王立

方程與不等式是初中代數(shù)的主干知識(shí)，是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).不等式與方程、函數(shù)的綜合應(yīng)用充分體現(xiàn)了相等與不等的對(duì)立與統(tǒng)一的辯證關(guān)系.此類(lèi)中考試題都是緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn)，重基礎(chǔ)，重考查最基本的數(shù)學(xué)能力.希望同學(xué)們能夠立足“基本”，輕松迎考.

一、從“直觀(guān)出發(fā)”，發(fā)現(xiàn)自然解法

例1 （2016·山東東營(yíng)）如圖，直線(xiàn)y=x+b與直線(xiàn)y=kx+6交于點(diǎn)P（3，5），則關(guān)于x的不等式x+b>kx+6的解集是 .

【解析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系.從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=x+b的值大于y=kx+6的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖像的角度看，就是確定直線(xiàn)y=x+b在直線(xiàn)y=kx+6的上方的部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

解：由圖像得到直線(xiàn)y=x+b與直線(xiàn)y=kx+6的交點(diǎn)P（3，5），在點(diǎn)P（3，5）的右側(cè)，直線(xiàn)y=x+b落在直線(xiàn)y=kx+6的上方，該部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為x>3，即不等式x+b>kx+6的解集是x>3.

【小試身手】1.將函數(shù)y=2x+b（b為常數(shù)）的圖像位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方后，所得的折線(xiàn)是函數(shù)y=[2x+b]（b為常數(shù)）的圖像.若該圖像在直線(xiàn)y=2下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x滿(mǎn)足0

二、從“基本經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)，尋找突破口

例2 （2016·浙江寧波）某商場(chǎng)銷(xiāo)售A，B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備，這兩種教學(xué)設(shè)備的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示.

該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種教學(xué)設(shè)備若干套，共需66萬(wàn)元，全部銷(xiāo)售后可獲毛利潤(rùn)9萬(wàn)元.

（1）該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備各多少套？

（2）通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，該商場(chǎng)決定在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上，減少A種設(shè)備的購(gòu)進(jìn)數(shù)量，增加B種設(shè)備的購(gòu)進(jìn)數(shù)量，已知B種設(shè)備增加的數(shù)量是A種設(shè)備減少的數(shù)量的1.5倍.若用于購(gòu)進(jìn)這兩種教學(xué)設(shè)備的總資金不超過(guò)69萬(wàn)元，問(wèn)A種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量至多減少多少套？

【解析】此題考查了一元一次不等式與二元一次方程組的應(yīng)用.注意根據(jù)題意找到等量關(guān)系是關(guān)鍵.

（1）設(shè)該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備分別為x套，y套，根據(jù)題意可列方程組，解此方程組即可；

（2）設(shè)A種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量減少a套，則B種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量增加1.5a套，根據(jù)題意可列不等式，解不等式即可求得答案.

解：（1）設(shè)該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備分別為x套，y套，

[1.5x+1.2y=66，0.15x+0.2y=9，]解得：[x=20，y=30.]

答：該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備分別為20套，30套.

（2）設(shè)A種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量減少a套，則B種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量增加1.5a套，

1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，

解得：a≤10.

答：A種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量至多減少10套.

【小試身手】2.大學(xué)生小劉回鄉(xiāng)創(chuàng)辦小微企業(yè)，初期購(gòu)得原材料若干噸，每天生產(chǎn)相同件數(shù)的某種產(chǎn)品，單件產(chǎn)品所耗費(fèi)的原材料相同.當(dāng)生產(chǎn)6天后剩余原材料36噸，當(dāng)生產(chǎn)10天后剩余原材料30噸.若剩余原材料數(shù)量小于或等于3噸，則需補(bǔ)充原材料以保證正常生產(chǎn).

（1）求初期購(gòu)得的原材料噸數(shù)與每天所耗費(fèi)的原材料噸數(shù)；

（2）若生產(chǎn)16天后，根據(jù)市場(chǎng)需求每天產(chǎn)量提高20%，則最多再生產(chǎn)多少天后必須補(bǔ)充原材料？

3.（2015·四川樂(lè)山）“六一”期間，小張購(gòu)進(jìn)100只兩種型號(hào)的文具進(jìn)行銷(xiāo)售，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)之間的關(guān)系如下表：

（1）小張如何進(jìn)貨，使進(jìn)貨款恰好為1300元？

（2）要使銷(xiāo)售文具所獲利潤(rùn)最大，且所獲利潤(rùn)不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)格的40%，請(qǐng)你幫小張?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)進(jìn)貨方案，并求出其所獲利潤(rùn)的最大值.

三、從“基本思想”出發(fā)，實(shí)施轉(zhuǎn)化

例3 （2015·廣東廣州）已知A=[x2+2x+1x2-1]

-[xx-1].

（1）化簡(jiǎn)A；

（2）當(dāng)x滿(mǎn)足不等式組[x-1≥0，x-3<0]且x為整數(shù)時(shí)，求A的值.

【解析】此題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，注意化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大而缺少必要的步驟，會(huì)失得分點(diǎn).此題還考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解問(wèn)題，要熟練掌握，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確求出不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對(duì)于解集的限制得到下一步所需要的條件，最后求得不等式組的整數(shù)解即可.

解：（1）A=[x2+2x+1x2-1]-[xx-1]

=[x+12x+1x-1]-[xx-1]

=[x+1x-1]-[xx-1]

=[1x-1].

（2）∵[x-1≥0，x-3<0，]∴[x≥1，x<3，]

∴1≤x<3，

∵x為整數(shù)，

∴x=1或x=2.

①當(dāng)x=1時(shí)，

∵x-1≠0，

∴A=[1x-1]中x≠1，

∴當(dāng)x=1時(shí)，A=[1x-1]無(wú)意義.

②當(dāng)x=2時(shí)，

A=[1x-1]=[12-1]=1.

【小試身手】4.早晨，小明步行到離家900米的學(xué)校去上學(xué)，到學(xué)校時(shí)發(fā)現(xiàn)眼鏡忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼鏡后立即按原路騎自行車(chē)返回學(xué)校.已知小明步行從學(xué)校到家所用的時(shí)間比他騎自行車(chē)從家到學(xué)校所用的時(shí)間多10分鐘，小明騎自行車(chē)速度是步行速度的3倍.

（1）求小明步行速度（單位：米/分）是多少；

（2）下午放學(xué)后，小明騎自行車(chē)回到家，然后步行去圖書(shū)館，如果小明騎自行車(chē)和步行的速度不變，小明步行從家到圖書(shū)館的時(shí)間不超過(guò)騎自行車(chē)從學(xué)校到家時(shí)間的2倍，那么小明家與圖書(shū)館之間的路程最多是多少米？

5.某地2014年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬(wàn)元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2016年在2014年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬(wàn)元.

（1）從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少？

（2）在2016年異地安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于500萬(wàn)元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶(hù)（含第1000戶(hù)）每戶(hù)每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，1000戶(hù)以后每戶(hù)每天補(bǔ)助5元，按租房400天計(jì)算，試求今年該地至少有多少戶(hù)享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)？

6.某商家預(yù)測(cè)一種應(yīng)季襯衫能暢銷(xiāo)市場(chǎng)，就用13200元購(gòu)進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商家又用28800元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但單價(jià)貴了10元.

（1）該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是多少件？

（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣(mài)出，如果兩批襯衫全部售完利潤(rùn)率不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元？

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）