杜 綱， 賈正晞,2， 熊奕璇，張綺帆

(1.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部, 天津 300072； 2.中國(guó)工商銀行風(fēng)險(xiǎn)管理部， 北京 100140)

委托代理模式下投資組合選擇的主從關(guān)聯(lián)優(yōu)化

杜 綱1， 賈正晞1,2， 熊奕璇1，張綺帆1

(1.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部, 天津 300072； 2.中國(guó)工商銀行風(fēng)險(xiǎn)管理部， 北京 100140)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和財(cái)富的增加，投資的大眾化和分工的專業(yè)化趨勢(shì)日益明顯，委托代理成為重要投資決策模式。在分析了委托代理模式下投資組合選擇優(yōu)化問題屬性的基礎(chǔ)上，建立了Stackelberg博弈機(jī)制下投資組合選擇的雙層規(guī)劃模型。模型上層是委托方選擇投資方向的決策，下層是代理方選擇投資品的決策，上下層分別以委托方和代理方的收益率最大化為目標(biāo)，風(fēng)險(xiǎn)成本和代理費(fèi)用對(duì)委托方的收益率產(chǎn)生重要的影響。針對(duì)該雙層規(guī)劃模型的特點(diǎn)，采用雙層嵌套遺傳算法進(jìn)行求解，并以銀行委托外部投資的應(yīng)用案例說明了模型和方法的可行性。

委托代理理論； 投資組合選擇； 主從關(guān)聯(lián)優(yōu)化； 雙層規(guī)劃； 遺傳算法

一、 相關(guān)理論及模型的提出

1. 委托代理理論

1973年，Ross首先提出現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的委托代理概念，即代理人替代委托人決策，雙方建立委托代理關(guān)系[1]。近年來，委托代理理論應(yīng)用于金融領(lǐng)域取得了若干成果：盛積良和馬永開提出了基于基準(zhǔn)組合的線性合同能使雙方實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)收益最優(yōu)[2]；Alexandar和Baptista以風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值作為代理方約束，以減少當(dāng)委托方和代理方目標(biāo)不一致時(shí)委托方風(fēng)險(xiǎn)[3]；李仲飛和劉冰冰建立了單期均值-方差模型以求解信息對(duì)稱和不對(duì)稱時(shí)最優(yōu)線性合同[4]；盛積良和馬永開以總風(fēng)險(xiǎn)為約束建立委托代理投資組合選擇模型[5]；Lioui和Poncet通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型證明受到委托方的約束，代理方無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)收益[6]；Cecchini等人指出，線性模型雖有封閉解析解，但激勵(lì)機(jī)制的非線性特征適宜雙層規(guī)劃建模[7]；王健等人建立動(dòng)態(tài)逆向選擇模型以揭示影響激勵(lì)效率的主要因素[8]。

2. 投資組合選擇理論

投資組合選擇的研究成果有：Deng等人針對(duì)收益率為區(qū)間時(shí)投資組合選擇問題建立極小極大模型[9]；魏丹和單鋒基于條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值建立了投資組合優(yōu)化模型，并轉(zhuǎn)化成為線性規(guī)劃求解[10]；馬宇紅和王艷玲使用遺傳算法求解帶基數(shù)約束的均值-方差模型[11]；張茂軍等人以條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為約束建立了隨機(jī)優(yōu)化模型，采用Monte Carlo罰函數(shù)算法進(jìn)求解[12]。

3. 雙層規(guī)劃模型

雙層規(guī)劃由于抽象了包括Stackelberg博弈問題的重要實(shí)際背景，以及在描述主從多主體問題上的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，自Bracken和McGill提出以來，很快發(fā)展成為數(shù)學(xué)規(guī)劃中的重要分支[13]。近年來，Kalashnikov等人關(guān)于雙層規(guī)劃的綜述文章參考文獻(xiàn)達(dá)119篇[14]。其解析方法如Fortuny和McCarl提出的，利用KKT條件轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃的方法和Bialas和Karwan提出的K次最好法，主要是針對(duì)線性或凸等性狀較好的雙層規(guī)劃問題[15-16]。Ye和Zhu等人基于值函數(shù)思想的最優(yōu)性條件和Sakawa等人基于模糊交互思想的近似算法。Dempe 和Zemkoho對(duì)基于最優(yōu)值和KKT條件轉(zhuǎn)換求解的方法進(jìn)行了統(tǒng)一描述[17-19]。

遺傳算法在復(fù)雜優(yōu)化模型求解方面具有較好的適用性。Liu和Zhang采用遺傳算法對(duì)多階段模糊投資組合選擇模型進(jìn)行求解[20]。Wang等人在供應(yīng)鏈的產(chǎn)品族架構(gòu)設(shè)計(jì)中采用雙層規(guī)劃建模和遺傳算法求解[21]。研究基于遺傳算法的雙層規(guī)劃近似計(jì)算方法具有重要意義。

以往文獻(xiàn)主要具有以下特點(diǎn)：一是多數(shù)投資組合優(yōu)化研究?jī)H考慮委托方?jīng)Q策模型往往是單層的，未能充分反映上下層的約束及關(guān)聯(lián)關(guān)系；二是多數(shù)模型關(guān)注成本和費(fèi)用對(duì)決策的影響，較少考慮風(fēng)險(xiǎn)，而實(shí)際決策中風(fēng)險(xiǎn)是影響委托方?jīng)Q策的重要因素。

二、 問題描述及決策機(jī)制

1. 問題描述

委托方欲通過建立的系列投資組合P=(P1,…,PJ)(投資組合集合)最大化投資收益。投資組合是由某個(gè)或某幾個(gè)投資方向中若干投資品組成，投資組合選擇包括兩個(gè)層次的選擇：一是投資方向的選擇；二是某個(gè)投資方向中的投資品選擇，二者相互關(guān)聯(lián)且具有主從關(guān)系(見圖1)。委托方確定投資方向k(k=1,…,K)，每個(gè)投資方向中有若干候選方向lk，每個(gè)候選方向中又有若干投資品Sl。

委托方選擇候選方向后，將具體投資品的選擇委托給代理方，代理方選擇該候選方向下的投資品。從收益與風(fēng)險(xiǎn)的平衡出發(fā)，為避免選擇單一代理方可能出現(xiàn)的集中度風(fēng)險(xiǎn)，委托方將投資委托給多個(gè)代理方。由于不同代理方提供的投資品的選擇方案不同，形成了投資組合集合P。最終，委托方將在投資組合集合中選擇一個(gè)或多個(gè)投資組合，希望投資收益率最大化。

2. 主從對(duì)策的決策機(jī)制

本文問題是在委托代理模式下如何選擇投資組合的投資方向同時(shí)配置投資品。委托方在選擇投資方向時(shí)，既要考慮投資組合的風(fēng)險(xiǎn)成本又要考慮費(fèi)用成本(代理方收取的代理費(fèi)用)，屬于先決策，目標(biāo)是收益最大化；代理方是在投資方向確定的條件下，選擇投資品，屬于后決策，目標(biāo)是代理費(fèi)用最大化。代理方?jīng)Q策的目標(biāo)最優(yōu)值將作為委托方?jīng)Q策的目標(biāo)函數(shù)的組成部分，對(duì)委托方對(duì)投資方向的選擇產(chǎn)生影響。因此，這種委托代理的投資組合選擇可以看成主從雙層規(guī)劃問題。如果委托方是一個(gè)，代理方是多個(gè)，則該問題可看作一主多從的雙層規(guī)劃問題。

maxF(C,A)

s.t.A(C)R(C)

式中：A為委托方確定主決策變量C后的最優(yōu)解，由此得到模型最優(yōu)解(C*,A*)；C*為委托方的最優(yōu)決策向量；A*為代理方的最優(yōu)決策向量。

上述決策機(jī)制得到的最優(yōu)投資組合選擇方案體現(xiàn)了委托代理模式下投資方向選擇和投資品選擇的主從關(guān)系，恰當(dāng)反映了實(shí)際問題的本質(zhì)屬性。該決策過程可以表示為雙層規(guī)劃模型，即

G(C)≥0

s.t.H(C)=0

g(C)≥0

s.t.h(C)=0

下層模型將最優(yōu)解和最優(yōu)值均反饋給上層。上層的約束集D={A|G(C)≥0,H(C)=0}，下層約束集D(C)={A|g(C,A)≥0,h(C,A)=0}。當(dāng)C*D，A*R(C*)且對(duì)任意CD，AR(C)，有F(C,A)≤F(C*,A*)，則(C*,A*)為該雙層模型最優(yōu)解。

三、 優(yōu)化模型

1. 上層主決策(委托方?jīng)Q策)

(一) 委托方?jīng)Q策的假設(shè)

(1) 委托方只有一個(gè)，代理方與投資組合一一對(duì)應(yīng)(有J個(gè))，即每個(gè)代理方提供一種投資組合的投資品配置方案，且均不相同。

(2) 某種投資組合是由不同的投資方向組合構(gòu)成，至少包括一個(gè)投資方向。

(3) 每個(gè)投資方向有多個(gè)候選方向，每個(gè)候選方向下有多個(gè)投資品。

(4) 所有代理方可能提供的投資組合構(gòu)成一個(gè)投資組合集合P，委托方在P中選擇至少一個(gè)投資組合實(shí)現(xiàn)投資目標(biāo)。

(5) 交易成本為0，委托方的總成本就是代理方收取的費(fèi)用。

(二) 委托方的決策變量

投資組合的選擇(Pj)為Y=(y1,…,yJ)，yj為委托方對(duì)投資組合Pj的選擇變量。

投資方向中候選方向的選擇(lk)為X=(x1,…,xjKLK)，xjkl為在投資方向k中，委托方對(duì)候選方向lk的選擇變量。

(三) 委托方目標(biāo)

委托方經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)和成本調(diào)整后的收益率最大化，即預(yù)期收益率減去風(fēng)險(xiǎn)成本(具有波動(dòng)性和不確定性)和費(fèi)用成本(代理方的收益)的差，不包括預(yù)先已經(jīng)確定的交易成本。

委托方費(fèi)用成本是代理方的收益率fj(Z)，包括固定費(fèi)率和超額收益管理費(fèi)率。

(四) 委托方的投資要求(上層約束)

加權(quán)平均收益函數(shù)為

用于計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)成本的加權(quán)平均方差函數(shù)為

所有資金被完全投資，各投資方向的權(quán)重之和為1，即

若選定一個(gè)投資方向后，只能在該方向中選擇一個(gè)候選方向，不可多選，即

各投資組合Pj差異性，即

委托方至少選擇一個(gè)投資組合，即

選擇變量約束yj,xjkl∈{0,1}j=1,…,J;k=1,…,K;l=1,…,LK

2. 下層從決策(代理方?jīng)Q策)

(一) 代理方?jīng)Q策的假設(shè)

(1) 只要委托方選定某個(gè)投資方向，則代理方一定要在該方向中選擇一個(gè)投資品。

(2) 所有代理方對(duì)投資品的配置集合構(gòu)成投資組合集合P，委托方只能在該集合中選擇。

(二) 代理方的決策變量

投資品配置方案Z=(z1,…,zJKS)，其中zjks為委托方選定投資方向k中候選方向lk后，代理方對(duì)相應(yīng)候選方向lk中的投資品s的選擇變量，且每個(gè)代理方對(duì)應(yīng)一個(gè)投資組合Pj。

(三) 代理方的目標(biāo)函數(shù)

代理方最大化自身收益(這部分就是委托方的費(fèi)用成本)，即

(四) 代理方受到的約束(下層約束)

(1) 由委托方確定投資方向和投資權(quán)重后，代理方需要在該候選方向中選擇相對(duì)應(yīng)的投資品，只要委托方選定一個(gè)候選方向，代理方就需要對(duì)該候選方向中的投資品進(jìn)行選擇。

(2) 選擇變量約束zjks∈{0,1}s=1,…,S。

3. 數(shù)學(xué)模型

由上式得到雙層規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為

yj,xjkl∈{0,1},j=1,…,J;k=1,…,K;l=1,…,LK

zjks∈{0,1}s=1,…,S

四、 求解方法

投資組合可選方案數(shù)量一般較大，模型為非線性非凸的復(fù)雜情形，采用嵌套遺傳算法直接對(duì)上述建立的雙層模型進(jìn)行求解，算法流程(見圖2)。先產(chǎn)生上層模型的初始種群，驗(yàn)證其是否滿足上層約束，然后將每個(gè)可行的上層染色體代入下層模型。下層模型利用遺傳算法求解出最優(yōu)決策變量和最優(yōu)值，同時(shí)把最優(yōu)值返回給上層以求解上層決策的適應(yīng)度值。隨后將上層決策種群進(jìn)行選擇、交叉、變異等，按照此步驟循環(huán)一定的次數(shù)后得到上層模型的最優(yōu)解和相應(yīng)下層模型最優(yōu)解的近似值。

五、 案例分析

約有萬億規(guī)模的銀行理財(cái)資金通過委托外部投資業(yè)務(wù)入債市、股市。銀行在理財(cái)資金募集和銷售上具有優(yōu)勢(shì)，專業(yè)投資機(jī)構(gòu)在具體投資品的選擇上專業(yè)性更強(qiáng)。在委托代理模式下，銀行選擇投資方向，并委托給外部專業(yè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行投資品配置，以追求多元化資產(chǎn)配置和較高的收益。因此，銀行急需建立科學(xué)的投資組合篩選方法和選擇標(biāo)準(zhǔn)。

本文以銀行的委托外部投資業(yè)務(wù)為例，驗(yàn)證上述模型和解法的可行性。整個(gè)委托外部投資中的投資組合及投資品配置過程(見圖3)。

表1 已知參數(shù)一覽表

注：數(shù)據(jù)來源于 Wind資訊2012—2015年年化收益率、波動(dòng)率和Jensenα。

固定費(fèi)率和超額收益管理費(fèi)率分別寫成向量形式，即

將以上數(shù)據(jù)帶入模型，利用Matlab進(jìn)行遺傳算法編碼。設(shè)定初始種群規(guī)模為50，交叉概率為0.8，變異概率為0.01，迭代次數(shù)為200。上層模型染色體的長(zhǎng)度也就是所有投資方向的候選方向?yàn)镴×K×L，染色體中的每個(gè)基因代表一個(gè)候選方向，下層模型染色體長(zhǎng)度為J×K×S，表示所有投資品(見圖4)。為簡(jiǎn)化遺傳算法的迭代次數(shù)，假設(shè)每個(gè)投資候選方向中只能選擇唯一的投資方向，每個(gè)候選方向中只有兩個(gè)投資品，且只能選擇一個(gè)。0代表不選，1代表選擇候選方向中的第一個(gè)或選擇投資品中的第一個(gè)，2代表選擇候選方向中的第二個(gè)或選擇投資品中的第二個(gè)。

種群最優(yōu)個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)隨迭代次數(shù)單調(diào)遞增，最終收斂成一條水平直線，這表明遺傳算法對(duì)雙層優(yōu)化模型的求解過程的尋優(yōu)性和收斂性。通過對(duì)銀行委托外部投資中投資組合的選擇模型進(jìn)行求解，得到上層投資方向的最優(yōu)選擇的同時(shí)，也得到了下層投資品的最優(yōu)選擇。整個(gè)案例的優(yōu)化結(jié)果(見表2)，投資組合的最優(yōu)選擇方案是委托方選擇投資組合4。投資組合4的最優(yōu)投資方向分別為債券方向中的金融債以及保本型的開放式基金，對(duì)應(yīng)的代理方投資品配置方案分別為“12廣州農(nóng)商01債券”和“大成景恒保本基金”。

表2 模型最優(yōu)解和最優(yōu)值的結(jié)果表

六、 結(jié) 語

采用Stackelberg博弈理論分析了委托代理模式下投資組合的選擇的實(shí)際問題。整個(gè)投資組合的選擇決策可以歸結(jié)為主從關(guān)聯(lián)的優(yōu)化問題。委托方在整個(gè)決策中為主者，代理方為從者，以委托方的收益率為優(yōu)化目標(biāo)，依據(jù)主者決策的投資方向，并通過從者選擇投資方向中投資品將其成本反饋給主者，從而影響了主者對(duì)投資組合的選擇。根據(jù)對(duì)上述問題的分析，本文建立了雙層模型實(shí)現(xiàn)了投資組合中投資方向和投資品選擇的主從關(guān)聯(lián)優(yōu)化，同時(shí)體現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)與成本對(duì)委托方收益率的影響。針對(duì)商業(yè)銀行委托外部投資的實(shí)際問題，應(yīng)用本文提出的模型和方法進(jìn)行優(yōu)化求解，結(jié)果表明，雙層規(guī)劃模型適用于解決委托代理模式下的投資組合選擇問題，比單層規(guī)劃模型更加符合實(shí)際；所建立的嵌套遺傳算法對(duì)這類雙層優(yōu)化模型求解的方式是可行的。

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Leader-Followers Joint Optimization of Portfolio Selection in the Principal-Agent Mode

Du Gang1, Jia Zhengxi1,2, Xiong Yixuan1， Zhang Qifan

(1.College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China；2. Head Office Risk Management Department， The Industrial and Commercial Bank of China， Beijing 100140， China)

The popularity of investment and the specialized division of labor become the obvious trend with the economy booming and wealth increasing, so that the decision-making of investment in the principal-agent mode become an important investment form. The study researches on the problem of the optimization of portfolio selection in the principal-agent mode, based on the analysis of the problem attributes, establishes the bi-level programming model of portfolio optimization according to Stackelberg game mechanism. The upper level is the selection of the investment directions by the principal’s choice; the lower is the selection of the investment products by the agent’s choice. The aims of the upper and lower are maximizing the return rate of portfolios from the principal and agent respectively. The risk costs and agent fees have significant effects on the principal’s return rate of portfolios. According to the characteristics of the bi-level programming model, nested genetic algorithm is used to solve it. The case study of the commercial bank’s entrusted investment illustrates the application of the model and the feasibility of the solving methods.

principal-agent theory; portfolio selection; leader-followers joint optimization；bi-level programming; genetic algorithm

2016-05-09.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71371132).

杜 綱(1954— )，女，博士，教授.

賈正唏，jzxsxx@163.com.

F833

A

1008-4339(2017)01-036-07