蘇德杰

（廣東省廣州市二度學(xué)法研究中心）

談培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的教學(xué)研究
——以“方差”教學(xué)為例

蘇德杰

（廣東省廣州市二度學(xué)法研究中心）

結(jié)合“基于PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評視角培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的方法研究”課題研討課例“方差”的觀課、議課，圍繞初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的培養(yǎng)，探析在課堂教學(xué)不同階段的教學(xué)策略.提出基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)以明晰交流主線，營造認(rèn)知沖突以挖掘交流深度，落實(shí)研究方法并關(guān)注語言互化和學(xué)法指導(dǎo)，使數(shù)學(xué)交流更具平等性.

統(tǒng)計(jì)思想；研究方法；學(xué)法指導(dǎo)；數(shù)學(xué)交流

一、前言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對總目標(biāo)分為知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面進(jìn)行闡述.其中在“數(shù)學(xué)思考”中提出兩個目標(biāo)：一是學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式；二是在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法.這兩個目標(biāo)緊密相連，是相互交融的有機(jī)整體.獨(dú)立思考是隱性的，需要通過交流將其顯性化，以便于教師在教學(xué)中分析學(xué)情、調(diào)整策略、達(dá)成目標(biāo)，故課堂教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)交流具有現(xiàn)實(shí)意義，也是初中生必須具備的一種交流素養(yǎng).

筆者參與的課題研究中，是從信息學(xué)角度來界定數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中通過閱讀、討論、辯論、合作等方式理解、提取有效數(shù)學(xué)信息，用書面、口頭形式進(jìn)行合理推斷、表達(dá)自我數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、反思與評價(jià)自己和他人觀點(diǎn)的能力.以下結(jié)合幾個問題的思考，對研討課例“方差”進(jìn)行解讀，以觀課者的角度探析培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的相應(yīng)教學(xué)策略.

二、探析

問題1：在問題引入和理解階段，如何基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，凸顯學(xué)科思想，明晰數(shù)學(xué)交流的主線？

學(xué)習(xí)新知識時(shí)需要基于原有經(jīng)驗(yàn)，對原有經(jīng)驗(yàn)要么同化，要么順應(yīng)，這就是溫故知新.方差是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的重要特征數(shù)，它全面、平均的表示一組數(shù)據(jù)的離散程度，而學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過描述集中趨勢的特征數(shù)：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，這些都是統(tǒng)計(jì)分析中的重要的參考數(shù)據(jù).所以，在方差概念形成過程的初始階段，學(xué)生分析一組數(shù)據(jù)的方向會很自然的以上述三個特征數(shù)作為切入點(diǎn).此時(shí)學(xué)生會因選擇特征數(shù)不同而有不同的看法，教師看待這些不同看法的角度，決定了學(xué)生思考和交流的質(zhì)量，所以我們要關(guān)注概率統(tǒng)計(jì)的核心思想.概率統(tǒng)計(jì)是一種研究“不確定性”的數(shù)學(xué)分支，與傳統(tǒng)研究“確定性”的數(shù)學(xué)有較大區(qū)別，在分析一組數(shù)據(jù)趨勢做出合理決策的時(shí)候，追求的不是“對不對”，而是“合適不合適”.

授課教師設(shè)置“選派哪位運(yùn)動員去參加比賽更合適呢？”的問題，該情境貼近學(xué)生生活，可以讓學(xué)生的思考和表達(dá)發(fā)散出來，此時(shí)教師圍繞本質(zhì)，精心設(shè)置問題串，有利于問題的聚焦，由此順其自然地引發(fā)學(xué)生對研究一組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的思考.從課堂實(shí)效性來看，由于教師緊扣交流主線，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去理解問題，使得學(xué)生思考和交流的質(zhì)量比較高，凸顯了學(xué)科思想.

問題2：在問題分析階段，如何營造認(rèn)知沖突，落實(shí)研究方法，挖掘數(shù)學(xué)交流的深度？

學(xué)數(shù)學(xué)的目的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的研究方法，提升思維能力.學(xué)起于思，思源于疑，疑問源于與已有經(jīng)驗(yàn)的沖突，讓人陷入深思，引發(fā)研究.因此，課堂教學(xué)需要從數(shù)學(xué)研究方法入手，關(guān)注營造認(rèn)知沖突的好問題的設(shè)計(jì)，以激發(fā)學(xué)生思考.那么怎樣通過問題來保證思考、交流的高質(zhì)量呢？答案很明確，就是落實(shí)研究方法，挖掘數(shù)學(xué)交流的深度.

在問題分析階段，授課教師先提出問題：同學(xué)們能從表格中的兩組數(shù)據(jù)看出誰更加穩(wěn)定嗎？請比較兩組數(shù)據(jù)的差異，再用數(shù)據(jù)表達(dá)你的觀點(diǎn).這個問題啟發(fā)學(xué)生從數(shù)的角度去研究問題，發(fā)現(xiàn)不太容易分析，就有了第一次的認(rèn)知沖突.數(shù)學(xué)研究往往可以從數(shù)與形兩個方面去研究，倘若從數(shù)的角度不便于研究，那就從形的角度去研究問題：以射擊的序號為橫坐標(biāo)，對應(yīng)成績?yōu)榭v坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，借助圖形的直觀，分析這兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，再運(yùn)用數(shù)據(jù)表達(dá)自己的觀點(diǎn).教師引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步研究，正是落實(shí)數(shù)學(xué)研究方法的具體體現(xiàn).兩個問題，都強(qiáng)調(diào)“運(yùn)用數(shù)據(jù)表達(dá)你的觀念”的交流方式，這既體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)的核心思想，又有利于學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)做出合情推理，養(yǎng)成推理有依據(jù)的好習(xí)慣.如此，數(shù)學(xué)交流的質(zhì)量就有了保障.

當(dāng)呈現(xiàn)兩組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖時(shí)，教師并不急著往下講，而是讓學(xué)生觀察兩個圖形，嘗試比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.學(xué)生慢慢發(fā)現(xiàn)因?yàn)槿狈鶞?zhǔn)量而難以比較兩者的穩(wěn)定性，無形中營造了第二次認(rèn)知沖突.于是尋找基準(zhǔn)量就成為進(jìn)一步研究的方向.這是一種無聲的數(shù)學(xué)交流，是“無聲勝有聲”！由于學(xué)生對平均數(shù)的意義有了一定的理解，而且兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是一樣的，以平均數(shù)作為基準(zhǔn)量就順其自然了.

但面對如此多的數(shù)據(jù)，該怎樣開展研究呢？教師連續(xù)拋出兩個問題：一是我們可以用什么量來刻畫某次成績相對平均數(shù)的波動大?。慷屈c(diǎn)到直線a的距離是一個非負(fù)數(shù)，我們可以用什么量來表示它？這兩個問題告訴學(xué)生應(yīng)當(dāng)先研究個別情況.當(dāng)研究透徹后，又設(shè)置兩個問題：用什么量才能刻畫出一組數(shù)據(jù)相對其平均數(shù)的波動大??？數(shù)據(jù)的個數(shù)對結(jié)果有影響嗎？怎樣避免？學(xué)生在層層深入的問題引領(lǐng)下，很快揭開整體情況的神秘面紗，對問題的理解就相當(dāng)透徹了.

在這個階段中，教師通過設(shè)置問題串，不斷營造認(rèn)知沖突，在解決認(rèn)知沖突的過程中自始至終落實(shí)數(shù)學(xué)研究的方法，采取先小組討論、全班交流、教師相機(jī)點(diǎn)撥的方式，既創(chuàng)造充分的時(shí)間與空間讓學(xué)生發(fā)揮，又時(shí)刻引領(lǐng)著數(shù)學(xué)交流向縱、深方向伸展.

問題3：在問題解決階段，如何引入符號表示，學(xué)會語言互化，提升數(shù)學(xué)交流能力？

數(shù)學(xué)語言是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與交流的工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力與水平是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，往往有自然語言、圖形語言、符號語言的交替使用.自然語言就是文字語言，便于理解問題的本質(zhì)，圖形語言的表達(dá)非常直觀，符號語言則簡潔而準(zhǔn)確.三種語言各有優(yōu)點(diǎn)，故在數(shù)學(xué)交流中學(xué)會互化和靈活運(yùn)用，有利于提升數(shù)學(xué)交流能力.

在問題解決階段，授課教師先讓學(xué)生用自然語言回顧問題分析的各個步驟，從中判斷他們對方差本質(zhì)理解的程度，為下一步的語言互化做好準(zhǔn)備.當(dāng)學(xué)生回顧整理后，教師引入符號表示，通過全班交流，讓學(xué)生感悟符號語言的簡潔與準(zhǔn)確，也明白正是從個別到一般的過程，使得解決方法的應(yīng)用范圍拓寬了.有了這種感悟，學(xué)生在以后的數(shù)學(xué)交流中，就有了使用符號語言交流、進(jìn)行語言互化的意識，長此以往，數(shù)學(xué)交流能力就得到較大提升.

問題4：在歸納反思階段，如何關(guān)注學(xué)法指導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)力發(fā)展，使得數(shù)學(xué)交流更具平等性？

數(shù)學(xué)思維是隱性的，若學(xué)生不進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，就無從得知他的真實(shí)思維情況，教師就難以針對性地給予幫助.一部分學(xué)生往往不愿意交流的原因，并非是不想交流，而是學(xué)習(xí)能力不足，導(dǎo)致對問題的理解不夠全面、深入，故害怕在交流中出錯.這種理解水平的差異，不但發(fā)生在生生之間，也在師生之間存在.

為了盡量拉近學(xué)習(xí)能力的距離，促進(jìn)數(shù)學(xué)交流的平等，在歸納、反思階段，關(guān)注學(xué)法指導(dǎo)就成為一種必然選擇.

在小結(jié)時(shí)，授課教師設(shè)置“什么是方差？”“方差有什么作用？”與“計(jì)算方差的具體步驟是怎樣的？”三個問題，幫助學(xué)生明晰：在學(xué)習(xí)一個新知識時(shí)，先弄清知識的必要性，再理解知識的內(nèi)涵與外延，最后掌握運(yùn)用知識的思考順序.這樣蘊(yùn)含學(xué)法指導(dǎo)的小結(jié)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究方法的無聲自悟，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)力的發(fā)展，也使得數(shù)學(xué)交流有了更平等的可能.

三、結(jié)束語

《標(biāo)準(zhǔn)》非常重視積累“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”，筆者認(rèn)為兩點(diǎn)可達(dá)：一是要靠數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，如做一做、折一折、拼一拼、擺一擺，等等；二要靠數(shù)學(xué)交流，在表達(dá)中發(fā)現(xiàn)自己數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的不足，進(jìn)而完善.非常認(rèn)同德國教學(xué)論專家泰勒（K.Schaller）與費(fèi)舍爾（K-H.Schafer）的觀點(diǎn)：教學(xué)過程是一種交往過程.既然數(shù)學(xué)教學(xué)是一種交往過程，那必定離不開數(shù)學(xué)交流.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，提升數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)，必須關(guān)注學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，營造認(rèn)知沖突，善用三種語言，重視學(xué)法指導(dǎo).以此聚焦知識本質(zhì)，倡導(dǎo)平等交流，及時(shí)分析調(diào)整，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2017—07—12

廣東省教育科研“十二五”規(guī)劃2015年度重點(diǎn)項(xiàng)目——基于PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評視角培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的方法研究（2015ZQJK035）.

蘇德杰（1978—），男，中學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教法、學(xué)法和解題研究.