楊 秀 香

(渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西 渭南 714099)

【自然科學基礎理論研究】

具有雙線性傳染率的捕食-食餌種群傳染病模型分析

楊 秀 香

(渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西 渭南 714099)

利用種群動力學理論及傳染病模型理論，研究了一類具有雙線性傳染率的捕食-食餌傳染病模型的全局穩(wěn)定性，考慮種群內(nèi)部競爭影響和染病捕食者的捕獲率和自然死亡率等因素，得到了無病平衡點和地方病平衡點存在的閾值R0的范圍，并借助于李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造，證明了無病平衡點和地方病平衡點的全局穩(wěn)定性。

捕食-食餌模型;平衡點；閾值；李雅普諾夫函數(shù)；全局穩(wěn)定性

0 引言

在科技飛速發(fā)展、自然變異和人類不合理活動的影響下，地球上的種群都在面臨著減少甚至滅絕的危險，在種群的世界里除了自然災害、環(huán)境污染等外，還有什么影響著它們的變化呢？生存環(huán)境匱乏、種群之間競爭、人工撲殺、傳染病影響等，表現(xiàn)得更為突出。因此，生態(tài)流行病模型的研究已成為生物數(shù)學研究的熱點，將種群動力學與傳染病動力學模型有機結(jié)合起來，可更為實際地研究種群的變化規(guī)律。然而世間萬物的聯(lián)系是錯綜復雜的，種群之間也不例外，這其中不僅有疾病傳播的因素、捕食與被捕食的食物鏈因素，還有同種群內(nèi)部的競爭因素等，都在影響著種群的變化。文獻[1-6]考慮到種群的內(nèi)部競爭，討論食餌、捕食者有密度制約，染病捕食者不能捕食但無永久免疫力、傳染率均為雙線性的生態(tài)流行病SIS模型,文獻[7-8]研究了單種群的傳染病模型。在此基礎上，依據(jù)微分方程的穩(wěn)定性、種群動力學及傳染病模型理論知識[9-10]，本文考慮染病類捕食者也具有一定的捕食能力，捕食者只有食餌供給能量，且捕食者之間的流行病傳染率為雙線性函數(shù)，建立符合生態(tài)意義的數(shù)學模型：

(1)

其中：X(t)為t時刻食餌的數(shù)量；K為食餌的環(huán)境容納量；S(t)為t時刻捕食者易感類的數(shù)量；I(t)為t時刻染病捕食者的數(shù)量；α為食餌種群的內(nèi)稟增長率；β為捕食者的接觸率；p,q分別為捕食者中易感者的捕獲率與染病者的捕食率，染病捕食者不具有捕獲能力；d1、d2分別為易感捕食者、染病捕食者的死亡率，包括自然死亡率和因病死亡率，d1

1 定義與引理

定義1[9]對于方程組

(2)

引理1[9](赫爾維茲(Hurwitz)判別代數(shù)方程的根均具有負實部)設給定常系數(shù)的n次代數(shù)方程

a0λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an=0，

(3)

Δ1=a1>0,Δ2>0,Δ3>0,…,Δn-1>0,an>0。

引理2[10]若一階常系數(shù)線性微分方程組(2)的特征方程det(A-λE)=0的根均具有負實部，則方程組的任一解當t→0時都趨于0，從而系統(tǒng)的平衡點是漸近穩(wěn)定的；若特征值的實部為零的根是單根，則方程的任一解有界，系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的，但不一定漸近穩(wěn)定。

2 解的有界性

所以系統(tǒng)(1)滿足初始條件(X0,S0,I0)∈R3的正解最終有界。

3 平衡點的存在性與局部漸近穩(wěn)定性

(4)

特征方程 det(J(E)-λE)=0。

(5)

(1)對于平衡點E0=(0,0,0)，特征方程有一正兩負特征根，λ10=α,λ20=-d1,λ30=-(d2+δ)，因此平衡點E0=(0,0,0)不穩(wěn)定。

(2)對于平衡點E1=(K,0,0)，特征根λ11=-α,λ21=pK-d1,λ31=qK-(d2+δ)，當pK-d1<0,qK

對應的特征方程為:

即

λ3+A1λ2+A2λ+A3=0。

A1A2-A3=μω2-(μ2+p2S*I*+pqX*S*+νβI*)ω+μq2X*I*+μp2S*X*>0。

由引理1、引理2可得系統(tǒng)(1)的唯一正平衡點E3=(X*,S*,I*)是局部漸近穩(wěn)定的。

4 平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

定理4 當R0>1，pK-d1>0,qK

證明 正平衡點E3=(X*,S*,I*)是局部漸近穩(wěn)定的。

構(gòu)造正定的Lyapunov函數(shù)

(5)

由引理3可得，系統(tǒng)(1)的正平衡點E*=(X*,S*,I*)是全局漸近穩(wěn)定的。

5 生物意義

αβqX*2+Kq(pd2-αβ-qd1)X*+K[αβd2+(d2+δ)(qd1-pd2)]=0，

捕食者中疾病最終形成地方病。

[1] 韓俊杰，竇霽紅，李濤.一類帶連續(xù)性捕殺效應的生態(tài)-流行病SIS模型[J].西北大學學報(自然科學版)，2013，43(3)：345-350.

[2] 王娟，韓欲青，李學志.一類具有非線性發(fā)生率的傳染病模型的穩(wěn)定性[J].數(shù)學的實踐與認識,2012,42(12):112-117．

[3] 劉洪濤.一類捕食-傳染病模型的穩(wěn)定性分析[J].紡織高校基礎科學學報，2012，25(1)：59-60.

[4] 張輝,徐文雄.一類潛伏期和染病期均傳染SEIS模型的漸近定性分析[J].陜西師范大學學報(自然科學版)，2008，36(6)：5-9.

[5] 馬麗娜，劉爍，李建全，等.一類具有垂直傳播的SIS捕食傳染病模型的全局分析[J].西北大學學報(自然科學版),2011,41(4):582-588．

[6] 楊亞莉，李建全，趙偉.一類捕食者存在疾病的捕食系統(tǒng)傳染病模型[J].數(shù)學的實踐與認識,2009,39(17):104-107．

[7] Yang Xiuxiang,Xue Chunrong.An SIQS infectious disease model with isolation[J].International Journal of Biomathematics,2008,(2):239-245.

[8] Yang Xiuxiang，Cheng Yuanji.Global Dynamics SIQRS Quarantine Epidemic Models with Generalized Separable Incidence Rate[J].生物數(shù)學學報，2014,29(2)：193-198.

[9] 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].第5版.北京：高等教育出版社，2006：248-277.

[10] 馬知恩,周義倉,王穩(wěn)地，等.傳染病動力學的數(shù)學建模與研究[M].北京:科學出版社,2004.

【責任編輯 牛懷崗】

Analysis of Predator-prey of Epidemic Model with Double Linear Infection Rate

YANG Xiu-xiang

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

This paper studies a predator-prey epidemic model with double linear infection rate. We have obtained a threshold value R0and shown that there is only a disease free equilibrium point when R0<1, and there is also an endemic equilibrium point if R0>1. With the help of Lyapunov function, we have shown that disease free and endemic equilibrium point is globally stable.

predator-prey model; equilibrium point; threshold; Lyapunov function; global stability

O175.13

A

1009-5128(2017)04-0005-06

2016-10-08

陜西省扶持學科數(shù)學學科基金資助項目：微分方程的穩(wěn)定性理論及其在生物數(shù)學中的應用(14SXZD008)；渭南師范學院科研計劃項目：利用生態(tài)動力學模型研究秦東地區(qū)黃河濕地的資源保護與最優(yōu)化分析(13YKF003)；渭南師范學院教育科學研究項目：西方教師教育大學與中小學合作體制特點(2014JYKX021)

楊秀香(1966—)，女，陜西富平人，渭南師范學院數(shù)理學院教授，主要從事生態(tài)數(shù)學及微分方程研究。