劉曉丹 陳少毅

（1.福建省福安市城北中學(xué)，福建福安 355000；2.福建省寧德市教師進(jìn)修學(xué)院，福建寧德 352100）

下面我以人教版《角的平分線的性質(zhì)》的教學(xué)為例，談?wù)勎覍?duì)幾何命題教學(xué)的一些體會(huì)。

1 人教版《角的平分線的性質(zhì)》教學(xué)安排與反思

1.1 人教版《角的平分線的性質(zhì)》教學(xué)安排

（1）探究角平分儀的原理。

思考：如圖1是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD,B C=B D,將A點(diǎn)放角的頂點(diǎn)，A B和A D沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,則AE就是∠BAD的平分線，你能說明它的道理嗎？

（2）提煉尺規(guī)作角平分線的畫法。

（3）探究角平分線的性質(zhì)。

如圖2，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E。測(cè)量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？再在OC上取幾個(gè)點(diǎn)試試。

通過以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角平分線的什么性質(zhì)?

（4）證明定理，歸納提升。

將文字命題轉(zhuǎn)化為符號(hào)命題并證明，再總結(jié)文字命題證明的一般步驟。

1.2 基于教材安排的教學(xué)反思

圖1 平分角儀器

圖2 角∠AOB

作為人教版初中數(shù)學(xué)教材幾何命題完整證明的起始課，《角的平分線的性質(zhì)》安排在八年級(jí)上冊(cè)《全等三角形》中，其教學(xué)目標(biāo)是能用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，探索并證明角平分線的性質(zhì)定理。為了完成教學(xué)目標(biāo)，教材從測(cè)角儀入手，通過問題激發(fā)學(xué)生的探索新知的興趣，再創(chuàng)設(shè)情境組織開展探究性活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐和理性思辨中總結(jié)尺規(guī)作角平分線的方法與角平分線的性質(zhì)，符合新課程下命題教學(xué)的基本要求。尤其是在定理探索環(huán)節(jié)，教材能充分讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐→猜想→歸納→驗(yàn)證→證明的過程，有利于引導(dǎo)學(xué)生將直觀體驗(yàn)上升到理性思維，活動(dòng)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，較好地完成了教學(xué)目標(biāo)。但值得探討的是，本課中的兩項(xiàng)主要探究活動(dòng)，都是在教師安排下的學(xué)生“驗(yàn)證性活動(dòng)”，其結(jié)論并非真正由學(xué)生在探究活動(dòng)中產(chǎn)生。如角平分線作法的提煉只是所給“平分角的儀器”條件的直接轉(zhuǎn)化，沒有太多的思維含量；又如角平分線的性質(zhì)的探究，教師直接引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離，這種過于明顯的提示，局限了學(xué)生思維方向，不利于創(chuàng)新意識(shí)的形成[1]。

圖3 ∠AOB

人教社章建躍先生提倡要讓學(xué)生經(jīng)歷邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，我想角平分線作法與性質(zhì)的提煉，也應(yīng)是邏輯連貫的探究活動(dòng)，自然生成的方法與性質(zhì)總結(jié)。如何上好這節(jié)命題教學(xué)起始課呢？我認(rèn)為應(yīng)關(guān)注以下三個(gè)問題：

（1）對(duì)于初中幾何命題教學(xué)的定位，課標(biāo)的要求是“探索并證明”。即讓學(xué)生獨(dú)立或與他人合作參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、歸納、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)現(xiàn)并歸納幾何圖形的性質(zhì)，或提出解決幾何問題的思路。在此基礎(chǔ)上，再利用已有的幾何知識(shí)加以證明，使感性認(rèn)識(shí)得到理性的升華。如何通過角平分線定理的教學(xué)，形成一種幾何命題教與學(xué)的范式，為今后教學(xué)線段垂直平分線、特殊四邊形性質(zhì)等做好教法上的引領(lǐng)，值得我們?cè)谠O(shè)計(jì)教學(xué)的過程中加以研究。

（2）幾何探究活動(dòng)中的問題，應(yīng)在學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置，并適度控制思維的容量，以激發(fā)學(xué)生的探究欲望。對(duì)于角平分線作法的探究，學(xué)生已有“角平分線概念”、“三角形全等性質(zhì)”等知識(shí)基礎(chǔ)，并積累了用尺規(guī)作角與線段的操作經(jīng)驗(yàn)，如果只是簡(jiǎn)單地模仿“平分角的儀器”提煉作法，既沒有太大的探究?jī)r(jià)值，也無益于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。如何引導(dǎo)學(xué)生自我構(gòu)建全等三角形，尋找作圖方案，但又不導(dǎo)致無從入手，望題生畏，應(yīng)是教師在備課中考慮的重點(diǎn)。

（3）幾何探究活動(dòng)應(yīng)是基于學(xué)生原有認(rèn)知上的自然生長(zhǎng)，而不是建立在教師“先知先見”基礎(chǔ)上的著意安排。角平分線定理的探究，其難點(diǎn)不是定理本身的證明，也不在于從特殊到一般的驗(yàn)證與歸納，而是對(duì)為什么選擇研究“平分線上的點(diǎn)到兩邊距離”的疑惑。教學(xué)中如何幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)垂線段的意義，對(duì)后續(xù)學(xué)生能自覺利用定理解決問題起著至關(guān)重要的作用。

2 《角的平分線的性質(zhì)》教學(xué)的再設(shè)計(jì)

基于上述對(duì)教材的角平分線作圖與定理的教學(xué)的反思，我重新設(shè)計(jì)了《角的平分線的性質(zhì)》教學(xué)過程。新的教學(xué)設(shè)計(jì)試圖達(dá)到以下目的：（1）形成一種尺規(guī)作圖教學(xué)模式，讓學(xué)生從原理出發(fā)探求作圖的方法與步驟；（2）整合兩個(gè)探究活動(dòng)之間的關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)尺規(guī)做角平分線在角平分線定理探究中的鋪墊、啟發(fā)作用；（3）指導(dǎo)學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)角平分線上的點(diǎn)到兩邊垂線段的作用與性質(zhì)[2]。

在上述觀察視角下，新設(shè)計(jì)的教學(xué)過程分為復(fù)習(xí)引入、拋出問題，設(shè)計(jì)方案、總結(jié)畫法，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證定理，鞏固新知、拓展提升四個(gè)環(huán)節(jié)。

2.1 復(fù)習(xí)引入、拋出問題

提問：

（1）什么是角的平分線？若OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)用符號(hào)表示各角之間的關(guān)系？

（2）怎樣得到一個(gè)角的平分線？如果只用直尺和圓規(guī)，你能畫出它的平分線嗎？

2.2 設(shè)計(jì)方案、總結(jié)畫法

（1）探究平分角的方案。

探究問題：已知：∠A OB，求作：∠A OB的平分線OC。

師生逐步分析設(shè)計(jì)平分∠A OB的方案。

①用直尺和圓規(guī)作圖，分別可作哪些圖形？直尺作直線、射線與線段，圓規(guī)截取線段的長(zhǎng)②作∠AOB的平分線OC，實(shí)際就是要轉(zhuǎn)化成求什么問題？

將∠A O B化成兩個(gè)相等的角

③要得到兩個(gè)角相等，根據(jù)前面所學(xué)知識(shí)，應(yīng)如何解決？

轉(zhuǎn)化成構(gòu)造全等三角形，根據(jù)學(xué)生回答畫出草圖，如圖3。

④結(jié)合圓規(guī)的作圖功能，說說要得到△OPD≌△OPE，需要添加哪些條件?

作OD=OE，DP=PE

（2）提煉尺規(guī)作角平分線的畫法。

（3）根據(jù)上面分析，小組討論以下問題：

①如何把上面的條件OD=OE，DP=EP，用尺規(guī)依次畫出？

②最后如何得到∠A OB的平分線OC？

③說明射線OC是∠A O B平分線的理由。

（4）歸納總結(jié)，形成技能。

①用多媒體顯示角平分線的作法；

②請(qǐng)學(xué)生在各自的練習(xí)本上作出∠A O B的平分線OC。

③教師總結(jié)：解決尺規(guī)作圖問題，可以先根據(jù)作圖目標(biāo)畫出草圖，利用所學(xué)的知識(shí)探求作圖原理，再根據(jù)尺規(guī)的功能確定所需條件與求法。

④總結(jié)已經(jīng)學(xué)過的基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線。

2.3 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證定理

（1）小組合作探究角平分線的性質(zhì)（逐步推進(jìn)）：

①由作圖我們發(fā)現(xiàn)：若OD=OE，DP=EP，則有OP平分∠AOB；反之，若P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，則OD=OE，DP=EP成立嗎？若不成立，是否可改變條件與結(jié)論使新命題成立？

通過探究發(fā)現(xiàn)：

命題1“若P是∠A O B平分線O C上一點(diǎn)，且OD=OE，則PD=PE”成立；

命題2“若P是∠A O B平分線O C上一點(diǎn)，且PD=PE，則OD=OE”不一定成立；

②繼續(xù)探究：是否存在某一特定位置的點(diǎn)D、E，使命題1、命題2同時(shí)成立？

探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)PD⊥OA，PE⊥OB時(shí)，點(diǎn)D，E唯一存在，此時(shí)上述命題1、命題2同時(shí)成立。

（2）總結(jié)性質(zhì)，畫板驗(yàn)證。

①上面探究中，點(diǎn)D的位置可以如何確定，你能簡(jiǎn)潔地表述垂線段PD與PE嗎？

②師生共同歸納：角平分線上的點(diǎn)，到角的兩邊的距離相等。

③用幾何畫板驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)在射線OC上任意拖動(dòng)點(diǎn)P，都有PD與PE的長(zhǎng)度相等。

（3）證明定理，感受理性（略）。

2.4 鞏固新知、拓展提升（略）

新教學(xué)設(shè)計(jì)把尺規(guī)作圖與定理探究作為一個(gè)整體進(jìn)行設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)到定理產(chǎn)生是角平分線作圖探究的自然延續(xù)，而非教科書的刻意安排；而角平分線作圖探索，也定位在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上的自我構(gòu)建[3]，初步解決了案例1中的兩個(gè)問題。教學(xué)中，學(xué)生在教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)，作角平分線就必須構(gòu)建全等三角形，進(jìn)而由尺規(guī)功能得出并提煉作圖步驟，經(jīng)歷了啟發(fā)性鋪墊（觀察、操作）,可理解性解釋（歸納、驗(yàn)證），合理性證明（推理證明）的探究過程。雖然教學(xué)存在明顯的思維導(dǎo)引，但考慮到學(xué)生第一次涉及作圖方案設(shè)計(jì)，教師對(duì)探究方向給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)還是必要的。同時(shí)教師指導(dǎo)下的作圖分析與方法總結(jié)，也為今后學(xué)生自我解決尺規(guī)作圖問題提供了較好范例。作圖基礎(chǔ)上的逆向探究，是作圖方案合理性證明后的變式研究，它巧妙地把學(xué)生研究重心引向角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離，不僅讓學(xué)生感覺角平分線定理的產(chǎn)生是一種自然生成，是前面尺規(guī)作角平分線的邏輯延續(xù)，同時(shí)也有利于理解“點(diǎn)到兩邊的距離”的具體所指，有利于糾正常見錯(cuò)誤“把到兩邊的距離誤認(rèn)為是垂直于角平分線的垂線段”[4]。

3 幾何命題教學(xué)的幾點(diǎn)建議

（1）教學(xué)程序。一個(gè)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得與探究過程，一般包含了合情推理與演繹論證這兩個(gè)極為重要的思維過程。因此，完整的幾何命題教學(xué)，要讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作，歸納驗(yàn)證,推理證明，運(yùn)用提升的探究性學(xué)習(xí)過程。讓學(xué)生在觀察與操作的感性活動(dòng)中初步認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)，在歸納與推理的理性思考中驗(yàn)證猜想的合理性。

（2）問題設(shè)計(jì)。問題是探究活動(dòng)的起點(diǎn)，也是思維活動(dòng)的載體。教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)，設(shè)計(jì)一系列逐步遞進(jìn)的問題，把數(shù)學(xué)教學(xué)過程組織成提出問題、解決問題的過程，讓學(xué)生在問題解決的過程增長(zhǎng)知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展能力。

（3）指導(dǎo)探究。幾何探究性活動(dòng)的順利開展，離不開教師的導(dǎo)向與引領(lǐng)。教師要利用問題啟動(dòng)學(xué)生思考的引擎，要留出時(shí)間與空間放飛思維的翅膀，要適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)探索的方向，讓學(xué)生探究性活動(dòng)充分運(yùn)用已有的知識(shí)、技能與方法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)結(jié)論。

（4）歸納提煉。要幫助學(xué)生歸納探究的過程與結(jié)論，提高學(xué)生自我反思與調(diào)控的能力。教學(xué)中，除了引導(dǎo)學(xué)生正確總結(jié)研究的成果外，教師還要有意識(shí)地抓住關(guān)鍵知識(shí)，對(duì)學(xué)生提出的奇思妙想加以提煉，歸納出其中重要的、常見的思維方式和數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生在做中學(xué)，學(xué)中悟。

（5）思維培養(yǎng)。數(shù)學(xué)是思維的體操，思維能力培養(yǎng)是幾何命題教學(xué)目標(biāo)的重要組成。教學(xué)中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀、開展歸納與類比活動(dòng)等發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，培養(yǎng)合情推理能力和創(chuàng)新意識(shí)，還要對(duì)探究結(jié)果進(jìn)行說理證實(shí)和舉反例證偽，引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)演繹推理能力，提升思維品質(zhì)。

[1]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013,(06)：5-8.

[2]何小亞,姚靜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社,2008.

[3]馬復(fù),陳怡,程燕云.初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2010.

[4]教育部基礎(chǔ)教育課程教材工作委員會(huì)組織編寫.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2012.