李忠剛，陳照波，陳予恕，朱偉東，3，馬文生

（1．哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；3．美國(guó)馬里蘭大學(xué)機(jī)械工程，美國(guó)巴爾的摩縣21250；4．中航工業(yè)集團(tuán)公司沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧沈陽(yáng)110015）

非線性轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為演變機(jī)理研究

李忠剛1，2，陳照波1，陳予恕2，朱偉東2，3，馬文生4

（1．哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；3．美國(guó)馬里蘭大學(xué)機(jī)械工程，美國(guó)巴爾的摩縣21250；4．中航工業(yè)集團(tuán)公司沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧沈陽(yáng)110015）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械廣泛應(yīng)用于民用、航空、航天和航海等各個(gè)領(lǐng)域，其穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)行為是保證工程機(jī)械安全運(yùn)行的前提。本文主要針對(duì)轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為，利用非線性動(dòng)力學(xué)等理論分析了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔和1∶2亞諧共振等動(dòng)力學(xué)行為的產(chǎn)生條件和機(jī)理，進(jìn)一步給出了非線性轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)由自激振動(dòng)引發(fā)亞諧共振的動(dòng)力學(xué)行為演變機(jī)理，并通過(guò)理論分析，闡明了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的氣流阻尼和剛度等動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，同時(shí)也利用數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了分析結(jié)果。其理論分析結(jié)果對(duì)實(shí)際工程振動(dòng)分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定的理論指導(dǎo)意義。

轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)；Muszynska氣流模型；非線性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)；多尺度法；Hopf分岔；亞諧共振；自激振動(dòng)；臨界轉(zhuǎn)速

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在非線性力作用下的動(dòng)力學(xué)行為非常豐富，因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性做出了大量杰出的工作［1］。在包含非接觸式密封的高參數(shù)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中由于氣體壓力、流速和溫度等參數(shù)較高，端部密封的氣流激振力非常復(fù)雜，在實(shí)際工程中有時(shí)會(huì)嚴(yán)重影響機(jī)組的正常運(yùn)行［2］。然而對(duì)轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)中氣流激振力的實(shí)驗(yàn)研究比較困難，目前國(guó)內(nèi)外只有部分學(xué)者根據(jù)相似性等原理設(shè)計(jì)了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)并進(jìn)行了相關(guān)數(shù)據(jù)測(cè)試［3-5］。在氣流激振力模型研究方面，Alford［6］在1965年首先提出了氣流激振的力學(xué)模型——Alford模型，雖然能很好地解釋了氣流激振的基本現(xiàn)象，但Alford模型為線性模型。隨后，Rosenberg［7］提出了迷宮密封中流體的周向流動(dòng)會(huì)激發(fā)出作用于轉(zhuǎn)軸上的擾動(dòng)循環(huán)力。1986年，美國(guó)Bently公司的Muszynska［8］在大量轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)流體實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，給出了流體激振力描述模型——Muszynska模型。此模型是一個(gè)非線性模型，雖然Muszynska模型很好的揭示密封中流體激振力的作用現(xiàn)象，但是其模型中含有多個(gè)需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，限制了此模型的廣泛適用性。在動(dòng)力學(xué)分析方面，丁千等［9］應(yīng)用Muszynska流體激振力模型建立的單盤(pán)轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)，并利用中心流形定理和正規(guī)形理論研究了系統(tǒng)的Hopf分岔和自激振動(dòng)等非線性動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生機(jī)理；馬輝等［10］應(yīng)用數(shù)值計(jì)算的方法研究了轉(zhuǎn)子-軸承-密封系統(tǒng)在兩個(gè)不同載荷下存在多周期和分岔振動(dòng)等豐富的動(dòng)力學(xué)特性；何洪軍等［11］基于雙控體模型研究了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型；王煒哲等［12］研究了實(shí)際工質(zhì)氣體的密封力模型，并數(shù)值模擬了單盤(pán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。Hopf分岔理論與多尺度法等動(dòng)力學(xué)理論和方法研究非線性轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的周期解特性，并結(jié)合數(shù)值方法描述轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，闡明數(shù)值計(jì)算中的非線性動(dòng)力學(xué)特性的演變規(guī)律。

1 轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及HOPF分岔分析

首先建立Jeffcott轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示，并考慮重力和不平衡質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)子的作用，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可表示為

式中:M為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，m為氣流慣性效應(yīng)；Ke、De分別為轉(zhuǎn)軸的剛度和外阻尼；K、D為密封中氣流激振力的剛度和阻尼，K和D均為位移（x，y）的非線性函數(shù)為密封結(jié)構(gòu)經(jīng)驗(yàn)系數(shù)；λ為密封中氣流的周向平均流速比，也為位移(x，y)的非線性函數(shù)，λ=λ0(1-e)b，b為密封結(jié)構(gòu)經(jīng)驗(yàn)系數(shù)；mg為轉(zhuǎn)子自身重力；ρ為轉(zhuǎn)子平衡質(zhì)量；r為不平衡質(zhì)量半徑?？梢?jiàn)系統(tǒng)（1）為非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)行為無(wú)法用傳統(tǒng)的八參數(shù)法完全描述。

圖1 單盤(pán)轉(zhuǎn)子-密封結(jié)構(gòu)模型Fig．1 Model of the rotor-seal system

首先將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（2）可表示成狀態(tài)方程形式為

圖2 Hopf分岔前后系統(tǒng)狀態(tài)圖Fig．2 Analysis chart of system before and after Hopf bifurcation

2 轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)1∶2亞諧共振理論分析

在實(shí)際工程中，不平衡轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)會(huì)發(fā)生由氣流激振力誘發(fā)的低頻振動(dòng)，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)1∶2亞諧共振。由于低頻振動(dòng)的突發(fā)性和強(qiáng)烈振動(dòng)（幅值較高），有時(shí)會(huì)嚴(yán)重影響機(jī)組的安全運(yùn)行，因此對(duì)亞諧振動(dòng)機(jī)理的產(chǎn)生研究是非常必要的。首先，將系統(tǒng)（2）在靜平衡點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)在平衡點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)形式，再考慮剔除影響較小的高階非線性項(xiàng)，則可得非自治的轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)冪級(jí)數(shù)模型，可表示為

式中:ω1和ω2為系統(tǒng)固有頻率和為系統(tǒng)非線性力冪級(jí)數(shù)展開(kāi)形式三次截?cái)啾磉_(dá)式，Ω為系統(tǒng)外激勵(lì)頻率。

本文采用多尺度法來(lái)進(jìn)一步研究系統(tǒng)（5）的周期解析解特性。設(shè)所求一次近似解形式為

式中:Tn=εnt( n=0，1)為不同尺度的時(shí)間變量，T0為快時(shí)間變量，T1為慢時(shí)間變量。此時(shí)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

將x、x′、x″和y、y′、y″代入動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（5）中，由ε的同次冪系數(shù)可得:

若系統(tǒng)存在1∶2亞諧共振，轉(zhuǎn)子的固有頻率ω為外激勵(lì)頻率的一半，即ω=1／2( Ω+σ)，σ為調(diào)諧參數(shù)。根據(jù)方程（7），解可設(shè)為

式中:A1、A2為時(shí)間變量Tn的函數(shù)，cc為前面部分的共軛表達(dá)式為激勵(lì)幅值項(xiàng)。為消除方程（8）中產(chǎn)生的長(zhǎng)期項(xiàng)，必有:

可見(jiàn)式（10）中A1，A2的解相同，為分析方便可只分析第一個(gè)方程，將式（10）第一個(gè)方程的實(shí)部和虛部分離可得到:

其中φ=-2θ+2T0σ。由方程（9）消去相角項(xiàng)φ，系統(tǒng)（5）的分岔方程為

方程（12）非零解存在條件可以表示為

由此可知，由不平衡質(zhì)量引起的同步周期振動(dòng)會(huì)在非零解參數(shù)區(qū)域內(nèi)被誘發(fā)出現(xiàn)1∶2亞諧共振。若轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)不平衡質(zhì)量很小，氣流激振力不會(huì)誘發(fā)系統(tǒng)出現(xiàn)亞諧共振現(xiàn)象或者可能發(fā)生亞諧共振的轉(zhuǎn)速較高；但當(dāng)系統(tǒng)不平衡質(zhì)量較大時(shí)，氣流激振力極易在轉(zhuǎn)子發(fā)生同步渦動(dòng)時(shí)會(huì)誘發(fā)出亞諧振動(dòng)成分。

3 轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)演變機(jī)理及數(shù)值分析

當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時(shí)，轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)在不平衡質(zhì)量的作用下，只會(huì)發(fā)生同步運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。且在一階固有頻率下，隨著轉(zhuǎn)速的提升振動(dòng)幅值會(huì)明顯增加。隨著轉(zhuǎn)速升高，系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速ωc處會(huì)出現(xiàn)Hopf分岔，即此時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)自激振動(dòng)頻率成分，但由于自激振動(dòng)頻率和轉(zhuǎn)速頻率可能不可約化導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)擬周期運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在Poincaré截面上出現(xiàn)閉合點(diǎn)集，在頻譜上能看到兩個(gè)不可約化頻率峰值，如圖4所示。隨著轉(zhuǎn)速持續(xù)增加，系統(tǒng)的自激振動(dòng)頻率會(huì)接近系統(tǒng)固有頻率，此時(shí)兩個(gè)頻率可以約化，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng)，如圖5所示。此時(shí)頻譜圖上的兩個(gè)頻率成分比值為1∶2。當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加，系統(tǒng)出現(xiàn)由低頻振動(dòng)產(chǎn)生的極限環(huán)，頻譜圖上低頻振動(dòng)幅值較高，此時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)主要由自激振動(dòng)已發(fā)的系統(tǒng)共振導(dǎo)致，如圖6所示，同時(shí)可見(jiàn)振動(dòng)幅值有所增加，有多個(gè)頻率成分，系統(tǒng)會(huì)變得更加不穩(wěn)定。

圖3 ω=120 rad／s系統(tǒng)分析圖Fig．3 Analysis charts of system with ω=120 rad／s

圖4 ω=295 rad／s系統(tǒng)分析圖Fig．4 Analysis charts of system with ω=295 rad／s

系統(tǒng)的不平衡質(zhì)量是外激勵(lì)主要因素，其大小對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響如圖7所示。從圖中可以看出，當(dāng)外激勵(lì)幅值較大時(shí)，如圖7中Γ=0．4時(shí)所示，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生超臨界的Hopf分岔行為，即非零解與零解分別出現(xiàn)在Hopf分岔點(diǎn)的兩側(cè)；當(dāng)外激勵(lì)幅值減小后，如圖7中Γ=0．18時(shí)所示，系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf分岔行為，即非零解與零解出現(xiàn)在Hopf分岔點(diǎn)附近的同一側(cè)；當(dāng)外激勵(lì)幅值再進(jìn)一步減小后，如圖7中Γ=0．1時(shí)所示，系統(tǒng)會(huì)在分岔點(diǎn)附近發(fā)生振動(dòng)幅值跳躍的現(xiàn)象，且會(huì)存在兩個(gè)不同的振動(dòng)幅值，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)發(fā)生倍周期運(yùn)動(dòng)。外激勵(lì)幅值大小會(huì)改變系統(tǒng)發(fā)生亞諧振動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速閾值，隨著外激勵(lì)幅值的減少，發(fā)生亞諧共振的轉(zhuǎn)速會(huì)隨之增加，由式（13）也可知系統(tǒng)亞諧振動(dòng)非零解的起始點(diǎn)與外激勵(lì)幅值大小有關(guān)。綜上可知，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在進(jìn)行了較好的動(dòng)平衡后，在恒定工作轉(zhuǎn)速附近不易出現(xiàn)亞諧共振。但如果轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中發(fā)生其他動(dòng)力學(xué)參數(shù)改變可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速降低或系統(tǒng)轉(zhuǎn)速持續(xù)提高等，在動(dòng)平衡較好的轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)上一旦產(chǎn)生亞諧振動(dòng)，其振動(dòng)幅值將會(huì)增加較快，甚至?xí)l(fā)生跳躍現(xiàn)象，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。在工程實(shí)際中，汽輪機(jī)組曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò):一旦機(jī)組發(fā)生由氣流激振引起的亞諧共振，系統(tǒng)振動(dòng)幅值將會(huì)突然增大，短時(shí)間內(nèi)就導(dǎo)致系統(tǒng)嚴(yán)重的失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖5 ω=310 rad／s系統(tǒng)分析圖Fig．5 Analysis charts of system with ω=310 rad／s

圖6 ω=470 rad／s系統(tǒng)分析圖Fig．6 Analysis charts of system with ω=470 rad／s

20世紀(jì)90年代，美國(guó)Texas大學(xué)Iwatsubo等［14］開(kāi)展了大量實(shí)驗(yàn)，通過(guò)改變密封結(jié)構(gòu)增加氣流阻尼來(lái)抑制氣流激振，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常不理想。根據(jù)系統(tǒng)分岔方程（12），得到了系統(tǒng)在不同非線性剛度系數(shù)下，氣流阻尼對(duì)系統(tǒng)發(fā)生亞諧振動(dòng)位置的影響，如圖8所示。不同的氣流激振力阻尼會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生亞諧振動(dòng)的轉(zhuǎn)速不同；但是當(dāng)非線性剛度發(fā)生變化后，氣流阻尼對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分岔點(diǎn)（臨界轉(zhuǎn)速）的影響也會(huì)不同，甚至可能會(huì)出現(xiàn)相反的作用效果。如圖8所示。因此可見(jiàn)轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)中氣流阻尼對(duì)系統(tǒng)分岔點(diǎn)的影響，需要根據(jù)系統(tǒng)其他動(dòng)力學(xué)參數(shù)而確定。

圖7 外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)的影響Fig．7 Effect of the exitation amplitude on the system

圖8 氣流阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響Fig．8 Effect of the gas damping on the system

4 結(jié)論

1）本文建立了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)Hopf分岔?xiàng)l件，給出轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)發(fā)生周期解失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算公式，通過(guò)計(jì)算公式可知密封激振力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)顯著；

2）進(jìn)一步應(yīng)用非線性振動(dòng)中的多尺度方法研究轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)解析解表達(dá)式，由平均方程獲得了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)分岔方程；

3）由分岔方程獲得了系統(tǒng)非零解的判斷條件，即發(fā)生Hopf分岔和1∶2亞諧共振產(chǎn)生條件，闡明了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生機(jī)理；

4）利用數(shù)值計(jì)算方法詳細(xì)闡明了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的自激振動(dòng)與亞諧共振動(dòng)力學(xué)行為演變規(guī)律；

5）根據(jù)轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)分岔方程理論分析了氣體阻尼增加未必會(huì)增加系統(tǒng)穩(wěn)定性的原因，此理論分析結(jié)果與美國(guó)Texas大學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)論一致。

本文的分析結(jié)果對(duì)實(shí)際工程振動(dòng)分析和設(shè)計(jì)具有一定的理論指導(dǎo)意義。

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Study on the mechanism and transformation of the dynamic behavior in a nonlinear rotor-seal system

LI Zhonggang1，2，CHEN Zhaobo1，CHEN Yushu2，ZHU Weidong2，3
（1．School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China；2．School of Astronautics，Harbin Institute Technology，Harbin 150001，China；3．University of Maryland，Mechanical Engineering，Baltimore County 21250，USA；4．AVIC Shenyang Aeroengine Research Institute，Shenyang 110015，China）

Rotating machinery is widely used in civilian，aviation，aerospace，navigation，and other fields，and the stability behavior of the system dynamics is a prerequisite guaranteeing safe operation．In this paper，by using nonlinear dynamics theories，complicated transformation of the dynamic behaviors，Hopf bifurcation and 1∶2 sub-harmonic resonance，was investigated on a rotor-seal system，and the conditions and mechanism of the dynamic behavior were obtained．Furthermore，the evolution of subharmonic resonance dynamics in the nonlinear rotor-seal system caused by self-excited vibration was analyzed．Based on the theoretical analysis，it is observed that the damping and stiffness parameters of the nonlinear rotor-seal system affect its system stability dynamics．Finally，numerical calculation verifies the results from the theoretical analysis．It is significant that the results of the theoretical analysis can explain the vibration behavior of the system and guide the structural design of the system in practical engineering．

rotor-seal system；Muszynska′s gas model；nonlinear rotor dynamics；multiscale method；Hopf bifurcation；sub-harmonic resonance；self-excited vibration；critical speed

10．11990／jheu．201510041

http：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1390．u．20160928．0936．006．html

O347．6

A

1006-7043（2016）12-1704-05

李忠剛，陳照波，陳予恕，等．非線性轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為演變機(jī)理研究［J］．哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（12）:1704-1708．

2015-10-19．

2016-09-28．

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11302058；11272100）；中國(guó)博士后面上基金項(xiàng)目（2013M541360）．

李忠剛（1982-），男，助理研究員，博士．

李忠剛，E-mail:lizhonggang＠hit．edu．cn．

LI Zhonggang，CHEN Zhaobo，CHEN Yushu，et al．Study on the mechanism and transformation of the dynamic behavior in a nonlinear rotor-seal system［J］．Journal of Harbin Engineering University，2016，37（12）:1704-1708．