■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

解排列組合題時常見的幾類錯誤

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

一、因沒有理解兩個基本原理而致錯

排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理,即加法原理和乘法原理,“分類用加,分步用乘”是解決排列組合問題的基礎。

從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各2臺,則不同的取法有____種。

錯解:因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機,所以只有2種取法。

剖析:錯解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務的兩“類”辦法,但每類辦法中還有不同的取法。

正解:由剖析知,完成任務有兩類辦法,完成第一類辦法還可以分成兩步:第一步在原裝計算機中任意選取2臺,有種方法;第二步是在組裝計算機任意選取3臺,有種方法,據(jù)乘法原理共有·種方法。同理,完成第二類辦法中有·種方法。綜上,選法共有

二、因判斷不出是排列還是組合而致錯

在判斷一個問題是排列還是組合問題時,主要看元素的組成有沒有順序性,有順序的是排列,無順序的是組合。

把大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球排成一排,共有多少種不同的排法?

剖析:錯解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的,5個白色小球也是完全相同的,同色球之間互換位置是同一種排法。

正解:8個小球排好后對應著8個位置,題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球,剩下的位置給白球,由于這3個紅球完全相同,所以沒有順序差別,是組合問題,這樣共有=56(種)排法。

三、因重復計算而致錯

在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等,這些問題要注意避免重復計數(shù)而產(chǎn)生錯誤。

某交通崗共有3人,從周一到周日的7天中,每天安排1人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有____種。

錯解:第一個人先挑選2天,第二個人再挑選2天,剩下的3天給第3個人,這三個人再進行全排列,共有=1260(種)不同排法。

剖析:這里是均勻分組問題。比如:第一人挑選的是周一、周二,第二人挑選的是周三、周四;也可能是第一個人挑選的是周三、周四,第二人挑選的是周一、周二,所以在全排列的過程中就重復計算了。

四、因忽視題設條件而致錯

在解決排列組合問題時,一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號,不然就可能多解或者漏解。

已知ax2-b=0是關于x的一元二次方程,其中a,b∈{1,2,3,4},求解集不同的一元二次方程的個數(shù)。

錯解:從集合{1,2,3,4}中任意取2個元素作為a、b,方程有個,當a、b取同一個數(shù)時方程有1個,共有+1=13(個)方程。

剖析:錯解中沒有注意到題設中:“求解集不同

正解:由分析知,共有13-2=11(個)解集不同的一元二次方程。

(責任編輯 徐利杰)