馬亞男，戴爾晗，陳 誠

(南京郵電大學 自動化學院，江蘇 南京 210023)

多周期信號的小波包方差分析方法

馬亞男，戴爾晗，陳 誠

(南京郵電大學 自動化學院，江蘇 南京 210023)

在多周期結構分析中，最大重疊離散小波變換得到的信號周期具有明顯的局限性。在對比小波方差分析中，提出了用最大重疊離散小波包方差法分析不同尺度小波方差圖、功率譜，從而得到信號周期估計的最大值。實驗結果表明，對信號或時間序列周期結構的分析是一種有效的方法，該方法可以準確估計多周期信號的小波包方差。

功率譜；多周期；小波方差；小波包方差

0 引言

高分辨譜估計是信號處理中的一個熱點問題。一個信號的周期性結構，在光譜分析中有兩種方法：FFT譜估計方法和現(xiàn)代譜估計方法。傳統(tǒng)的傅里葉變換方法只適用于平穩(wěn)信號分析，其分辨率是固定的。當數(shù)據(jù)長度較短時，分辨率較低，且不能同時對高頻信號進行分析。所以，在應用程序中有很大的局限性[1]。近年來，一些研究人員提出了基于小波變換的現(xiàn)代譜估計方法，對頻率分辨率和估計精度有了較大的提高[2-3]。這些方法已逐漸被應用于金融、氣象、水印、海洋、機械、醫(yī)療和電子信號處理領域[4-6]。信號周期旋轉后，功率譜的周期結構發(fā)生變化[7-8]，因此，離散小波變換不能直接用于信號的周期結構分析。

本文將基于MODWT小波方差有效地分析估計信號的頻譜，從而分析信號的周期結構。DWT和MODWT有良好的低頻頻率分辨率,但有較低的高頻頻率分辨率；自然極大重疊離散小波包變換(MODWPT)被認為具有更好的頻率分辨率，高頻率可取代MODWT。由于小波系數(shù)的突出優(yōu)勢和MODWT的縮放系數(shù)滿足平移不變性、各分解層保持相同的分辨率和無相位失真，MODWPT非常適合于非平穩(wěn)信號處理[9]。實驗結果表明，使用基于MODWPT的方法來仿真信號的周期性結構具有良好的效果。

1 小波方差法

1.1 小波方差的定義

(1)

{Xt}基于尺度τj=2j-1的小波方差定義如下：

v2(τj)=var{Wj,t}

(2)

1.2 小波方差估計

(3)

(4)

其中Mj=N-Lj+1，且Lj是第j階等效小波或縮放濾波器的寬度。

2 小波包方差法

(5)

(6)

(7)

3 基于小波包方差周期結構分析

下面有5個正弦周期模擬信號：

xt=sin(2×100πt)+sin(2×175πt)+sin(2×200πt)+sin(2×300πt)+sin(2×320πt)

(8)

頻率分別為f1=100 Hz，f2=175 Hz，f3=200 Hz，f4=300 Hz，f5=320 Hz。周期分別為T1=0.01 s，T2=0.005 7 s，T3=0.005 s，T4=0.003 3 s，T5=0.003 1 s。采樣周期為0.001 s，采樣點的數(shù)量是1 000。因此，該信號可以看作是一個離散時間序列。

式(8)中,xt是在MODWPT基礎上在τ8=28Δt=0.256 s的尺度下由db4小波分解了6層和8層進行小波方差的估計。計算出頻率對應于不同尺度的小波包的頻率區(qū)間。基于MODWPT的小波包方差圖如圖1(a)和(b)所示。圖1(a)表示尺度為0.064s的小波方差。圖1(b)表示尺度為0.256s的小波方差。

從圖1可以看到，小波方差圖可以分為5大峰，其頻率大致為100Hz、175Hz、200Hz、300Hz和320Hz。下一個峰值發(fā)生在最大峰值處。從圖1可以得出結論：分解層數(shù)增加，泄漏更嚴重。

圖1 小波包方差圖

圖2 小波包方差估計

有一個高頻信號如下：

xt=sin(2×20 000πt)+sin(2×20 500πt)

(9)

根據(jù)MODWPT采樣周期是0.000 01s和采樣點的數(shù)量為10 000，信號被分解為10個等級，小波包方差如圖3所示，實際尺度為τj=210Δt=0.010 24 s。對應的兩大峰值的頻率分別為f1≈20 000 Hz,f2≈20 500 Hz。因此，小波包方差的方法可以有效地識別高頻信號周期結構。

圖3 高頻信號的小波包方差圖

當尺度較大時，觀測范圍內的時間軸也較大。例如，一個低頻信號如下：

xt=sin(2×0.4πt)+sin(2×0.5πt)+sin(2×0.6πt)

(10)

采樣周期為0.5s，采樣點的數(shù)量是2 000。在MODWPT基礎上信號可以分解為5層，其中實際尺度τj=16 s，小波包方差圖如圖4所示。三大峰對應的頻率分別為f1≈0.4 Hz,f2≈0.5 Hz,f3≈0.6 Hz。它表明，小波包方差的方法可以有效地識別低頻信號周期結構。

圖4 低頻信號的小波包方差圖

基于MODWPT分析信號的小波包的變異時，理論上可以在低頻或高頻獲得高分辨率。但是由于小波變換的特殊性，當尺度因子減小時，小波包的時域波形變小，這相當于頻率域的波形變寬，意味著帶通濾波器更寬。如果減少了步長因子，小波包方差圖不理想，原因是衰減很慢，并伴隨著泄漏。

4 結論

使用基于MODWT或MODWPT時間信號的多尺度分

析可以避免初始點和信號長度的影響，而且還可以以不同的頻率有效地分解方差的序列?；贛ODWT方法僅在低頻分析小波方差時有效，所以準確性估計的程度是有限的。信號的低頻和高頻域可以分別基于MODWPT被分解，因此可以得到比MODWT更高的分辨率。這表明，小波包方差法能更準確地估計多周期結構。此外，也可以在噪聲信號的多周期結構分析中使用基于小波包方差的方法。仿真結果表明，通過MODWPT分析小波包方差和功率譜，信號周期的頻率可以有效地估計。它提供了一種信號或序列的周期性結構分析的有效方法。

[1] HERLEY C, VETTERLI M. Wavelets and recursivefilter banks[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013,41(8): 2536-2556 .

[2] 李芬華，潘立冬，常鐵原，等.精密頻譜分析系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)[J]. 電力自動化設備,2002,22(12):40-43.

[3] 張瑛，牟龍華，劉軍.電力系統(tǒng)頻率測量及跟蹤[J]. 電力系統(tǒng)及其自動化學報，2003,15(3) :35-36.

[4] AGHAZADEH R,LESANI H,SANAYE-PASAND M,et al.New technique for frequency and amplitude estimation of power system signals[J]. IET Proceedings of Gener. Transm. Distrib.,2005,152(3) :435-440.

[5] NEWLAND D E. Ridge and phase indetification in the frequency analysis of transient signals by harmonIc wavelets[J] .Journal of Vibration and Acoustics, 1999,121(2):149-155 .

[6] SHERLOCK B G,KAKAD Y P. Windowed discrete cosine and sine transforms for shifting data[J].Signal Processing,2001,81(7): 1465-1478 .

[7] 胡蔦慶,溫熙森，陳敏.隨機共振原理在強噪聲背景信號檢測中的應用[J].國防科技大學學報,2001,23(4): 40-44 .

[8] Wang Guanyu. The application of chaoticoscillator stoweak signal detection[J] . IEEE Transactions on Industrial Electronics,2001,46(2): 440-444 .

[9] 李一兵，岳欣，楊莘元．多重自相關函數(shù)在微弱正弦信號檢測中的應用[J].哈爾濱工程大學學報，2004，25(4):525-528.

Wavelet packet variance analysis methods for multi-period signal

Ma Yanan,Dai Erhan,Chen Cheng

(School of Automation, Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023, China)

In the multi-period structure analysis, the period of signal obtained by the maximal overlap discrete wavelet variance has significant limitations. In this paper, in contrast to the wavelet variance analysis, we present a method of maximal overlap discrete wavelet packet variance to analyze the variance diagram or power spectrum at different scales, and then obtain the period of signal by estimating the maximum value. Experimental results show that the method of wavelet packet variance can estimate the multi-period structure of the signal accurately. It is an effective method for signal or time series periodic structure analysis.

power spectrum; multi-period; wavelet variance; wavelet packet variance

TP216+.1

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.03.024

馬亞男，戴爾晗，陳誠.多周期信號的小波包方差分析方法[J].微型機與應用，2017,36(3)：82-84.

2016-08-09)

馬亞男(1994-)，女，碩士研究生，主要研究方向：信號周期檢測。

戴爾晗(1973-)，男，碩士，副教授，主要研究方向：計算機，測控系統(tǒng)，電力電子。

陳誠(1991-)，男，碩士研究生，主要研究方向：信號周期檢測。