張皎

摘 要：小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)，“并不是從顯明的、敘述的心理中推演出來(lái)的”，它更多地來(lái)源于生活，來(lái)自于學(xué)生的實(shí)際。因此，“認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”（新課程標(biāo)準(zhǔn)）。操作已成為數(shù)學(xué)課堂，尤其低年級(jí)數(shù)學(xué)課堂學(xué)生獲取知識(shí)的重要方式。然而，當(dāng)我們靜下心來(lái)仔細(xì)審視時(shí)，不禁悚然于這種方式行進(jìn)中所凸現(xiàn)的忙碌于形式的現(xiàn)象（重過(guò)程而輕結(jié)論），匆匆于場(chǎng)面的表演（重結(jié)論而輕過(guò)程），操作往往是浮光掠影，淺嘗輒止。到底是以知識(shí)引領(lǐng)操作的進(jìn)程，還是以操作引領(lǐng)知識(shí)的發(fā)展？其實(shí)不論怎樣，只有從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，為了學(xué)生的發(fā)展，操作才有存在的價(jià)值，才更具豐富的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)語(yǔ)言；數(shù)學(xué)智慧

一、為豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而操作

學(xué)生面對(duì)新知時(shí)，并不是完全陌生的。他們總會(huì)在已有的認(rèn)知系統(tǒng)中尋找到與之相關(guān)聯(lián)的舊知作為“固著點(diǎn)”，并在“固著點(diǎn)”的基礎(chǔ)上促進(jìn)新舊知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)化，把新知納入已有的舊知系統(tǒng)而獲得意義，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行操作時(shí)（基于學(xué)具等進(jìn)行的動(dòng)手實(shí)踐），學(xué)生總是在對(duì)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和處理問(wèn)題的習(xí)慣方式的不斷追問(wèn)中探索、反思、提升，獲得新的感受。因此，合理有效的數(shù)學(xué)操作，更有利于學(xué)生自主建構(gòu)，進(jìn)一步豐滿(mǎn)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【案例1】 求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的實(shí)際問(wèn)題（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)）

1. 出示填空題：

白菜：□□□

青菜：○○○○○○○○○○○○

白菜有（ ）棵，青菜有（ ）棵，青菜的棵數(shù)是白菜的（ ）倍。

2. 操作：

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個(gè)數(shù)是第一行的3倍。

（生擺△。）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你擺了幾個(gè)△？

生：擺了6個(gè)。

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個(gè)數(shù)是第一行的4倍。

（生擺△。學(xué)生已經(jīng)在兩個(gè)兩個(gè)地?cái)[了。）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你擺了幾個(gè)△？

生：擺了8個(gè)。

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個(gè)數(shù)是第一行的5倍。你準(zhǔn)備擺幾個(gè)？

（有的學(xué)生已經(jīng)不擺了，大部分在兩個(gè)兩個(gè)地?cái)[，很快就得出擺10個(gè)。）

師：第一行擺○○○， 第二行擺△，使△的個(gè)數(shù)是第一行的2倍。

（生擺△。）

師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)你擺了幾個(gè)？

生：擺了6個(gè)。

師：如果要使第二行擺△的個(gè)數(shù)是第一行的4倍，你怎樣擺？

師：如果要使第二行擺△的個(gè)數(shù)是第一行的6倍，你怎樣擺？

至此，學(xué)生已經(jīng)不用擺了，很快說(shuō)出4倍就擺4個(gè)△△△，6倍就擺6個(gè)△△△。再進(jìn)行例題的實(shí)際問(wèn)題教學(xué)就水到聚成了。

……

“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題”是基于“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行的。在教學(xué)過(guò)程中，我們首先讓學(xué)生通過(guò)填空的形式回憶“幾個(gè)”“幾個(gè)幾”“幾倍”，讓他們對(duì)新知的學(xué)習(xí)進(jìn)行心理上與知識(shí)上的充分準(zhǔn)備。然后根據(jù)要求操作，在擺△是○○的2倍時(shí)，憑直覺(jué)與心算，學(xué)生很快就能得出結(jié)果。在擺△是○○的3倍、4倍的質(zhì)同形異的類(lèi)比推理式操作中，學(xué)生已能將△兩個(gè)兩個(gè)地?cái)[放。而且，此時(shí)已有部分學(xué)生自覺(jué)地從觀察“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”過(guò)渡到“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的思維上的同化與順應(yīng)。在擺△是○○○的2倍、3倍、4倍時(shí)，學(xué)生不但能快速地運(yùn)用幾個(gè)△△△來(lái)擺，而且在擺△是○○○的6倍時(shí)，他們已能脫口而出就是擺6個(gè)△△△。此時(shí)，通過(guò)操作，學(xué)生已經(jīng)完成了在“誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍”這一已有結(jié)構(gòu)上的自主建構(gòu)，溝通了“誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍”與“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”之間的內(nèi)在聯(lián)系。操作，讓他們真正從他主走向了自主。但我們也不可否認(rèn)，有時(shí)操作的結(jié)果往往與預(yù)設(shè)目標(biāo)的達(dá)成有所出入，甚至相去甚遠(yuǎn)。其原因是多方面的。在運(yùn)用操作讓學(xué)生基于已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行自主建構(gòu)時(shí)，就應(yīng)著重注意兩個(gè)方面，其一，由于每個(gè)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)各不相同，他們的生活經(jīng)驗(yàn)、思維習(xí)慣也因人而異，在課堂學(xué)習(xí)中也總在進(jìn)行著個(gè)性化的、有規(guī)則的自由運(yùn)動(dòng)。因此，充分了解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深入剖析教材內(nèi)容的相互聯(lián)系，合理選擇操作的方式與時(shí)機(jī)，是促進(jìn)學(xué)生在操作中自主建構(gòu)的關(guān)鍵。例如，一些始發(fā)性的知識(shí)，大部分以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，這在第一學(xué)段，尤其是一年級(jí)教材中更為明顯。此時(shí)，我們應(yīng)充分了解學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，選用他們喜聞樂(lè)見(jiàn)，又符合他們年齡特征的操作方式，讓他們?cè)诓僮髦薪?jīng)歷生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，在自主的數(shù)學(xué)化過(guò)程中主動(dòng)建構(gòu)。其次，在學(xué)生操作過(guò)程中，教師適時(shí)適度的暗示（如語(yǔ)言、動(dòng)作等的暗示）、指導(dǎo)（如類(lèi)比、推理、歸納、總結(jié)等的適時(shí)點(diǎn)撥）是讓學(xué)生在操作中走向自主建構(gòu)的重要組成部分。

二、為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言而操作

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非外部行為的簡(jiǎn)單重復(fù)。兒童在數(shù)學(xué)上的發(fā)展也不像影子對(duì)于投影物體的追隨那樣追隨于教師的教學(xué)。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用，將直接導(dǎo)致學(xué)生自身行為模式的改變，即形成由原來(lái)的“刺激——反應(yīng)模式”向“感知——反思——重組——提升”的高級(jí)心理行為的改變。這一過(guò)程對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的充實(shí)與豐滿(mǎn)更為重要。因此，在操作過(guò)程中基于學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)與個(gè)性發(fā)展的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，更有利于他們清晰地、有條理地表述自己的猜測(cè)，表達(dá)自己的思考過(guò)程，并合乎邏輯地討論和質(zhì)疑，從而進(jìn)一步完善他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

【案例2】軸對(duì)稱(chēng)圖形（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)）

學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念后。

師：我們學(xué)過(guò)的圖形有哪些？

生：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓。

師：這些圖形中哪些是軸對(duì)稱(chēng)圖形？分別有幾條對(duì)稱(chēng)軸？可以用你們自己準(zhǔn)備的圖形操作一下。

學(xué)生操作后交流。

生1：三角形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸……

生2：我有不同意見(jiàn)，三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有1條對(duì)稱(chēng)軸。

生3：不對(duì)，三角形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

師：有不同意見(jiàn)，好，關(guān)鍵是以理服人。你們用自己的方法來(lái)證明自己觀點(diǎn)成立的理由。

生1：出示，我從不同的方向?qū)φ?，兩邊都不能重合，所以就不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

生2：出示，我的是個(gè)等腰三角形，對(duì)折后左右能重合，所以它是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有一條對(duì)稱(chēng)軸。

師：都有道理，還有誰(shuí)想說(shuō)？

生3：那如果是等邊三角形的話(huà)，就應(yīng)該有3條對(duì)稱(chēng)軸。

師：做個(gè)折折看。

學(xué)生操作，得出有3條對(duì)稱(chēng)軸。

師：那三角形到底是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形？

生4：我覺(jué)得，如果是等腰三角形和等邊三角形，就是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸分別有1條和 3條。如果是任意三角形，就不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

師：誰(shuí)再來(lái)講一講，三角形到底是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形？

生：應(yīng)分情況考慮。

師：講得很好，那剛才兩位同學(xué)犯了怎樣的錯(cuò)誤？

生：沒(méi)有考慮全面。

……

個(gè)體單一的內(nèi)部思維后，語(yǔ)言的表述往往存在偏頗，很多時(shí)候甚至詞不達(dá)意。操作的介入，則可使語(yǔ)言的條理化、具體化更到位，指向性更明確。上述案例中，操作與語(yǔ)言的互為補(bǔ)充，既讓學(xué)生看清了知識(shí)的本質(zhì)（什么樣的三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形），更讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到了思維的誤區(qū)（以偏概全），同伴間的相互評(píng)價(jià)與補(bǔ)充，促進(jìn)了學(xué)習(xí)個(gè)體對(duì)原有思維過(guò)程的回顧與反思。二次操作，讓學(xué)生的思維走向了理性，也使語(yǔ)言的組織更具邏輯性。因此，在運(yùn)用操作進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)時(shí)時(shí)注意為學(xué)生創(chuàng)造說(shuō)的機(jī)會(huì)，讓他們說(shuō)做法、說(shuō)想法、說(shuō)思路、說(shuō)結(jié)論，鼓勵(lì)相互間的質(zhì)疑問(wèn)難，討論求證，讓語(yǔ)言在操作中完善，讓思維在語(yǔ)言中深刻。同時(shí)，操作是學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行的，因而操作后的語(yǔ)言表述不能在“文字上孜孜以求”，此時(shí)更應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用感悟后的“兒童”語(yǔ)言來(lái)描述明白而不出科學(xué)錯(cuò)誤的個(gè)性化理解，用自己的語(yǔ)言來(lái)描述領(lǐng)悟了的有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法。因?yàn)?，只有在學(xué)生自由的談?wù)撝?，我們才能更清晰地看到學(xué)生基于操作時(shí)的思維方向、相應(yīng)的活動(dòng)對(duì)他們產(chǎn)生了怎樣的作用和影響；也只有通過(guò)學(xué)生自由的數(shù)學(xué)談?wù)?，才更便于讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)一些線(xiàn)索，通過(guò)嘗試操作后保留有用的去掉不適的；也只有通過(guò)學(xué)生自由的數(shù)學(xué)談?wù)?，才有利于進(jìn)一步完善學(xué)生的思維，規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

三、為生成學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧而操作

數(shù)學(xué)不僅僅是傳授知識(shí)，更在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧。學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧包含著對(duì)知識(shí)理解、接受時(shí)的敏銳程度和創(chuàng)新意識(shí)，以數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思想方法審視和處理生活中的問(wèn)題等多個(gè)方面，因此，類(lèi)比、歸納、聯(lián)想、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證等能力應(yīng)是其重要的組成部分，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)操作時(shí)，總是依據(jù)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣在思索、探究。這一看似平淡、尋常的動(dòng)作，往往充溢著學(xué)生的聰明才智，操作中的真知灼見(jiàn)，總能閃射學(xué)生的智慧之光。

【案例3】長(zhǎng)方體的表面積（校本活動(dòng)課）（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)）

通過(guò)觀察討論，先得出包裝兩盒磁帶最節(jié)約包裝紙的方法。

師：如果要包裝4盒磁帶，你又能想出幾種方法？其中哪一種方法最節(jié)約包裝紙呢？

學(xué)生開(kāi)始小組學(xué)習(xí)，充分討論后動(dòng)手操作（磁帶的幾種拼法）。約10分鐘后進(jìn)行全班交流。

小組1：我們有四種不同的包裝方法，每拼出一種就算一次所用包裝紙的面積，通過(guò)比較得出結(jié)論。

小組2：我們拼出了六種呢！也是通過(guò)計(jì)算比較得出最節(jié)約包裝紙的方法。

小組3：其實(shí)不用每種都算出表面積。要使包裝4盒磁帶所用的包裝紙最少，就要使它們減少的面積最多，只要先估計(jì)一下，計(jì)算出較節(jié)約的幾種進(jìn)行比較就可以了。

師：那我們能不能把這六種包裝方法分分類(lèi)呢？

思考片刻后，學(xué)生按減少面的個(gè)數(shù)把六種包裝方法分成了兩組（如圖1）：

比較得出每組中表面積最少的一種，再把兩組中表面積最少的包裝方法抽取出來(lái)，通過(guò)計(jì)算得出結(jié)論。

……

從上面的案例可以看出，學(xué)生開(kāi)始用的方法是零亂的，思維是無(wú)序的，每種擺法得出后都要通過(guò)數(shù)據(jù)計(jì)算得出面積。要用多少包裝紙，按照這樣的趨勢(shì)發(fā)展，擺法上肯定會(huì)有遺漏，能否得出包裝紙最節(jié)約的方法很可能是一個(gè)疑問(wèn)。但隨著操作的不斷深入，學(xué)生的操作方式有了質(zhì)的變化，他們通過(guò)比較、歸納，已能悟出每次重合的面積越大則減少的面積就越多，也就越節(jié)約包裝紙。操作中理性的思考，激發(fā)了他們智慧的生成。當(dāng)然，為生成學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧而操作時(shí)，如果教師以自身的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)過(guò)早地干涉學(xué)生，則易形成掩蓋而不是揭示和溝通學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)與現(xiàn)實(shí)知識(shí)之間的關(guān)系，暗示與指導(dǎo)則將成為創(chuàng)新方式與創(chuàng)新精神的束縛與扼制。其次，學(xué)生通過(guò)再創(chuàng)造獲得新經(jīng)驗(yàn)后，往往會(huì)驚喜于發(fā)現(xiàn)的激動(dòng)，而在新經(jīng)驗(yàn)中迷失。由此，不論學(xué)生獲得怎樣的操作結(jié)果，都要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作后的評(píng)估，讓他們?cè)诜此贾袑?duì)方法進(jìn)行提升，給他們批判的精神，讓操作真正為生成學(xué)生的智慧而存在。

學(xué)生是一個(gè)個(gè)鮮活的個(gè)體，在操作活動(dòng)的過(guò)程中給予學(xué)生動(dòng)手的機(jī)會(huì)、思考的空間、創(chuàng)新的余地，就給予了數(shù)學(xué)課堂一種蓬勃的生機(jī)。凸顯操作的價(jià)值，定會(huì)有效地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。