☉江蘇省溧陽市溧陽中學 楊珍輝

教學要注重思想方法的整合
——以函數(shù)思想為例

☉江蘇省溧陽市溧陽中學 楊珍輝

中學數(shù)學的學習離不開解題，學生的數(shù)學能力和素養(yǎng)都是通過不斷解題獲得提升和增加的.在這一學習過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)學生的學習更多是停留在問題的解決上，大多數(shù)學生是不會思考問題為什么這樣解，這樣的解決方式是通性通法還是誤打誤撞？浙江大學金蒙偉教授這樣評價中學數(shù)學教學：現(xiàn)在的教學總欠缺點兒一針見血的味道，在那里繞來繞去，教師把最核心的知識點和思想講透就輕松解決了，這說明我們教學還沒有能夠做到很好的梳理.

筆者可以這樣理解教授的話：從高等數(shù)學的觀點來說，中學數(shù)學是為其打下扎實的基礎(chǔ)，主要是在運算能力和思維發(fā)散方面，而不是在技巧和技能上要求過高，縱觀模擬卷和高考真卷，最大的不同在于模擬卷往往在技巧上的要求高之又高，而高考真題卻是樸實無華.這反映了我們的教學不能再拘泥于技能和技巧，要從知識的本質(zhì)和思想的深度上做出合適的調(diào)整，這樣的教學是有啟發(fā)的、有思維的、有導向的，這樣的教學是符合課程標準理念的，是對學生的將來發(fā)展負責.本文以函數(shù)思想在中學數(shù)學教學中的運用為切入點，結(jié)合案例談一談教學中思想方法的滲透.

一、教學亟需注重整合

眾所周知，當下的中學數(shù)學教學主要是依賴這樣的套路：其一，用快速的節(jié)奏將必須的教材上完，因為進度快導致不少學生難以跟上知識的進展，大多數(shù)學生在學習中處于一種“半成熟”狀態(tài)，更讓筆者困惑的是：現(xiàn)在不少教師的一般教學過程變得更為簡單，新課更多的講題型、講解題技巧，復習課用各種教輔資料進行反復訓練；其二，用高三一整年的時間進行反復訓練，達到基本知識熟練的目的，但是對于難題教學并沒有仔細的思考和有效的校本化整合，屬于重復勞動過度，有效開發(fā)整合太少.正是基于這兩方面的因素，學生學習非常勞累，獲得效果也比較低微.筆者認為要使得教學，特別是復習教學更為高效，需要橫向縱向?qū)χR進行開發(fā)，將教學資源進行有效整合，這是提高效率最好的辦法.筆者以數(shù)學思想一課為例進行校本化整合，首先關(guān)注選材：

選材：（1）方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有兩不等實根，求a的取值范圍.

（2）對于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）sinα+2a-5＜0恒成立，求a的取值范圍.

（3）等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n.

意圖：筆者在一次數(shù)學思想方法教學過程中，以函數(shù)思想為例進行了課程校本化設(shè)計，即做到了針對學情的有效開發(fā)，更是通過不同問題的展示，將函數(shù)思想方法融入到教學中，提升學生對于問題的理解和深思.筆者選擇的三個基本問題涉及方程問題、不等式問題、數(shù)列問題.這些問題在基本處理方式上都有各自獨立的基本處理方式，筆者選擇這些問題的目的，是引導學生思考如何在中學數(shù)學最為核心的知識架構(gòu)上解決問題，這才是中學數(shù)學學習的最需要向?qū)W生滲透的知識本質(zhì)——函數(shù).

二、方程問題中的函數(shù)思想

方程與函數(shù)本身就是一個整體，但是不少學生總是在這里缺乏足夠的聯(lián)系思考，方程問題一味的方程解決，不善于利用函數(shù)思想去思考、辯解，導致問題解決效率低下.如方程根與系數(shù)關(guān)系中不少類似的問題用方程角度是非常煩瑣的，比如x2+mx-2m+1=0的兩根分別分布在區(qū)間（-1，0）和（1，2）內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.用函數(shù)思想就比較輕松的建立這種聯(lián)系，獲得了高效的解決.讓我們回頭思考選材中的第一個問題：方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有兩不等實根，求a的取值范圍.

分析：站在系統(tǒng)的高度，首先跟學生一起思考問題解決的方向為什么是函數(shù)思想的介入，如何讓函數(shù)思想介入成為解決問題的主流和必然.不妨分解問題來看：第一步，顯然是換元思想的介入，關(guān)于x的方程可用換元的思想，設(shè)log4x=t，則方程就等價于t2+at+4-2a=0在t∈［2，+∞）上有不同兩解；第二步，根與系數(shù)的關(guān)系利用函數(shù)模型解決成為一種常態(tài)，所以等價于函數(shù)f（t）=t2+at+4-2a有兩個大于等于2的零點，則需滿足解得

不難發(fā)現(xiàn)，這里函數(shù)思想的滲透是一種必然趨勢，這是因為換元之后的問題是方程問題，而方程是函數(shù)的特殊情形，因此用函數(shù)思想解決本問題是水到渠成的事.

三、不等式問題中的函數(shù)思想

不等式與函數(shù)也是緊密聯(lián)系的，從初中學習的一元二次方程、一元二次不等式以及二次函數(shù)之間緊密的聯(lián)系可知，不等式問題的解決中全面滲透著函數(shù)思想，將不等式問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題是解決問題的常用方法.以上述設(shè)計問題為例：對于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）sinα+2a-5＜0恒成立，求a的取值范圍.

分析：要解決本題，首先思考的正是換元角度的介入，設(shè)cosα=x，α∈［-π，π］，則x∈［-1，1］，原題就等價于對于任意x∈［-1，1］，不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，求a的取值范圍.這一步是學生基本能想到的.接下去的問題涉及二次不等式恒成立問題的處理，請學生思考如何處理二次不等式.教師引導學生轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或者變參分離為a＞f（x）max或a＜f（x）min解題.

解法1：（利用函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化為最值求解）可令函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a，題意等價于f（x）min＞0，x∈［-1，1］，函數(shù)

綜上得a＜1.

解法2：（利用二次函數(shù)圖像特點及二次方程根的分布）函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a=（x-2）（x+a-2）的兩根為2和2-a，因為二次函數(shù)開口向上，所以只需f（x）＜0的解集與［-1，1］的交集為空集即可，則x2=2-a＞1，即a＜1.

解法3：（參變分離）x2+（a-4）x+4-2a＞0?a（2-x）＜x2-4x+4，因為x∈［-1，1］，則2-x＞0，則解決該函數(shù)最小值），易得2-x的最小值為1，所以a＜1.

不難發(fā)現(xiàn)，該不等式恒成立問題的處理是比較常見的轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)問題，從問題的解決來看，筆者將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，這是函數(shù)思想貫穿于知識始終的體現(xiàn)，不同的是三種解決方式體現(xiàn)了函數(shù)思想介入后不同函數(shù)模型的使用，用解法1的二次函數(shù)模型是常態(tài)，但是需要分類討論思想幫助；解法2利用了函數(shù)的零點，其難度在于學生自身是否善于觀察；解法3是隨著函數(shù)思想的深入，最受學生歡迎的參變分離方式，該方式研究的函數(shù)是確定的，因此最值的求解自然也就簡單多了.在不等式中滲透函數(shù)思想，成為函數(shù)思想方法教學中較為主導的方向.

四、數(shù)列問題中的函數(shù)思想

數(shù)列的本質(zhì)恰恰是函數(shù)，因此數(shù)列問題往往可以從函數(shù)角度切入，而且函數(shù)思想的運用大大簡化了數(shù)列運算的量，從而獲得了較為簡單的計算方式.以上述選擇的問題為例：等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n.

分析：本題對于一般學生而言，基本量的運算思路是不言而喻的，但是學生往往難以算到最后的狀態(tài)，究其原因是基本量a1和d的計算稍顯煩瑣，導致了不少學生無法理清之間的關(guān)系，從函數(shù)思想的角度來說，等差數(shù)列求和公式的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù)模型，有了這一層面的深刻理解，函數(shù)思想解決本問題也是自然而然的事.等差數(shù)列求和公式，即用二次函數(shù)的觀點來看待.利用函數(shù)思想，理解等差數(shù)列前n項和Sn滿足的關(guān)系，從函數(shù)的角度而言，是必過（0，0）點的二次函數(shù)，借此突破高效省事.設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則

還有諸如等比數(shù)列的函數(shù)模型是與指數(shù)函數(shù)休戚相關(guān)，即Sn=A+B·qn且A+B=0，還有諸如an+1=pan+f（n）中構(gòu)造必需根據(jù)函數(shù)f（n）模型來確定等，這些扎實的基本知識鑄造了函數(shù)思想的形成，有助于學生在后續(xù)問題解決過程中獲得更好的體驗，從而形成知識和思想方法的統(tǒng)一.

總之函數(shù)是中學數(shù)學最重要的知識板塊，函數(shù)思想是思想方法中最根本的思想方法，因此在教學中切勿泛泛而談，要以有選擇的試題類型進行思想方法的教學，將不同問題進行有效的組合，讓學生體會這種思想方法的滲透成為新一輪教學校本化研究的導向.

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