時琳川，徐松毅，杜文舉

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081;2.中國人民解放軍69270部隊，新疆 喀什 844000)

窄帶通信中基于Jordan標準型矩陣的噴泉碼研究

時琳川1，徐松毅1，杜文舉2

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081;
2.中國人民解放軍69270部隊，新疆 喀什 844000)

針對在窄帶通信系統(tǒng)中應用分組級噴泉碼技術(shù)面臨分組數(shù)量很少導致譯碼失敗率高的問題，提出采用類Jordan標準型編碼圖案的編譯碼算法，推導了改進算法的理論譯碼成功率，給出了分組長度的最佳取值范圍。分析比較了在窄帶通信系統(tǒng)中應用傳統(tǒng)ARQ機制與分組級噴泉碼機制時的時延性能以及信道利用率，仿真結(jié)果證明應用分組級噴泉碼機制可以提升窄帶通信系統(tǒng)的性能。

噴泉碼；ARQ；Jordan標準型；窄帶通信

0 引言

窄帶通信系統(tǒng)[1-2]由于傳輸速率很低，會帶來傳輸時延較大問題，在采用傳統(tǒng)ARQ[3-4]機制進行差錯控制時，會導致信道利用率降低以及一次報文傳輸所需時間較長等缺點。

采用傳統(tǒng)無反饋的差錯控制機制[5]——隨機度[6]分布噴泉碼技術(shù)，可以減少完成一次消息傳輸所需時間，提升帶寬利用率以及吞吐量。但是在窄帶通信系統(tǒng)中，由于業(yè)務量不多，所需傳輸?shù)南⒎纸M數(shù)量很少，通常在102以下，此時采用隨機度分布編譯碼算法時，噴泉碼[7-8]機制存在譯碼失敗率過高的問題。針對傳統(tǒng)噴泉碼編譯碼算法——隨機度分布編譯碼算法在窄帶通信系統(tǒng)中譯碼失敗率高的問題，本文通過研究線性方程組理論，分析各種特殊矩陣的性質(zhì)，提出一種基于Jordan標準型矩陣的改進型噴泉碼編譯碼算法——定義為類Jordan標準型編譯碼算法。

通過改進噴泉碼編譯碼算法，并在理論和仿真層面來驗證對比改進前后編譯碼算法在當前系統(tǒng)下的譯碼成功率，得到類Jordan標準型編譯碼算法在分組數(shù)量較少情況下的應用可行性。在此基礎上，從理論層面上分析噴泉碼分組長度的最優(yōu)值、信道利用率以及此時系統(tǒng)的時延特性。

1 窄帶通信系統(tǒng)

窄帶通信系統(tǒng)中采用多種通信手段，保證關鍵信息在惡劣電磁環(huán)境下的可靠傳輸，其中主要包括對流層散射[9-10]、流星余跡[11]、中長波等窄帶及大時延傳輸手段。為了確保關鍵信息的可靠傳輸，窄帶通信系統(tǒng)采用并行傳輸協(xié)議[12-13]，對同一條需要傳輸?shù)南⑦M行多路備份傳輸。

整個系統(tǒng)的總體示意圖如圖1所示。

圖1 窄帶通信系統(tǒng)路由示意圖

窄帶通信系統(tǒng)的誤碼率較高，通?？梢赃_到10-4以上?；诖宋锢韺有诺勒`碼率，在上層不采取任何差錯控制機制的情況下，分組錯誤傳輸概率(丟包率)會達到10%。

2 性能分析

2.1 傳統(tǒng)噴泉碼編譯碼算法性能分析

窄帶通信系統(tǒng)中業(yè)務量比較少，不可能像流媒體視頻業(yè)務中的傳輸大量數(shù)據(jù)包。在業(yè)務量較大時，如果采用隨機度[14-15]確定方案進行編碼時，通過發(fā)送大量數(shù)據(jù)包可以使得每一個原始數(shù)據(jù)包多次參與編碼運算，保證一定數(shù)量發(fā)送的編碼包當中含有該原始數(shù)據(jù)包的信息，在信道質(zhì)量較差，丟包率較高的情況下，仍然可以保證一定數(shù)量的接收包中含有該原始數(shù)據(jù)包信息，從而保證完整譯碼。

(a)分組數(shù)為10

(b)分組數(shù)為100

由圖2可知，隨著譯碼開銷[16]的增大，譯碼成功率也隨之增大，但是由于原始分組數(shù)量較少，導致高譯碼成功率所需譯碼開銷太大，并同時驗證了，伴隨著原始分組數(shù)量的增大，隨機度編碼方案的噴泉碼性能也隨之提升。

采用傳統(tǒng)隨機度編碼方案的噴泉碼，如果譯碼開銷在上述應用場景下控制得很低就會導致譯碼失敗率很高。因此提出采用固定度分布方案——類Jordan標準型度確定矩陣，用以在分組數(shù)量低于102的情況下，仍能以較低的譯碼開銷來保證較高的譯碼成功率。

2.2 類Jordan標準型編譯碼方案

對于窄帶通信系統(tǒng)，在物理層之上不采取任何差錯控制措施的情況下，丟包率會達到10%。假設消息分組數(shù)目是N，則類Jordan標準型噴泉碼編碼矩陣如下所示：

采用類Jordan標準型編碼矩陣(該矩陣的左半邊N×N階矩陣就是一個N階Jordan標準型矩陣[17]，所以稱其為類Jordan標準型)，發(fā)送端需要發(fā)送N·(1+pf)個編碼分組(其中pf為丟包率)，對于任意傳輸分組發(fā)生丟失的情況，不需要反饋重傳，接收端仍然可以利用其余接收到的分組進行完整譯碼恢復出原始信息，因為對于該編碼矩陣，當應用于窄帶通信中時，丟包率最高會達到10%(即此時取pf=10%)，任意刪除掉其中的列，接收端恢復出的重建矩陣，仍然是一個N階滿秩矩陣，從求解線性方程組的角度來看，滿秩矩陣是存在唯一可求解的(原始N個消息分組就是解)，即原始信息是可以恢復出來的。

即針對于存在丟包情況窄帶通信系統(tǒng)，類Jordan標準型固定度分布編碼方案，譯碼成功率可以達到100%，因為接收端重建的編碼矩陣總是存在N階滿秩矩陣。

2.3 噴泉碼分組長度分析

設原始分組數(shù)量為N，單個分組的傳輸時間為tf，正確傳輸概率是p，則單個分組的所需要的平均傳輸時間是：

(1)

在發(fā)送節(jié)點處于飽和狀態(tài)時，吞吐量的最大值是：

(2)

在實際中，每一個分組(長度為lfbit)通常包括lhbit的控制信息和ld比特bit的數(shù)據(jù)(lf=lh+ld)。如果分組長度較短，控制比特所占用的比例較大，因而信道利用率下降。如果分組長度較長，在分組傳輸過程中，因信道誤碼率的存在導致分組傳輸差錯的概率較大，這也會導致信道利用率下降。因此存在一個最優(yōu)分組長度，使得信道利用率最高。

設信道誤比特率是pb，在隨機錯誤的信道條件下，分組的差錯率是：

(3)

當pb很小時，上式可近似為：

pf≈lfpb<<1；

(4)

設信道容量是C，此時tf可求得：

(5)

則信道真正用于有用信息傳輸?shù)男?信道利用率)為：

(6)

設lh=8，可得U與ld的關系曲線如圖3所示。

從圖3中可以看出在窄帶通信系統(tǒng)中，當應用分組級噴泉碼時，最佳分組長度在100～200bits之間。

圖3 信道利用率與數(shù)據(jù)比特位數(shù)的關系

2.4 ARQ與噴泉碼的時延性能分析

設ARQ系統(tǒng)中的分組到達過程是速率為λ的Poisson過程[18]，分組長度相同，為一個單位，在窄帶通信系統(tǒng)中，反饋信道與數(shù)據(jù)傳輸信道獨立。在ARQ機制中，一個分組的服務時間，不僅僅是一個分組的一次傳輸時間，而且還應當包括分組的重傳時間和ACK的反饋等待時間。因此，這里的服務時間是一個等效服務時間，它服從一般性分布，可以用M/G/1的隊列模型[19]來描述。

ACK會發(fā)生反饋等待主要是因為ACK在發(fā)送端遇到正在發(fā)送分組的情況，導致ACK必須在等待該分組傳輸完畢后才能完成對自身的接收。ACK在發(fā)送端是否發(fā)生等待，是以一定概率發(fā)生的，設該概率為pw，即ACK等待發(fā)生事件服從二項分布。而該等待時間長度tw，從0～1(完整的一個分組傳輸時間長度)服從[0,1]上的均勻分布。并且ACK等待是否發(fā)生與等待時間長度這2個事件之間相互獨立。

因為tw服從[0,1]上的均勻分布，所以tw的期望易得：

(7)

實際當中，每一個等待ACK其等待的時間長度tw是一個服從[0,1]均勻分布的隨機變量，但是為了方便計算，采取簡化模型的方式，即在后續(xù)計算過程中，認為每一個等待ACK的等待時間均取tw的均值，即：

(8)

前文已知丟包率(分組差錯率)為pf，假設單分組發(fā)生n次重傳，其中k(0≤k≤n)次其ACK發(fā)生在發(fā)送端的等待，因為n次重傳事件與k次等待事件相互獨立，所以該事件發(fā)生的概率為：

(9)

則單分組等效服務平均時間tga(即按照ARQ機制完成對單個分組的完整傳輸過程所需要的平均時間)：

(10)

當采用類Jordan標準型噴泉碼機制時，由于沒有反饋，所以ACK反饋等待時間：

tw≡0；

(11)

(12)

取ACK等待事件發(fā)生概率pw=20%，則ARQ機制和類Jordan標準型噴泉碼機制的單分組等效服務平均時間制隨丟包率的pf的變化曲線如圖4所示。

圖4 單分組等效服務平均時間

3 結(jié)束語

從仿真結(jié)果可以看出，ARQ機制的單分組等效服務平均時間隨丟包率的變化曲線斜率不斷變大，而類Jordan標準型噴泉碼機制的單分組等效服務平均時間隨丟包率的變化曲線斜率不變，即ARQ機制隨著信道質(zhì)量惡化性能也急劇下降，而噴泉碼機制仍然能夠保持穩(wěn)定。并且在丟包率<10%的情況下，即此時應用于窄帶通信系統(tǒng)時，噴泉碼機制的單分組等效服務平均時間也是要小于ARQ機制的。

本文僅在理論層面對改進的噴泉碼機制進行了理論層面的性能分析，下一步將對窄帶通信系統(tǒng)進行建模仿真或結(jié)合實際系統(tǒng)驗證分組級噴泉碼機制及其性能。

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Performance Analysis on Fountain Code Based on Jordan Canonical Matrix in Narrowband Communication

SHI Lin-chuan1,XU Song-yi1,DU Wen-ju2

(1.The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang Hebei 050081,China 2.Unit 69270,PLA ,Kashi Xinjiang 844000,China)

Under the condition of narrowband communication where there are less data blocks than other application scenarios,an advanced coding and decoding algorithm which is related to the normalized Jordan matrix is put forward,because less data blocks can result in decoding failure using the traditional algorithm.By analyzing the coding and decoding process,the successful percentage of decoding in theoretical derivation is proven.The optimal bit numbers in each block are given when group level fountain code is applied in narrowband communication.When ARQ and fountain code are applied in narrowband communication respectively,by analyzing the transmission delay time and the channel utilization,it is proven that the group level fountain code can improve the system performance.

fountain code；ARQ；Jordan matrix；narrowband communication

10.3969/j.issn.1003-3114.2017.01.05

時琳川，徐松毅，杜文舉.窄帶通信中基于Jordan標準型矩陣的噴泉碼研究[J].無線電通信技術(shù),2017,43(1):19-22.

2016-10-12

國家部委基金資助項目

時琳川(1992—)，男，碩士研究生，主要研究方向：無線通信。徐松毅(1963—)，男，研究員，博士，主要研究方向：無線通信。

TN911

A

1003-3114(2017)01-19-4