孫建

筆者有一次聽(tīng)《分米的認(rèn)識(shí)》一課，課畢，表示1分米有多長(zhǎng)時(shí)，幾個(gè)舉手表示的學(xué)生，雙手張開(kāi)，比肩要寬。當(dāng)老師追問(wèn)1分米等于幾厘米時(shí)，學(xué)生們齊聲回答10厘米。然而，他們并沒(méi)有據(jù)此調(diào)整兩手間距離的意識(shí)，足見(jiàn)缺少空間表象支撐的進(jìn)率顯蒼白。由此可見(jiàn)，對(duì)測(cè)量單位、圖形測(cè)量的認(rèn)識(shí)和教學(xué)需要深入研究。

測(cè)量單位觀念的內(nèi)涵

測(cè)量即計(jì)量，指把一個(gè)量與一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類(lèi)量進(jìn)行比較的過(guò)程。其中作為標(biāo)準(zhǔn)的同類(lèi)量即測(cè)量單位，表示測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的大小，是刻畫(huà)圖形大小的核心要素。圖形測(cè)量是一種操作過(guò)程，在操作過(guò)程中教學(xué)測(cè)量單位重心在于概念與方法的生成、經(jīng)驗(yàn)與思想的積淀，從而形成良好的單位觀念。本研究提出的測(cè)量單位觀念，具體內(nèi)涵包括三個(gè)方面，以下逐一具體說(shuō)明。

理解統(tǒng)一測(cè)量單位的必要性、形成測(cè)量單位表象，逐步建立主單位守恒。比較為測(cè)量提供了經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，也提出了現(xiàn)實(shí)需求：統(tǒng)一測(cè)量單位。測(cè)量使不同位置上物體的間接比較便捷了，統(tǒng)一測(cè)量單位又使間接比較與交流變得通暢。國(guó)產(chǎn)客機(jī)C919的上百萬(wàn)個(gè)零部件由全球200多家企業(yè)提供，統(tǒng)一的測(cè)量單位至關(guān)重要。測(cè)量單位是以測(cè)量單位表象為基礎(chǔ)的。測(cè)量單位表象也就是長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位的標(biāo)準(zhǔn)圖形在人腦中再現(xiàn)所形成的形狀及大小。形成測(cè)量單位表象，才能準(zhǔn)確把握數(shù)量。測(cè)量單位表象的形成表現(xiàn)為三個(gè)層面：一是根據(jù)單位名稱(chēng)能聯(lián)想到相近的替代物，例如由1立方厘米，能想到一節(jié)手指或一粒櫻桃的樣子和大??；二是根據(jù)單位名稱(chēng)能聯(lián)想到幾何模型，例如由1平方分米，能在頭腦中想象出或在紙上畫(huà)出1分米乘1分米的正方形；三是面對(duì)實(shí)物或圖形時(shí)能聯(lián)想到適當(dāng)?shù)膯挝粓D形去劃分。守恒的建立與發(fā)展是兒童測(cè)量能力發(fā)展的重要因素，主單位守恒是單位建立的重要方面。

兒童關(guān)于長(zhǎng)度、面積、體積的守恒存在較大差異。皮亞杰和英海爾德研究認(rèn)為兒童在7.5至12歲已具有長(zhǎng)度守恒的觀念，兒童這時(shí)能夠用任意長(zhǎng)的物體作為普通的測(cè)量工具；兒童獲得了測(cè)量時(shí)被分成的各部分長(zhǎng)度守恒的概念。也就是二、三年級(jí)學(xué)生能夠使用非標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)單位測(cè)量物體的長(zhǎng)度，物體的位置變化時(shí)他們能做出長(zhǎng)度不變的判斷。并且，他們能對(duì)較長(zhǎng)物體分段測(cè)量。（如圖1）用左面的這根鐵絲分別折成了右面不同的樣子。二年級(jí)81.5%的學(xué)生認(rèn)定它們同樣長(zhǎng)，但是能說(shuō)明“同一個(gè)鐵絲無(wú)論怎樣折，長(zhǎng)度不變”的學(xué)生只有30.3%；三年級(jí)91.1%的學(xué)生認(rèn)定同樣長(zhǎng)，78.9%的學(xué)生能從長(zhǎng)度守恒角度做出判斷。這說(shuō)明8至8.5歲兒童已基本建立起長(zhǎng)度守恒，因此真正有意義的測(cè)量是從三年級(jí)學(xué)生開(kāi)始的。

關(guān)于面積的守恒性，皮亞杰研究認(rèn)為“（兒童）面積守恒性出現(xiàn)的時(shí)間與長(zhǎng)度守恒性相同”，達(dá)到的水平表現(xiàn)為兩個(gè)層面：一個(gè)層面是“利用疊置的方法”，用“若干個(gè)較小的圖形分別正好符合或覆蓋兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形的面積必定相等。”也就是用標(biāo)準(zhǔn)或非標(biāo)準(zhǔn)面積單位密鋪被測(cè)量的圖形，從而比較它們的大小；另一個(gè)層面是“利用單位進(jìn)行測(cè)量”，也就是比照給定的測(cè)量單位（形狀、大小），在被測(cè)圖形上劃分、標(biāo)記，然后數(shù)出個(gè)數(shù)來(lái)。在這個(gè)層面上，學(xué)生甚至可以對(duì)給定的單位進(jìn)行簡(jiǎn)單的再分，這是學(xué)生面積守恒性的良好表現(xiàn)。例如：在比較下面圖2中A、B兩部分面積的大小時(shí)，三年級(jí)79.7%學(xué)生把A中兩個(gè)三角形拼合成一個(gè)小正方形，將B中連通區(qū)域用線條劃分，從而數(shù)出小正方形，完成比較。由此可見(jiàn)，三年級(jí)學(xué)生能依據(jù)“圖中小正方形邊長(zhǎng)相等”推斷出“每個(gè)小正方形面積相等”，即確定了面積單位，并能依據(jù)面積單位的空間形象對(duì)圖形進(jìn)行劃分。

關(guān)于體積守恒，皮亞杰研究指出：兒童到12歲左右才能出現(xiàn)體積守恒概念?！皟和莆樟水?dāng)外表的長(zhǎng)度、寬度和高度改變時(shí)，內(nèi)部體積或積木中所包含的‘房間空間是不變的這一觀念?！奔磧?nèi)部體積守恒這種類(lèi)型。12歲以后，“這時(shí)兒童已能夠根據(jù)三個(gè)維度的長(zhǎng)度之間的關(guān)系來(lái)測(cè)量體積了。”即對(duì)內(nèi)部體積的測(cè)量由數(shù)出體積單位個(gè)數(shù)上升到依據(jù)三個(gè)維度的長(zhǎng)度與體積單位關(guān)系的智慧水平；“體積的守恒性也擴(kuò)展到被占有的或被排開(kāi)的水的體積的守恒?！奔赐獠矿w積守恒，也就是內(nèi)部空間與外部空間是守恒的，內(nèi)部體積單位數(shù)與排開(kāi)的外部的水、空氣的體積相等。例如：將同樣的假山石放入水箱中（如圖3）。雖然水面上升的高度不同，但是78.3%的五年級(jí)學(xué)生能夠根據(jù)假山石的體積不變推定排開(kāi)的水的體積不變，他們初步理解了體積守恒。

提高學(xué)生測(cè)量水平

發(fā)展同維度下單位之間的聯(lián)系，構(gòu)建不同維度間測(cè)量單位之間的關(guān)系守恒，形成測(cè)量單位系統(tǒng)。測(cè)量單位間的聯(lián)系包括：同一維度下測(cè)量單位間的進(jìn)率和不同維度測(cè)量單位間的乘法結(jié)構(gòu)的關(guān)系守恒。長(zhǎng)度單位是守恒的，一方面表現(xiàn)為主單位（米）的長(zhǎng)度守恒；另一方面表現(xiàn)為單位之間的關(guān)系守恒。長(zhǎng)度單位間的進(jìn)率選擇十進(jìn)制，使測(cè)量中的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算一致，使測(cè)量結(jié)果的表示、單位換算十分簡(jiǎn)潔。面積單位、體積單位是長(zhǎng)度單位在二維、三維空間量度的積，即乘法結(jié)構(gòu)。因此，由長(zhǎng)度單位間的十進(jìn)制可以得到面積單位間百進(jìn)制、體積單位間千進(jìn)制關(guān)系。單位和進(jìn)率構(gòu)成測(cè)量單位系統(tǒng)。兒童大多是在相應(yīng)守恒概念建立的初期甚至稍早時(shí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)長(zhǎng)度、面積或體積測(cè)量。劃分或復(fù)制等操作活動(dòng)對(duì)不同年齡兒童、不同維度測(cè)量的影響程度如何？下面的調(diào)研可以反映出一些信息。

下面三組圖形中，（2）號(hào)圖形是（1）號(hào)圖形的幾倍？先填一填，再在圖上畫(huà)一畫(huà)。并在空白處寫(xiě)出你的思考或你的發(fā)現(xiàn)。

由下表縱向觀察，同年齡兒童劃分一維、二維、三維圖形的水平差異顯著；橫向觀察，隨兒童年齡的增長(zhǎng)，劃分面積、體積的能力明顯提高，四年級(jí)達(dá)到峰值，五年級(jí)學(xué)生部分轉(zhuǎn)化為運(yùn)用計(jì)算測(cè)量圖形的大小，因而劃分的數(shù)據(jù)減少。由此可見(jiàn)，通過(guò)劃分（或復(fù)制）是構(gòu)建單位聯(lián)系、形成單位系統(tǒng)、保持單位守恒的有效途徑，并且利于促成守恒性上升到計(jì)算水平。

合理選擇測(cè)量單位，正確測(cè)量或估測(cè)。在具體的問(wèn)題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇測(cè)量單位進(jìn)行測(cè)量。在明確實(shí)際測(cè)量的對(duì)象后，選擇恰當(dāng)?shù)臏y(cè)量單位決定著測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度和實(shí)用價(jià)值。比如，用平方厘米去估計(jì)一片樹(shù)葉的面積就夠用了，用它去逼近圓的面積，卻難以感悟“兩邊夾”的數(shù)學(xué)原理；用立方分米（升）測(cè)量?jī)和刻斓娘嬎勘容^適度，用它統(tǒng)計(jì)家庭用水就過(guò)于繁瑣。學(xué)生在親身實(shí)踐中不斷積累正確使用工具測(cè)量、估測(cè)的經(jīng)驗(yàn)，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題才能體會(huì)測(cè)量單位的現(xiàn)實(shí)意義，面對(duì)實(shí)際物體才能切實(shí)感受測(cè)量單位的大小，測(cè)量單位的表象、測(cè)量單位的聯(lián)系和系統(tǒng)才能不斷修正，進(jìn)而達(dá)到守恒。

培養(yǎng)學(xué)生測(cè)量單位觀念的價(jià)值

發(fā)展量化意識(shí)，突出“單位”思想 在測(cè)量單位觀念建立的過(guò)程中，學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)和建立的觀念，在其他量的研究中會(huì)發(fā)揮作用并使這種認(rèn)識(shí)逐步發(fā)展到：任何量的量化，都必須有標(biāo)準(zhǔn)，而且標(biāo)準(zhǔn)必須統(tǒng)一。這使“單位”思想在量化中的核心地位得到普遍確立，從而在角度、貨幣、時(shí)間、重量等常見(jiàn)量的研究中主動(dòng)尋找標(biāo)準(zhǔn)，探索創(chuàng)造單位，發(fā)展量化思維。建立測(cè)量單位表象的方法和經(jīng)驗(yàn)也會(huì)促進(jìn)學(xué)生借助實(shí)物或圖形建立角度、時(shí)間、貨幣、重量單位表象或感知的實(shí)踐與探索活動(dòng)，逐步把感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，形成量的抽象性與思維形象性的融合，單位思想不斷深入，量的感覺(jué)不斷發(fā)展。

培養(yǎng)聯(lián)想類(lèi)比，發(fā)展數(shù)學(xué)思維 在長(zhǎng)度單位系統(tǒng)的構(gòu)建過(guò)程中，應(yīng)用某一單位沿直線方向復(fù)制或再分，產(chǎn)生新單位并形成相鄰單位間的進(jìn)率。學(xué)習(xí)面積單位時(shí)，依據(jù)面積單位與長(zhǎng)度單位之間的關(guān)系，用面積單位向平面內(nèi)兩個(gè)維度擴(kuò)展或再分；學(xué)習(xí)體積單位時(shí)，用體積單位向空間內(nèi)三個(gè)方向堆積或再分，產(chǎn)生新單位，推導(dǎo)相鄰單位間的進(jìn)率。在這樣的過(guò)程中，由長(zhǎng)度單位系統(tǒng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)想到面積、體積單位系統(tǒng)的構(gòu)建中，這種思維方法就是類(lèi)比。類(lèi)比方法在貨幣、時(shí)間以及重量等量的學(xué)習(xí)中還將發(fā)揮作用并得到進(jìn)一步發(fā)展，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

促進(jìn)空間觀念的發(fā)展 用實(shí)物、模型或圖形建立單位表象；用長(zhǎng)度單位復(fù)制、面積單位密鋪、體積單位堆積等活動(dòng)建立單位系統(tǒng)并在估測(cè)、測(cè)量實(shí)踐活動(dòng)中，圖形測(cè)量的單位觀念得到不斷培養(yǎng)和發(fā)展。同時(shí)，良好的測(cè)量單位觀念可以促進(jìn)空間觀念的發(fā)展。這主要體現(xiàn)在以下幾方面：一是對(duì)圖形測(cè)量的能力得到提高；二是由實(shí)物或模型抽象出幾何圖形的形狀更具相似性、圖形的結(jié)構(gòu)特征更清晰；三是對(duì)圖形的位置、圖形的運(yùn)動(dòng)的刻畫(huà)更準(zhǔn)確；四是根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體匹配性更強(qiáng)；五是由語(yǔ)言描述產(chǎn)生聯(lián)想畫(huà)出的圖形更接近原型。

參考文獻(xiàn)

[1]裘光明.數(shù)學(xué)辭海：第一卷[M].太原：山西教育出版社，2002

[2]（美）R·W·柯普蘭.兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[M].李其維，康清鏕譯.上海：上海教育出版社，1985：289，283，321，328.

[3]孫昌識(shí)，姚平子.兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育[M].北京：人民教育出版社，2005

（作者單位：北京教育學(xué)院豐臺(tái)分院）