周 超，邢廷文

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矩形孔徑主動(dòng)自由曲面變形數(shù)據(jù)擬合

周 超，邢廷文

( 中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所，成都610209 )

折反式深紫外光刻物鏡采用反射鏡為主動(dòng)自由曲面，補(bǔ)償系統(tǒng)熱像差。一些物鏡系統(tǒng)要求反射鏡的通光孔徑為矩形。出于描述反射鏡主動(dòng)變形的目的，需要采用矩形區(qū)域正交的多項(xiàng)式擬合變形數(shù)據(jù)。高精度的擬合要求需要獲得高階的多項(xiàng)式表達(dá)式。本文根據(jù)正交多項(xiàng)式的性質(zhì)，推導(dǎo)了矩形正交多項(xiàng)式的通式并列出前36項(xiàng)多項(xiàng)式的表達(dá)式。應(yīng)用該多項(xiàng)式對(duì)主動(dòng)自由曲面的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。結(jié)果表明，變形均方根值(RMS)在2 nm~5 nm范圍內(nèi)，最小擬合殘差可達(dá)0.024 nm。根據(jù)擬合殘差面形的特點(diǎn)，可以對(duì)主動(dòng)自由曲面的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)改進(jìn)。

Zernike多項(xiàng)式；矩形孔徑；正交多項(xiàng)式；折反射式光刻物鏡

0 引 言

光刻機(jī)是大規(guī)模集成電路制造的核心設(shè)備，也是最復(fù)雜精密的光學(xué)系統(tǒng)之一[1]。掩模、鏡片甚至空氣因熱效應(yīng)引起的像差都會(huì)降低電路圖案的曝光質(zhì)量。因此，熱像差主動(dòng)補(bǔ)償是目前光刻機(jī)研制的關(guān)鍵技術(shù)之一。一種可行的技術(shù)路線是將光刻物鏡中的反射元件改造為可主動(dòng)變形的主動(dòng)自由曲面，從而實(shí)現(xiàn)多模式像差補(bǔ)償[2]。

像差補(bǔ)償原理是主動(dòng)自由曲面產(chǎn)生與波像差等量相反的變形而消除像差。在主動(dòng)補(bǔ)償過(guò)程中，像差以Zernike模式系數(shù)的形式在程序數(shù)據(jù)流中出現(xiàn)。因此要求鏡面的面形也采用模式系數(shù)表示。而折反射式深紫外光刻物鏡中，其反射鏡通光孔徑為矩形[3]。為滿足這類光刻物鏡的高精度補(bǔ)償熱像差的要求，需要一種在矩形區(qū)域正交且與光學(xué)模式匹配的多項(xiàng)式用于面形數(shù)據(jù)擬合。

早在1981年Mahajan應(yīng)用Gram-Schmitt正交化方法，基于圓Zernike多項(xiàng)式推導(dǎo)了一系列的環(huán)形區(qū)域正交多項(xiàng)式[4]。后續(xù)研究者按照該方法完成了對(duì)六邊形孔徑[5]、矩形孔徑[6-8]、方形孔徑和狹縫[9]的部分正交多項(xiàng)式推導(dǎo)。然而該方法是一種遞推的方法：在已知前項(xiàng)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)行次積分運(yùn)算方可獲得第+1項(xiàng)。多項(xiàng)式級(jí)次越高，表達(dá)式越復(fù)雜而計(jì)算量也越大。因此文獻(xiàn)[6]，[7]和[8]中分別僅計(jì)算出了多項(xiàng)式的前9項(xiàng)、前15項(xiàng)以及前21項(xiàng)。目前光刻物鏡要求對(duì)前36項(xiàng)Zernike模式像差補(bǔ)償，未來(lái)的要求是滿足前64項(xiàng)Zernike模式像差或更高的補(bǔ)償要求[10]。目前矩形孔徑高階變形表達(dá)方法是采樣點(diǎn)上正交向量替代正交多項(xiàng)式用于擬合[11]。該方法存在擬合精度受殘差干擾和擬合結(jié)果受采樣點(diǎn)影響的缺點(diǎn)。當(dāng)前的研究結(jié)果無(wú)法滿足高精度擬合鏡面面形的要求。因此，獲取矩形孔徑正交多項(xiàng)式的通式表達(dá)式有利于高階像差的表達(dá)，從而獲得對(duì)鏡面的高精度擬合。

1 光刻物鏡中的主動(dòng)自由曲面

常見(jiàn)的主動(dòng)補(bǔ)償元件，如變形鏡、主動(dòng)鏡，是圓形孔徑。本文針對(duì)光刻物鏡的應(yīng)用環(huán)境，主動(dòng)補(bǔ)償器件的通光孔徑是矩形孔徑。圖1為來(lái)自文獻(xiàn)[3]的工作波長(zhǎng)193 nm深紫外光刻物鏡。它采用折反射結(jié)構(gòu)，像方數(shù)值孔徑為1.35。第24和25光學(xué)面為反射鏡面。光刻物鏡的有效視場(chǎng)為100 mm×25 mm的矩形范圍。追跡光路兩次通過(guò)面24的位置：第1次是由物體發(fā)出的光經(jīng)過(guò)面24反射，獲得通光孔徑區(qū)域；第2次是由面25反射到像面的光經(jīng)過(guò)面24位置，獲得不可遮擋的透光區(qū)域。如圖2(a)所示，下方矩形區(qū)域?yàn)橥ü鈪^(qū)域，上方矩形區(qū)域?yàn)橥腹鈪^(qū)域。表1列出了兩區(qū)域的邊界坐標(biāo)。

圖1 深紫外光刻物鏡模型

表1 反射鏡24的通光孔徑和透光區(qū)域

從表1中列出的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出基于反射面24的主動(dòng)自由曲面孔徑為250 mm′84.4 mm的矩形區(qū)域。主動(dòng)自由曲面由排布在鏡面背后的促動(dòng)器作用實(shí)現(xiàn)鏡面的主動(dòng)變形，其結(jié)構(gòu)模型如圖2(b)所示。根據(jù)熱像差的特性，控制促動(dòng)器陣列產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的鏡面變形從而補(bǔ)償像差。

圖2 (a) 反射面24的通光(下矩形)和透光區(qū)域(上矩形)；(b) 基于反射面24的主動(dòng)自由曲面結(jié)構(gòu)模型

2 矩形孔徑正交多項(xiàng)式

主動(dòng)自由曲面的變形模式要與熱像差模式一致，變形的描述需要一組與像差對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式。光學(xué)像差與Zernike多項(xiàng)式相對(duì)應(yīng)。而Zernike多項(xiàng)式數(shù)學(xué)上是一組二維泰勒多項(xiàng)式。若矩形孔徑正交多項(xiàng)式由二維泰勒多項(xiàng)式構(gòu)成，則可與光學(xué)像差保持關(guān)聯(lián)。因直角坐標(biāo)系比極坐標(biāo)系在描述矩形區(qū)域更方便，故將矩形上正交的多項(xiàng)式記為。在圖3所示單位正方形區(qū)域{(,)|0≤≤1, 0≤≤1}中，多項(xiàng)式正交則滿足：

圖3 單位方形區(qū)域

其中a表示R()中t的系數(shù)。R()需要滿足正交關(guān)系：

將矩形正交多項(xiàng)式S(，)用R()構(gòu)成為

則S(，)必然滿足式(1)，是矩形區(qū)域正交的多項(xiàng)式。于是推導(dǎo)矩形區(qū)域正交的多項(xiàng)式的問(wèn)題歸結(jié)為求解R()的表達(dá)式。

將式(5)代入式(4)，得到R()系數(shù)方程組。由(+1)/2個(gè)方程組成：

得到的系數(shù)表達(dá)式：

將上式和式(4)帶入到式(6)，得到矩形區(qū)域的正交多項(xiàng)式表達(dá)通式：

式(9)所表示的多項(xiàng)式在圖3所示單位正方形區(qū)域上具有正交特性。通過(guò)坐標(biāo)變換可以擴(kuò)展到任意矩形區(qū)域范圍內(nèi)正交，這表明矩形區(qū)域正交多項(xiàng)式可以與經(jīng)典的圓Zernike多項(xiàng)式一樣，可由通式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得到某項(xiàng)表達(dá)式，而不需按照文獻(xiàn)[6]和[7]中的方法，從低階項(xiàng)遞推到高階項(xiàng)，也不需如文獻(xiàn)[8]和[9]中對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行數(shù)值近似求解而簡(jiǎn)化表達(dá)式，而且不同于參考文獻(xiàn)[6-9]中的多項(xiàng)式表達(dá)式隨擬合區(qū)域尺寸改變而需重新計(jì)算，本文提出的多項(xiàng)式只需簡(jiǎn)單的坐標(biāo)變換就滿足不同尺寸矩形區(qū)域。該多項(xiàng)式與圓Zernike多項(xiàng)式一樣是完備的二維泰勒多項(xiàng)式，能滿足光刻物鏡中對(duì)高階像差表達(dá)的需求。本文提出的多項(xiàng)式具有項(xiàng)數(shù)多、應(yīng)用方便和擬合精確的優(yōu)點(diǎn)。表2中列出了前36項(xiàng)矩形區(qū)域正交多項(xiàng)式的表達(dá)式。

表2 矩形區(qū)域正交多項(xiàng)式

注：

3 矩形孔徑面形數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

193 nm光刻物鏡需補(bǔ)償?shù)臒嵯癫钔ǔV值小于25 nm，RMS在2 nm~5 nm范圍。在此考慮前36階Zernike像差補(bǔ)償。用上述正交多項(xiàng)式在Matlab中擬合補(bǔ)償不同熱像差時(shí)的主動(dòng)自由曲面面形。受篇幅限制，圖4~圖6僅列出表3中前3種情形下的主動(dòng)自由曲面面形，本文36項(xiàng)多項(xiàng)式擬合結(jié)果和文獻(xiàn)[7]多項(xiàng)式擬合結(jié)果。三組圖中：圖(a)為主動(dòng)自由曲面面形，圖(b)為本文推導(dǎo)的多項(xiàng)式擬合面形結(jié)果，圖(c)為本文多項(xiàng)式擬合殘差，圖(d)為參考文獻(xiàn)[7]列出的多項(xiàng)式擬合面形結(jié)果，圖(e)為參考文獻(xiàn)[7]多項(xiàng)式擬合殘差。

表3中歸納了10組面形的擬合結(jié)果比較。本文多項(xiàng)式在多數(shù)情形下擬合殘差RMS小于0.1 nm，能夠滿足高精度的擬合面形數(shù)據(jù)的要求。情形3的擬合殘差RMS為0.32 nm，表明該結(jié)構(gòu)的主動(dòng)自由曲面對(duì)情形3熱像差的補(bǔ)償能力稍差。所有情形中本文多項(xiàng)式擬合精度都優(yōu)于文獻(xiàn)[7]所列的多項(xiàng)式擬合精度。

圖4 情形1的面形數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖5 情形2的面形數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖6 情形3的面形數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

表3 10組面形的擬合結(jié)果比較

高精度擬合鏡面面形的殘差為圖4(c)、圖5(c)以及圖6(c)顯示的斑點(diǎn)狀圖案。這是促動(dòng)器在該處推拉鏡面所產(chǎn)生的尖銳變形，表現(xiàn)為高于36階的模式面形。殘差圖指示了這些不被期望出現(xiàn)的高階變形的位置。從情形3的殘差圖6(c)可了解到，較多的高階面形出現(xiàn)在鏡面下部左右對(duì)稱的兩塊區(qū)域。在主動(dòng)自由曲面設(shè)計(jì)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)該區(qū)域促動(dòng)器數(shù)量增加和分布優(yōu)化可降低高階面形量來(lái)提高主動(dòng)自由曲面補(bǔ)償性能。但在面形擬合精度不夠高時(shí)，如殘差圖6(e)中，促動(dòng)器導(dǎo)致的尖銳變形被部分低階模式掩蓋而不能提供指導(dǎo)作用。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)光刻物鏡熱像差補(bǔ)償?shù)膽?yīng)用中的需求，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到矩形區(qū)域正交多項(xiàng)式的通式表達(dá)式并列出了前36項(xiàng)多項(xiàng)式的具體表達(dá)式。相比于其他研究者，本文的正交多項(xiàng)式表達(dá)式計(jì)算更容易、列出項(xiàng)數(shù)更多。在面對(duì)高階像差擬合的需求問(wèn)題，可通過(guò)增加正交多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)，提高對(duì)矩形孔徑面形表示的精度。運(yùn)用該多項(xiàng)式對(duì)10組不同的鏡面變形數(shù)據(jù)擬合表達(dá)，從結(jié)果看變形RMS在2 nm~5 nm范圍內(nèi)，多數(shù)情形擬合殘差小于0.1 nm，最小擬合殘差RMS可達(dá)0.032 nm。擬合結(jié)果能夠準(zhǔn)確的描述矩形鏡面的變形。而且殘差圖顯示了主動(dòng)自由曲面變形的高階變形區(qū)域，能指導(dǎo)其結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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Deformation Data Fitting of Active Free-form Surface with Rectangular Aperture

ZHOU Chao，XING Tingwen

( Institute of Optics and Electronics, Chinese Acadmy of Science, Chengdu 610209, China )

Catadioptic deep ultraviolet lithography objective took the mirror as active free-form surface to compensate thermal aberration. Mirror in compliance with the requirements of the system optical path had a rectangular aperture. For the purpose of describing the active deformation of mirror, it’s necessary for orthogonal polynomials in rectangle zone to fit the deformation data. For high accuracy of fitting surface deformation, it was needed to obtain higher order polynomial expressions. According to the properties of orthogonal polynomials, rectangular orthogonal polynomials formula was derived and the first 36 polynomial expressions were listed. And the polynomials were applied to fit the deformation data of active free-surface. The results showed that the minimum fitting residual error RMS is 0.024 nm when the deformation is 2 nm~5 nm in RMS. According to the characteristic of fitting residual map, the structure design of the active free surface could be improved.

Zernike polynomial; rectangle pupil; orthogonal polynomial; catadipotric lithography objective

1003-501X(2016)12-0104-06

O435.2；O439

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.12.017

2016-05-03；

2016-05-12

周超(1989-)，男(漢族)，湖北武漢人。博士研究生，主要研究工作是光學(xué)系統(tǒng)像差補(bǔ)償。E-mail: gxmarble@163.com。