張明德，羅 沖，張衛(wèi)青，蔡漢水，謝 樂

(重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054)

航發(fā)葉片的測(cè)量數(shù)據(jù)誤差處理方法研究*

張明德，羅 沖，張衛(wèi)青，蔡漢水，謝 樂

(重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054)

針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)精鍛葉片自動(dòng)化生產(chǎn)線加工環(huán)境相對(duì)較差時(shí)的誤差評(píng)定問題，根據(jù)國(guó)內(nèi)葉片實(shí)際檢測(cè)中常用的截面法檢測(cè)，提出了測(cè)量點(diǎn)集與理論截線的優(yōu)化匹配算法。該方法包含測(cè)量點(diǎn)集與理論截線的初步匹配、精確匹配、匹配優(yōu)化，并為了得到更精確的葉型誤差，根據(jù)測(cè)量點(diǎn)集與理論截面線之間的關(guān)系，提出了一種測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的最近點(diǎn)集求解算法。通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性和有效性，提高了檢測(cè)效率，提升了測(cè)量精度，為后續(xù)精加工處理提供數(shù)據(jù)依據(jù)。

葉片測(cè)量；數(shù)據(jù)處理；匹配；航發(fā)精鍛葉片

0 前言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)精鍛葉片(以下簡(jiǎn)稱“航發(fā)葉片”)型面屬于自由復(fù)雜曲面，自由曲面測(cè)量是目前的研究熱點(diǎn)。測(cè)量方法分為非接觸式(光學(xué)測(cè)量)和接觸式(CMM測(cè)量)兩種方式。文獻(xiàn)[1]對(duì)自由曲面測(cè)量技術(shù)進(jìn)行了綜述。文獻(xiàn)[2-3]對(duì)自由曲面光學(xué)測(cè)量進(jìn)行了研究，光學(xué)測(cè)量速度高，但精度相對(duì)接觸式測(cè)量較低。國(guó)內(nèi)在實(shí)際加工中，批量檢測(cè)大多采用專用量具及白光來檢驗(yàn)，并不能得到精確的葉型誤差值；精加工則采用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行測(cè)量，可以得到具體的誤差值，不過相對(duì)效率不高[4]。

陳貴林等[5]提出航空發(fā)動(dòng)機(jī)精鍛葉片數(shù)字化生產(chǎn)線，并要求在數(shù)字化生產(chǎn)線內(nèi)實(shí)現(xiàn)“自感知、自適應(yīng)、自診斷、自決策、自修復(fù)”功能。在航發(fā)葉片磨削生產(chǎn)中提出自適應(yīng)磨削加工，根據(jù)余量控制磨削區(qū)域、磨削壓力，從而實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)磨削，提高葉片加工精度、減少葉片報(bào)廢率。數(shù)字化生產(chǎn)線、自適應(yīng)磨削加工需要檢測(cè)系統(tǒng)提供精確的測(cè)量數(shù)據(jù)得到加工余量。為了保證自適應(yīng)生產(chǎn)加工，設(shè)計(jì)一套快速、可靠的檢測(cè)系統(tǒng)尤為重要。故本文針對(duì)磨削加工生產(chǎn)線加工環(huán)境差的問題，提出一種測(cè)量點(diǎn)集與理論截線的優(yōu)化匹配算法，降低系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果精度的影響。在此測(cè)量方法的基礎(chǔ)上，為了得到更精確的葉型誤差，根據(jù)測(cè)量點(diǎn)集與理論截面線之間整體對(duì)應(yīng)的關(guān)系，提出一種適合優(yōu)化匹配算法的測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的最近點(diǎn)集求解算法。該方法能快速得到精確的實(shí)際葉型誤差值，為后續(xù)加工處理提供數(shù)據(jù)依據(jù)。

1 航發(fā)葉片測(cè)量數(shù)據(jù)處理思路

航發(fā)葉片三坐標(biāo)檢測(cè)主要流程有：首先，對(duì)測(cè)頭進(jìn)行標(biāo)定，確定測(cè)頭實(shí)際半徑值；其次，根據(jù)檢測(cè)葉片或者專用夾具建立測(cè)量坐標(biāo)系，并根據(jù)葉片理論模型進(jìn)行檢測(cè)截面以及檢測(cè)點(diǎn)的規(guī)劃(即檢測(cè)路徑規(guī)劃)，軟件自動(dòng)生成測(cè)量程序；然后，由三坐標(biāo)檢測(cè)機(jī)進(jìn)行檢測(cè)，得到測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)；最后，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，生成檢測(cè)報(bào)告。

由于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)本身的限制，測(cè)量數(shù)據(jù)處理一般需要進(jìn)行后續(xù)處理，包括異常點(diǎn)處理和測(cè)頭半徑補(bǔ)償。由于測(cè)量坐標(biāo)系與理論坐標(biāo)系不一致，測(cè)量數(shù)據(jù)需進(jìn)行測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的匹配，以得到最優(yōu)檢測(cè)結(jié)果。

(1)異常點(diǎn)處理

葉片檢測(cè)過程中由于實(shí)物幾何特征和測(cè)量手段的制約，在葉片檢測(cè)結(jié)果中會(huì)出現(xiàn)因覆蓋測(cè)量或測(cè)量數(shù)據(jù)出錯(cuò)等原因造成的“壞點(diǎn)”，以及由部分盲區(qū)或缺口而形成的“跳點(diǎn)”。這會(huì)影響后續(xù)數(shù)據(jù)的處理，為了保證所測(cè)截面數(shù)據(jù)的正確性和完整性，所以需要對(duì)“壞點(diǎn)”和“跳點(diǎn)”進(jìn)行處理。

對(duì)于壞點(diǎn)可以通過人工觀察、弦高差方法[6]等進(jìn)行處理。對(duì)于跳點(diǎn)可以通過截取理論模型部分來填補(bǔ)，也可通過重新規(guī)劃?rùn)z測(cè)路徑來處理。

(2)測(cè)頭半徑補(bǔ)償

由于葉片型面是自由曲面，測(cè)量過程中測(cè)頭采用不補(bǔ)償?shù)哪Ｊ?，測(cè)量機(jī)輸出的數(shù)據(jù)是測(cè)頭球心的坐標(biāo)，故需對(duì)測(cè)頭半徑進(jìn)行補(bǔ)償。關(guān)于測(cè)頭實(shí)際半徑一般通過測(cè)頭標(biāo)定[7-9]來確定，然后進(jìn)行補(bǔ)償。本文采用測(cè)量點(diǎn)沿其法矢向內(nèi)平移一個(gè)測(cè)頭半徑來進(jìn)行測(cè)頭半徑補(bǔ)償。

(1)

式中： (xi，yi，zi)—實(shí)際測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)；

(xi′，yi′，zi′)—測(cè)量球心點(diǎn)坐標(biāo)；

(ii，ji，ki)—測(cè)量點(diǎn)單位法矢的坐標(biāo)分量；

r—測(cè)頭實(shí)際半徑。

(3)測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的匹配

對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，其中最重要的一環(huán)就是實(shí)現(xiàn)測(cè)量數(shù)據(jù)與葉片理論模型的精確匹配，即通過匹配使葉片實(shí)際測(cè)量點(diǎn)相對(duì)于理論模型的誤差達(dá)到最小，從而減小系統(tǒng)誤差的影響。

航發(fā)葉片三坐標(biāo)測(cè)量大多采用截面法進(jìn)行測(cè)量，且葉片設(shè)計(jì)時(shí)允許各截面存在一定的誤差偏值(一般輪廓度誤差為0.08mm，扭轉(zhuǎn)誤差為±12′)，所以葉片的測(cè)量數(shù)據(jù)匹配問題可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)測(cè)量點(diǎn)集與理論截線的匹配問題。

2 測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的最近點(diǎn)集求取

由于測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的匹配是以測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的距離平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，所以求取測(cè)量點(diǎn)集到理論截面所得的最近點(diǎn)集將對(duì)匹配結(jié)果有很大的影響。

針對(duì)點(diǎn)到復(fù)雜平面曲線最近距離的算法有基于幾何特征的快速迭代法[10]、分割逼近法快速求解點(diǎn)到復(fù)雜平面曲線最小距離[11]、迭代最近點(diǎn)算法(ICP)[12-13]等。但這些算法均是針對(duì)點(diǎn)到曲線的最近距離求解，而本文研究的重點(diǎn)是求解測(cè)量點(diǎn)集整體到封閉曲線的最近點(diǎn)集。求解過程中可能會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)問題：一是同一點(diǎn)存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的最近點(diǎn)，如圖1中測(cè)量點(diǎn)Pi到理論截線上Qi與Qi′距離一樣；二是某測(cè)量點(diǎn)在曲線上所對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)并不在其前一點(diǎn)與后一點(diǎn)在曲線上所對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)區(qū)域范圍內(nèi)，如圖1中測(cè)量點(diǎn)Pi+1在理論截線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)Qi+1,并不在Pi-1與Pi+2對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)Qi-1與Qi+2之間，這與測(cè)量點(diǎn)集與葉片理論截面線對(duì)應(yīng)關(guān)系不符。

圖1 對(duì)應(yīng)關(guān)系混亂的測(cè)量點(diǎn)

測(cè)量點(diǎn)集在理論截線上所對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)集應(yīng)該滿足與截面線按次序分布的關(guān)系。本文通過對(duì)比對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)在曲線上的參數(shù)值來解決該問題。

測(cè)量點(diǎn)集在理論截線上的最近點(diǎn)集求取的具體流程圖如圖2所示。

圖2 最近點(diǎn)集求取流程圖

(1)航發(fā)葉片截面形狀是復(fù)雜封閉曲線，但整體較光順，所以本文按等參數(shù)將其分割為n份(根據(jù)葉片大小確定)，并求取測(cè)量點(diǎn)P(x,y,z)與各控制點(diǎn)Qi(xi,yi,zi)之間的距離：

(2)

求取n個(gè)端點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)的最小距離：

dmin=min(d1,d2,…,dn-1,dn)

(3)

則測(cè)量點(diǎn)的最近點(diǎn)位于與dmin對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)Qi兩側(cè)鄰域中，如圖3所示。

圖3 控制點(diǎn)中找取最近點(diǎn)

(2)將最近控制點(diǎn)兩側(cè)鄰域按參數(shù)U值分別等分為兩個(gè)小曲線段，求取測(cè)量點(diǎn)與各控制點(diǎn)的距離，如圖4。

圖4 鄰域劃分方法

(3)如果其鄰域

(4)

式中：Us—點(diǎn)Qi-1在曲線上對(duì)應(yīng)的U值，

Ue—點(diǎn)Qi+1在曲線上對(duì)應(yīng)的U值，

Δ—設(shè)定誤差值。

則該點(diǎn)為最近點(diǎn)，如果不滿足上式，則轉(zhuǎn)到第(2)步，繼續(xù)求解。

(4)因?yàn)闇y(cè)量點(diǎn)集就是沿著順時(shí)針/逆時(shí)針進(jìn)行測(cè)量得到的，所以理論上其對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)集在理論曲線上也是按此規(guī)律進(jìn)行分布的，在測(cè)量點(diǎn)集各自對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)集中尋找其在理論截線上的U值規(guī)律，找出不符合規(guī)律的測(cè)量點(diǎn)。

(5)將不滿足規(guī)律的測(cè)量點(diǎn)，在其前一點(diǎn)和后一點(diǎn)的U值范圍中重新找取最近點(diǎn)，保證對(duì)應(yīng)點(diǎn)集求取的正確性、規(guī)律性。

該方法可以保證測(cè)量點(diǎn)集與其在理論截線上的對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)集按規(guī)律分布，但也存在一定缺點(diǎn)，如果不規(guī)律點(diǎn)過多，則計(jì)算效率會(huì)非常低。

3 測(cè)量點(diǎn)集與理論截線的優(yōu)化匹配算法

3.1 初步匹配

根據(jù)第2節(jié)所描述的算法，雖然解決了測(cè)量點(diǎn)集對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)集的規(guī)律性，但測(cè)量點(diǎn)與理論曲線距離較遠(yuǎn)時(shí)，最近點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系混亂，如圖5所示，則計(jì)算效率較低，所以最好將之移動(dòng)到相近位置再進(jìn)行計(jì)算。而曲線形狀與曲面所在空間坐標(biāo)系無關(guān)，且具有空間移動(dòng)不變性，故選取曲線形狀特征作為初始匹配要素。

圖5 對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)混亂的情況

(1)考慮到封閉曲線的特征，首先通過兩封閉曲線的幾何中心將之平移到相對(duì)靠近的位置。

計(jì)算葉片截面線的幾何中心M1和全部測(cè)量點(diǎn)的幾何中心M2(理論截線方程未知，無法運(yùn)用積分法進(jìn)行幾何中心求解，故采用等參數(shù)法將其分割為n份，用點(diǎn)集的幾何中心近似表示)

(5)

將測(cè)量點(diǎn)集整體沿矢量

(6)

平移，平移結(jié)果如圖6中Pi′所示。

圖6 測(cè)量點(diǎn)平移示意圖

(2)航發(fā)葉片多為片狀，本文采用分別計(jì)算截面曲線和測(cè)量點(diǎn)集中距離最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，連接它們生成的直線l1、l2，以其矢量V1、V2的夾角為旋轉(zhuǎn)角度，將之近似對(duì)齊。

將測(cè)量點(diǎn)集旋轉(zhuǎn)角度

(7)

其中：V1，V2分別代表l1、l2的矢量。旋轉(zhuǎn)結(jié)果如圖7中Pi所示。

圖7 測(cè)量點(diǎn)旋轉(zhuǎn)示意圖

3.2 精確匹配

由于采用理論截面線為匹配基準(zhǔn)，所以為了提高匹配精度，每次迭代后，重新求取變換后測(cè)量點(diǎn)集在理論截線上的對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)。其中測(cè)量點(diǎn)Pi(xi,yi,zi)，通過第2節(jié)所述最近點(diǎn)集的求取算法，獲得每點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)Qi(ai,bi,ci)。

測(cè)量點(diǎn)集到理論截線的匹配模型適合度函數(shù)選擇點(diǎn)集到截線的誤差平方和，則目標(biāo)函數(shù)為

(8)

式中：

Pi—實(shí)際生產(chǎn)模型上實(shí)際點(diǎn)的坐標(biāo)；

Qi—CAD模型上與實(shí)際生產(chǎn)模型上點(diǎn)最近點(diǎn)的坐標(biāo)；

di—實(shí)際生產(chǎn)測(cè)量點(diǎn)與CAD模型上截面線的最點(diǎn)的距離；

2.2.4 結(jié)果比較 3種預(yù)處理方法得到的枸杞子外觀和色澤無顯著差異；但特性量值是否發(fā)生顯著變化需要進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證；但減壓干燥法較液氮凍干法、凍干法更省時(shí)，節(jié)能。

R—旋轉(zhuǎn)矩陣

；

T—平移矩陣

。

即

(9)

由最小二乘法可知，當(dāng)距離的平方和最小時(shí)才滿足校準(zhǔn)要求，因而得到最小目標(biāo)函數(shù)如下：

(10)

把式(9)代入式(10)可得：

(11)

要使該式取得最小值，需滿足三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為零，即：

(12)

通過計(jì)算：

(13)

式中：

即可先算出γ，再代入式(13)即可求出Lx，Ly，代入平移及旋轉(zhuǎn)矩陣。最后由最小二乘法根據(jù)計(jì)算誤差限定值ε進(jìn)行匹配。

3.3 匹配優(yōu)化

通過觀察匹配結(jié)果可知：目標(biāo)函數(shù)匹配每次迭代得到的變換結(jié)果之間存在一定的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律是當(dāng)?shù)螖?shù)超過20次后誤差平方和變化不大，由圖8a可見；最大誤差值在20次迭代左右出現(xiàn)極小值，由圖8b可見。

(a)每次迭代的誤差平方和 (b)每次迭代的最大誤差值圖8 目標(biāo)函數(shù)匹配結(jié)果

經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，上述規(guī)律均存在，由此可確定測(cè)量點(diǎn)集轉(zhuǎn)換后的最大誤差值應(yīng)該存在一個(gè)最小值，該值必定位于目標(biāo)函數(shù)匹配中最大誤差值取得極小值時(shí)的上次變換與下次變換的區(qū)間內(nèi)。采用區(qū)間搜索法尋找葉片真實(shí)最大誤差值的最小點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的變換矩陣，這時(shí)的變換矩陣即本文所要求的坐標(biāo)變換矩陣。

本文采取誤差平方和最小和最大誤差值最小兩種評(píng)判準(zhǔn)則進(jìn)行整體分析，相對(duì)只是目標(biāo)函數(shù)求解可減少1/2～2/3的迭代次數(shù)，并將最大誤差控制在較小范圍內(nèi)。其優(yōu)化思路為：當(dāng)?shù)^程中出現(xiàn)誤差最大值開始變大時(shí)，停止最小二乘法迭代。同時(shí)，提取誤差最大值最小時(shí)變換矩陣的參數(shù)(Lxm，Lym，γm)，以及上一次迭代和下一次迭代的變換矩陣參數(shù)(Lxs，Lys，γs)和(Lxe，Lye，γe)，將兩側(cè)區(qū)域分別劃分為相同大小的區(qū)域，計(jì)算各自控制點(diǎn)轉(zhuǎn)化后誤差最大值，其最優(yōu)變換結(jié)果一定位于誤差最大值最小時(shí)對(duì)應(yīng)變換值的鄰域中，直到鄰域小于給定誤差限定值δ時(shí)，認(rèn)為此轉(zhuǎn)換矩陣為最優(yōu)變換矩陣。將測(cè)量點(diǎn)集經(jīng)最優(yōu)轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)化后得到最終測(cè)量值Piz(xiz,yiz,ziz)。

匹配優(yōu)化流程圖如圖9所示。

圖9 測(cè)量點(diǎn)匹配優(yōu)化流程

4 實(shí)例驗(yàn)證

將某航發(fā)葉片(如圖10)在?？怂箍等鴺?biāo)測(cè)量機(jī)上進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果進(jìn)行測(cè)頭半徑補(bǔ)償后采用本文算法進(jìn)行后續(xù)處理。

圖10 檢測(cè)中的航發(fā)葉片

航發(fā)葉片某一檢測(cè)截面數(shù)據(jù)處理如下：原始點(diǎn)數(shù)據(jù)如圖12a所示，其中初始匹配、精確匹配、匹配優(yōu)化所需變換矩陣參數(shù)如圖11所示，最終轉(zhuǎn)換結(jié)果如圖12b所示。

(a)坐標(biāo)平移距離

(b)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角度圖11 最小二乘法迭代示意圖

(a)測(cè)量原始點(diǎn) (b)測(cè)量點(diǎn)集匹配結(jié)果圖12 測(cè)量數(shù)據(jù)原始點(diǎn)與匹配后的對(duì)比

對(duì)于同一葉片，根據(jù)圖紙檢測(cè)要求一般檢測(cè)多個(gè)截面，本文所檢測(cè)葉片體積較小，故檢測(cè)了5個(gè)截面。圖紙要求檢測(cè)截面間允許輪廓度誤差為0.08mm，扭轉(zhuǎn)誤差為±12′，而本文所提供算法所需坐標(biāo)變換值如下表所示，X方向最大偏移誤差為0.07458mm，Y方向最大偏移誤差為0.08598mm，最大旋轉(zhuǎn)誤差為0.00106°(約為0.06′)，完全符合要求。

表1 偏移結(jié)果數(shù)據(jù)

本文研究?jī)?yōu)化匹配算法所得數(shù)據(jù)與市場(chǎng)上常用?？怂箍等鴺?biāo)檢測(cè)機(jī)匹配數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果如圖13所示。

圖13 匹配結(jié)果與?？怂箍灯ヅ浣Y(jié)果對(duì)比

其中，匹配結(jié)果與?？怂箍祷疽恢?，但本文所提優(yōu)化匹配算法最大誤差值為0.36795，?？怂箍迪到y(tǒng)結(jié)果則為0.3802。

5 結(jié)論

本文提出了一種求解點(diǎn)集到封閉曲線的最近點(diǎn)集的算法，保證測(cè)量點(diǎn)集在曲線上對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)集的連續(xù)性，為測(cè)量點(diǎn)集與理論截線的優(yōu)化匹配算法做基礎(chǔ)。測(cè)量點(diǎn)集與理論截線的優(yōu)化匹配算法與單一目標(biāo)匹配優(yōu)化方法相比，效率大幅度提升；與?？怂箍禉z測(cè)結(jié)果基本一致，精度方面有所提升。實(shí)例驗(yàn)證該算法是可行的，可為后續(xù)加工生產(chǎn)提供數(shù)據(jù)依據(jù)。

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(編輯 李秀敏)

Research on Processing Method of Measuring Data Error of Precision Forging Aeroengine Blade

ZHANG Ming-de，LUO Chong，ZHANG Wei-qing，CAI Han-shui，XIE Le

(School of Mechanical Engineering,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)

Aiming at the problem of error evaluation when the processing environment of the automatic production line of the precision forging aeroengine blade is relatively poor, an optimal matching algorithm of the measuring point set and the theoretical truncation line is proposed according to the cross section method commonly used in the domestic blade actual inspection. The method includes the initial match, the exact match and the matching optimization of the measurement point set and the theoretical stub.In order to obtain a more precise leaf shape error, a new algorithm for finding the closest point set between the measurement point set and the theoretical stub is suggested based on the relationship of the measurement point set and the theoretical section line. The examples were used to verify the effectiveness and practicality of the proposed method,improves the detection efficiency and improve the measurement accuracy, the data provide a basis for subsequent finishing process.

blade measurement；data processing；matching；precision forging aeroengine blade

1001-2265(2017)01-0057-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.016

2016-09-26

“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備”國(guó)家科技重大專項(xiàng)項(xiàng)目航空發(fā)動(dòng)機(jī)精鍛葉片自適應(yīng)砂帶磨削中心研制及其應(yīng)用(2014ZX02001031);國(guó)家自然科學(xué)基金(51275545)

張明德(1975—)，男，四川蒼溪縣人，重慶理工大學(xué)副教授，碩士，研究方向?yàn)閺?fù)雜曲面零件智能化設(shè)計(jì)制造及檢測(cè)，(E-mail)zmd@cqut.edu.cn；通訊作者：羅沖(1990—)，男，河南南陽人，重慶理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)閺?fù)雜曲面零件智能化設(shè)計(jì)制造及檢測(cè)，(E-mail)873886891@qq.com。

TH166;TG506

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