■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

"七大意識(shí)"應(yīng)對(duì)二項(xiàng)式定理

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是每年高考必考的內(nèi)容之一,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中較為獨(dú)特的一部分知識(shí),內(nèi)容雖不多,但分散于教材及習(xí)題的解法卻蘊(yùn)含了待定系數(shù)法、構(gòu)造法、特殊值法和逆向思維等高中數(shù)學(xué)的基本思想方法。因此,對(duì)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)也是比較集中學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)思想方法、提高思維能力的好機(jī)遇。同學(xué)們通過學(xué)習(xí),對(duì)思維能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高是十分有益的。

1.通項(xiàng)公式意識(shí)

凡涉及展開式的項(xiàng)及其系數(shù)(如常數(shù)項(xiàng)、某項(xiàng)的系數(shù))問題,常要先寫出其通項(xiàng)Tr+1=·an-r·br(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*),然后再根據(jù)題意列出相應(yīng)式子進(jìn)行求解,有時(shí)需要建立方程才能解決。

分析:寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),令其對(duì)應(yīng)的x的指數(shù)為3,判斷相應(yīng)的r的值,再求解對(duì)應(yīng)的項(xiàng),得到相應(yīng)的系數(shù)。

解:二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

則展開式中x3的項(xiàng)為T5=21·C45·x3= 10x3,x3的系數(shù)為10,故答案為10。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查二項(xiàng)展開式及其計(jì)算。這是應(yīng)用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)的典型問題,通過通項(xiàng)寫出所需的項(xiàng),再利用方程思想,根據(jù)條件列出方程,有時(shí)還要先解出相應(yīng)n的值,從而解出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值。

2.基本性質(zhì)意識(shí)

二項(xiàng)式定理的基本性質(zhì)的應(yīng)用有:求與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng),求二項(xiàng)式系數(shù)的和以及偶數(shù)項(xiàng)或奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等。

分析:根據(jù)二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和,及組合數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)n的值,再利用通項(xiàng)公式來確定常數(shù)項(xiàng)。

解:由題意并結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可知: 2n=256,解得n=8。

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=·

點(diǎn)評(píng):本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的和,以及二項(xiàng)展開式及其計(jì)算,同時(shí)考查方程思想。解決此類問題的關(guān)鍵是抓住二項(xiàng)式定理的基本性質(zhì)來確定相應(yīng)的參數(shù)值,為進(jìn)一步分析及求解奠定基礎(chǔ)。

3.系數(shù)配對(duì)意識(shí)

凡涉及兩個(gè)二項(xiàng)式的積或可化為兩個(gè)二項(xiàng)式的積的展開式中某項(xiàng)系數(shù)的問題,通常結(jié)合乘法分配律,利用相關(guān)的系數(shù)配對(duì)來進(jìn)行解決。

(2014年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第13題)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為____。(用數(shù)字填寫答案)

分析:要研究展開式中的x2y7的系數(shù),結(jié)合(x-y)與(x+y)8的特征,只要對(duì)應(yīng)求出(x+y)8中xy7的系數(shù)、x2y6的系數(shù),與(x-y)中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相乘,最后再相加,即為所要求解的項(xiàng)的系數(shù)。

解:由題意知(x+y)8的展開式中xy7的系數(shù)為=8,x2y6的系數(shù)為=28,則(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為8-28=-20,答案為-20。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查二項(xiàng)式定理中求特定項(xiàng)的系數(shù)問題。求多項(xiàng)式與二項(xiàng)式的積的展開式,既要靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理,又要注意多項(xiàng)式的乘法法則的靈活運(yùn)用。只有這樣,才能準(zhǔn)確地把握它們的展開式中各項(xiàng)的規(guī)律,使得解題過程準(zhǔn)確無誤。

4.方程函數(shù)意識(shí)

在二項(xiàng)式定理的有關(guān)問題中,二項(xiàng)式定理往往和函數(shù)、方程等相關(guān)知識(shí)加以綜合,根據(jù)題中條件,把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題,通過解函數(shù)或確定方程值來達(dá)到目的。

(2014年浙江卷理科第5題)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=( )。

A.45 B.60 C.120 D.210

分析:結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式中對(duì)應(yīng)系數(shù)的求法,利用函數(shù)思想確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,并結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算來求解。

解:由題意知含xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m, n)=。

那么f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ f(0,3)=

故答案為C。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用,以及函數(shù)值的求法。通過二項(xiàng)式定理對(duì)通項(xiàng)公式中對(duì)應(yīng)系數(shù)的分析,確定函數(shù)關(guān)系式,再通過組合數(shù)的計(jì)算使問題得到解決。

5.賦值運(yùn)算意識(shí)

對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題,首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),其次要掌握賦值運(yùn)算法,賦值運(yùn)算法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題的一個(gè)行之有效的手段。

(2015年課標(biāo)Ⅱ理科第15題) (a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=。

分析:根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出相應(yīng)的展開式,通過對(duì)x賦特殊值,再結(jié)合相關(guān)的系數(shù)關(guān)系來確定相應(yīng)的參數(shù)值。

解:設(shè)(a+x)(1+x)4=a0x5+a1x4+ a2x3+a3x2+a4x+a5。

令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5= 16(a+1)。

令x=-1,可得-a0+a1-a2+a3-a4+a5=0。

整理可得a0+a2+a4=8(a+1)=32,解得a=3,故答案為3。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用及二項(xiàng)式系數(shù)和,也考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想和等價(jià)變形的能力。二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式,對(duì)一切x的值都能成立。當(dāng)求展開式的系數(shù)或者證明有關(guān)組合數(shù)的恒等式時(shí),常常用此方法——賦特殊值,常見的解法是令x的值為1,-1或0。

6.轉(zhuǎn)化變形意識(shí)

在二項(xiàng)式定理的有關(guān)問題中,經(jīng)常會(huì)見到多于二項(xiàng)的多項(xiàng)式(三項(xiàng)或者多于三項(xiàng)),求解時(shí),主要是把多項(xiàng)式問題轉(zhuǎn)化變形為相關(guān)的二項(xiàng)式定理的問題來分析求解。

分析:先對(duì)含有三項(xiàng)的二項(xiàng)式加以展開,注意轉(zhuǎn)化變形,再通過二項(xiàng)式求解對(duì)應(yīng)的系數(shù),正確的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查運(yùn)用二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng),解題時(shí)要特別注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。通過把較為復(fù)雜的二項(xiàng)式問題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式問題來處理,使得解題過程去繁為簡(jiǎn)。

7.不等式意識(shí)

在二項(xiàng)式定理的有關(guān)問題中,經(jīng)常會(huì)碰到展開式的項(xiàng)或?qū)?yīng)的系數(shù)包含有參數(shù)的取值范圍的問題,必須根據(jù)不等關(guān)系建立相關(guān)的不等式,通過求解不等式來求解相關(guān)問題。

分析:利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,結(jié)合題中展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)建立關(guān)系式,得到ab=1,進(jìn)而再利用基本不等式來確定所求式的最值問題。

解:由于展開式的通項(xiàng)Tr+1=Cr6·

令12-3r=3,得r=3。

根據(jù)基本不等式有a2+b2≥2ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,且ab=1時(shí),等號(hào)成立。

故a2+b2的最小值是2,答案為2。

點(diǎn)評(píng):深刻理解二項(xiàng)式定理,充分把二項(xiàng)展開式與題目中的代數(shù)式的最值問題加以綜合與交匯,利用基本不等式來確定最值。在實(shí)際應(yīng)用中,往往把相關(guān)的二項(xiàng)式定理問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式等問題,再利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來分析與求解。

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí),應(yīng)結(jié)合二項(xiàng)式定理中的典型實(shí)例,認(rèn)真做好基本方法的梳理工作,通過精心配置例題和習(xí)題,進(jìn)行知識(shí)、方法和技巧的訓(xùn)練,才能真正掌握二項(xiàng)式定理。

(責(zé)任編輯 徐利杰)