☉廣東省惠州市第一中學高中部 李曉波

☉廣東省惠州市第一中學高中部 李海媚

2017年全國新課標Ⅰ卷理科21題典型錯誤分析與教學建議*

☉廣東省惠州市第一中學高中部 李曉波

☉廣東省惠州市第一中學高中部 李海媚

2017年的高考已落下帷幕，今年的全國新課標Ⅰ卷理科21題普遍反映試題較往年簡單，但在閱卷中筆者發(fā)現(xiàn)考生問題頻出，平均分很低（不到1分）.為了把學生的“錯題資源”變?yōu)橛行У摹敖虒W資源”，變“誤”為“寶”，下面將呈現(xiàn)考生在解答本題時出現(xiàn)的一些典型錯誤，并剖析失誤的原因，以及對今后教學的建議，與同仁分享.

一、試題及試題出處

題目 （2017年全國新課標Ⅰ卷理科21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

二、學生答題典型失誤呈現(xiàn)

我們先來看本題第一問解答中考生出現(xiàn)的典型錯誤.我們往往有種慣性思維，認為第一問應該是所謂的“送分題”，事實上，第一問出現(xiàn)的錯誤最多，而且一旦第一問出錯，將很大程度影響第二問的解答.

1.第一問求導錯誤

（1）f′（x）=ae2x+（a-2）ex-1；（2）f′（x）=2axe2x-1+（a-2）·ex-1；（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex；（4）f′（x）=2aex+（a-2）ex-1；（5）f′（x）=2ae2x-（a-2）ex-1；（6）f′（x）=2aex+（a+2）ex-1.

剖析：第（1）種錯誤最多，主要是學生不知道要用復合函數(shù)的求導法則；第（2）種錯誤是把ae2x當成了冪函數(shù)來求導；第（3）（4）（5）（6）種錯誤主要是抄漏數(shù)字或抄錯符號，都是學生的筆誤.以上情況總的來說都屬于計算能力不足的問題.

2.第一問不會因式分解或因式分解錯誤

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=2at2+（a-2）t-1=（at+1）（2t-1）.

剖析：因式分解錯誤，主要是因為十字相乘的時候符號弄反.

3.第一問討論單調(diào)性的分類錯誤或分類不全

（1）分a＜2，a=2，a＞2三類討論；

（2）分a＜0，a＞0討論，漏了a=0；

（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（3a-2）ex-1分三類討論.

剖析：第（1）種分類學生主要受到了（a-2）ex的影響；第（2）種分類主要漏了a=0，不全面，缺乏數(shù)學思維的嚴謹性；第（3）種錯誤是因為計算錯誤，學生以為可以把ex與e2x合并在一起，結(jié)果也導致了分類的錯誤.

4.第一問利用換元法令t=ex，沒有注意t＞0，最后沒有把g（t）還原為f（x）

學生有換元的意識，但容易忽略換元后必須先討論新元t的取值范圍，其實這也是一個嚴謹性的問題.

5.第二問中對函數(shù)存在零點的問題本質(zhì)理解不到位

剖析：學生認為先減后增的函數(shù)，只需要保證極小值小于0，就可以保證函數(shù)有兩個零點（類似于二次函數(shù)），對函數(shù)存在零點的問題本質(zhì)理解不到位，同時也缺乏數(shù)學嚴謹性.

6.不會利用函數(shù)的思想處理不等式的問題

剖析：學生不會利用函數(shù)的思想處理不等式的問題，事實上，只要重新構造一個新函數(shù)，對新函數(shù)求導分析函數(shù)的單調(diào)性即可求出參數(shù)的范圍.

7.對于較為復雜的函數(shù)的導數(shù)的計算及化簡能力不強

剖析：對于較為復雜的函數(shù)的導數(shù)的計算及化簡能力不強.

8.不善于利用極限思想

在開展微課設計時，不僅要從具體的內(nèi)容上來進行研究，同時也要控制好微課的時間，加深學生對知識的理解。所以在教學中要保證微課時間上的有效性，通過對知識進行提煉，在綜合學生實際情況的同時來保證微課內(nèi)容的準確性，實現(xiàn)對時間的合理控制，保證微課的有效性，為下一階段教育活動的開展奠定基礎。如在閱讀教學中就可以從培養(yǎng)學生寫作能力上出發(fā)，利用簡短的微課來激發(fā)出學生的學習興趣，幫助學生掌握好寫作方法，提高學習的效果。

剖析：學生很容易錯誤地認為先增后減的函數(shù)都像開口向下的二次函數(shù)一樣最后減到負無窮，事實上借助“洛必達法則”可輕松解決.

三、教學建議

1.計算能力

對于數(shù)學計算的問題，我們往往有一個誤區(qū)，認為小學生才需要培養(yǎng)數(shù)學計算的能力，而高中生需要掌握的是宏觀思考的能力，不再需要培養(yǎng)數(shù)學計算的能力.其實這是有失偏頗的，數(shù)學計算是數(shù)學知識的基礎，只要學生學習數(shù)學知識，就必須強化數(shù)學計算的能力，尤其在全國卷的背景下，計算難度加大，一旦學生出現(xiàn)計算出錯，后面的所有過程可能都是錯的或者根本無法進行下去.

教師在平時的教學中，要多引導學生掌握一些常用的數(shù)學運算的技巧、方法和規(guī)則，可以精選一些計算量相對懸殊較大的題目，用充裕的時間去想去做，并結(jié)合這些實際題目適時靈活地運用概念、恰當?shù)剡x擇公式、合理地使用數(shù)學思想方法.從而達到簡化計算、提高計算速度的目的.

2.練好基本功

函數(shù)的題目時常簡明而清新，但要求學生有較好的函數(shù)基本功，學生應深刻掌握函數(shù)的基本概念、性質(zhì)，熟悉一些典型題的基本方法，比如函數(shù)單調(diào)性的求法，含參問題的分類討論方法，零點問題的處理策略有哪一些等.

3.培養(yǎng)學生數(shù)學思維的嚴謹性

所謂數(shù)學的嚴謹性，就是指對數(shù)學結(jié)論的敘述必須精確，結(jié)論的論證必須嚴格、周密，整個數(shù)學內(nèi)容被組織成一個嚴謹?shù)倪壿嬒到y(tǒng).［1］

數(shù)學教師應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學嚴謹性思維，滲透到平時教學的每一個細節(jié)中，教師不僅要注重于學生的答案，更要關注學生的解答過程，是否能做到“言之有理，得之有故”.學生平時解題的不嚴謹，其實也就反映了思考過程的不嚴謹，長此以往就會造成高考中失誤，因此我們一定要讓學生在平時解答過程的每一步都做到有理才答的習慣，把可能的疑問和不確定性在平時就一個個攻克掉，讓數(shù)學解題中的每一步驟都有據(jù)可查.

4.培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維

發(fā)散性思維是指從同一問題中產(chǎn)生出各種各樣的眾多的問題，并在處理這些問題中尋找多種的正確途徑的一種思維模式.［2］

在傳統(tǒng)的教學中，為了提高做題的效率，我們可能經(jīng)常強調(diào)讓學生掌握最簡單、最常用的一些方法，同時通過大量題目，利用題海戰(zhàn)術來鞏固這些所謂的最佳解題思路、解題方法，長此以往，學生就會把思維固定在一個模式上，而不會想著從其他的角度去解決問題，使得思維形成了一個定式，這種情況對于學生的發(fā)散性思維是非常不利的.因此，作為一名數(shù)學教師，我們一定要改變過去傳統(tǒng)的教學思路、解題方法，敢于打破常規(guī)，努力在數(shù)學教學過程中培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.我們要講究方法，在探究中培養(yǎng)，在質(zhì)疑中培養(yǎng)，在開放中培養(yǎng)，在求異中培養(yǎng)，在練習中培養(yǎng)，一旦學生形成了較強的發(fā)散性思維能力，不僅僅有利于搞好數(shù)學學科的學習，對于其他知識的學習也是一個非常有利的工具，這樣就為我們成為具有綜合素質(zhì)的人才打下了良好的基礎.

5.尖子生需學會洛必達法則的簡單應用

高考是選拔考試，數(shù)學的區(qū)分度高，有利于高校選拔具有學習潛能的人才.近年來高考試卷中的壓軸題常是導數(shù)應用問題，其中有關函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍就是重點考查的一類題型，此類問題使用“洛必達法則”去處理是巧妙而有效的.同時，初等數(shù)學教學中，向?qū)W生滲透極限等高等數(shù)學思想，對以后學好高等數(shù)學具有很大的實際意義.而在極限的理論中，“洛必達法則”發(fā)揮著重要的作用.［3］

1.沈海瀾.從一案例談高中數(shù)學嚴謹性思維的培養(yǎng)［J］.中學數(shù)學研究，2012（5）.

2.余振賢.也談數(shù)學教學中發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)［J］.成才之路，2010（5）.

3.李曉波.結(jié)合“洛必達法則”巧解2016年全國新課標Ⅰ卷壓軸題［J］.中學數(shù)學雜志，2016（7）.F

*本文系廣東省教育科學“十三五”課題“運用‘問題串’開展高中數(shù)學教學的實踐研究”（課題批準號：2017YQJK134）的研究成果.