).由Taylor公式構造方程的線性近似：

(4)

Mε=max{|g'(x)|;|x|≤ε}．

由微積分中的原函數(shù)公式

(5)

?ε>0，使得Mε<1，給定ε.令x是Bε(0)中任意一點，使得

(6)

又由式(5)可得：

≤Mε|x|<|x|．

作迭代可得g2(x)=g[g(x)]而且有x∈Bε(0)，g(x)∈Bε(0)，即有：

又有Mε<1，當n→時，，

?x∈Bε(0).

(ii)考慮局部不穩(wěn)定情況，首先選取足夠小的ε，因此mε>1+γ(γ>0),給定這樣的ε，令x是Bε(0)中任意一點，而且x≠0(這樣的假設使得不同于(i)假設對所有n,gn(x)∈Bε(0).則有：

由此，同樣也可以看出不是每種蛛網(wǎng)模型都有穩(wěn)定點的[6]，這也在理論上證明了蛛網(wǎng)模型也有收斂和發(fā)散兩種類型，這說明證明是符合經(jīng)濟意義的[7].

對于收斂的蛛網(wǎng)模型，發(fā)現(xiàn)了參數(shù)在方程中的地位，自然希望觀察出解對參數(shù)的依賴性.首先將蛛網(wǎng)模型的一階常系數(shù)差分方程(3)改寫為矩陣方程的形式：

氣流內(nèi)循環(huán)萃取法在水中石油類測定中的應用……………………………………侯保兵，張 川，侯文晶，等（2.75）

(7)

(8)

式(8)簡化為xk+1=Axk,由于A是一個n×n矩陣，求該類方程的可以用特征方程的辦法.為方便起見，只討論二維情況，即：

在一般情況下，A不是對角陣，但可以用Schmidt正交變換[9]來將矩陣A正交對角化：

(1)若A沒有重復的特征值[10]

由xk+1=Axk得到

E-1xk+1=E-1AEE-1XK?E-1xk+1

=(E-1AE)(E-1xk).

令E-1AE=B，而且E是特征向量陣.從而有：E-1xk+1=BE-1xk.又令yk=E-1xk，由上兩式可以得到

E-1xk+1=Byk

(9)

從而很容易得到(9)式的解 xk=Eyk.由此很容易推出n維情況的通解：

對yk+1=Byk方程的解為：xk(c)=Eyk(c)=EBc，其中B=diag(λ1,λ2,…,λn),c為任意常數(shù)的列向量[11].

(2)虛特征值

對二維系統(tǒng)出現(xiàn)的虛特征值，那么一定是共軛出現(xiàn)，即有λ1=u+iv，λ2=u-iv，(其中u,v∈R)

那么由特征向量e1=d+if,e2=d-if可以得到：

x1(k)=exp (λ1t)e1,x2(k)=exp (λ2t)e2

(10)

其中式(10)可以由常微分方程求解eAt.(A為矩陣)的方法得到，這里不作證明.又利用Euler變換[12]eiθ=cos θ+isin θ，對式(10)進行變形：

x1(k)=euk(dcos (vk)-fsin (uk))+ieuk(fcos(vk)+dsin(uk)),同理得到x2(k)，將他們擴充到n維的情況，得到通解：

(3)重復特征值的情況

首先考慮該線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣有一些特征值的情況.若ε是m維的特征值，那么ε至多有m個線性無關的特征向量.如果沒有m個線性無關的特征向量，那么該系數(shù)矩陣是退化的，Schmidt正交變換的過程就不能實施，對此我們要找到其他的方法來解決這樣的問題.

3 結 論

[1] 丁占文.價格生成蛛網(wǎng)模型的非線性性非均衡性與隨機性分析[D].四川：四川大學數(shù)學學院應用數(shù)學專業(yè)，1996.

[2] 鮑遠圣,張從軍,劉玉華等.常見經(jīng)濟問題的數(shù)學解析[M].江蘇南京：東南大學出版社，2004年9月.

[3] 么海濤.蛛網(wǎng)模型的數(shù)學研究[J].北京信息科技大學學報(自然科學版),2011, 26(2):96-98.

[4] 李忠民,張世英.非線性蛛網(wǎng)模型的動態(tài)分析[J].數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究,1997(2):45-51.

[5] 王軍,楊富春.蛛網(wǎng)模型收斂的一些充要條件[J].經(jīng)濟數(shù)學,2006,23(4):364-369.

[6] 樊愛軍,王開發(fā).一類具有非線性接觸率的種群力學流行病模型分析[J].四川師范大學學報(自然科學版),2002,25(3):261-263.

[7] 王楠,馮濤.蛛網(wǎng)模型的數(shù)學解析與實際應用研究[J].大眾科技,2010(1):27-29.

[8] 黃賾琳.非線性非均衡蛛網(wǎng)模型的動態(tài)分析[J].數(shù)學的實踐與認識,2004,34(3):40-45.

[9] 韓瑞珠.線性代數(shù)與空間解析幾何教學中的一點體會[J].大學數(shù)學,2002,18(6):52-58.

[10]何歡,孫合明,左環(huán).對稱矩陣特征值反問題的最佳逼近解的一種數(shù)值解法[J].四川師范大學學報(自然科學版),2012,35(4):473-477.

[11]吳光宇.基于數(shù)學模型的蛛網(wǎng)理論解析[J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報(自然科學版),2012,33(2):223-225.

[12]吳筱寧,師東河.歐拉變換的研究[J].石家莊職業(yè)技術學院學報,2000(3):20-22.

[13]張超.時間尺度上二階對稱線性方程譜問題研究[D].山東：山東大學數(shù)學學院基礎數(shù)學專業(yè),2007.

[14]毛秀珍.基于屬性掌握概率的認知診斷模型[J].四川師范大學學報(自然科學版),2014,37(3):437-443．

[15]李光勤.蛛網(wǎng)模型中的價格穩(wěn)定性分析[J].浙江萬里學院學報,2007,20(2):17-19.

Property Analysis of the Cobweb Model

WANG Yan-zhao

(Institute of Mathematics and Software Science, SiChuan Normal University, ChengDu 610066, China)

First analysis of a simply consider the stationary point of the mathematical meaning of the cobweb model method, and points out its inadequacies is without taking into account the economic situation has proved problematic, so use this kind of cobweb model to solve the problem of the lack of effective support. Therefore gives a comprehensive account of the mathematical and economic significance of the cobweb model stability proof, again using the ordinary differential equation of the characteristic value calculating method of convergent cobweb model of stable point method for three cases were discussed, finally gives the poor points form equation under the cobweb model of stable point feature value method to calculate and guess the cobweb model is Markov proc. properties.

economic mathematics; property analysis; cobweb model; stable point;characteristic value method

2015-05-01

2015年四川師范大學“質(zhì)量工程”校級科研項目“金融數(shù)學專業(yè)實驗課程教學改革的探索”

王彥朝(1979—)，男，四川成都，實驗師，碩士E-mail:wangmike@sicnu.edu.cn

O175

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