劉小佑 許友軍 鄭玉軍

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碩士生《泛函分析》課程教學的幾點建議

劉小佑1許友軍1鄭玉軍2

（1.南華大學 數(shù)理學院，湖南 衡陽 421001；2.湖南科技學院 理學院，湖南 永州 425199）

《泛函分析》是數(shù)學類碩士生的一門非常重要的專業(yè)基礎課程。論文從科研經歷及教學實踐出發(fā)，就地方工科類本科高校中應用數(shù)學專業(yè)碩士生的《泛函分析》課程教學進行了討論，并提出了幾點有利于提高該課程教學效果的建議。

泛函分析；專業(yè)基礎課；教學改革

1　引　言

泛函分析是從變分法、積分方程、微分方程、逼近論和理論物理的研究中發(fā)展起來的一個數(shù)學分支。它綜合地運用分析、代數(shù)和幾何的方法，研究無窮維線性拓撲空間和這類空間之間的各種映射的一般性質[1]。作為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，泛函分析在20世紀四五十年代就已經成為一門理論完備、內容豐富的學科。在其發(fā)展的過程中，它與其他學科相互滲透，廣泛應用于幾何、拓撲、微分方程、計算數(shù)學、最優(yōu)化理論等數(shù)學分支中，還廣泛應用于連續(xù)介質力學、量子場論以及工程技術等諸多專業(yè)領域。因此泛函分析被當今科學界喻為“20世紀的微積分”?？紤]到其具有如此的重要性，有關泛函分析的相關課程自然成為高校數(shù)學系本科生和數(shù)學專業(yè)研究生的學位基礎課程之一。其實自從上世紀五十年代以來，泛函分析就一直是世界各國高校數(shù)學系學生必修的一門非常重要的基礎課程。

泛函分析課程內容的高度抽象化使得學生在學習它的過程中感到很難，另一方面老師在教的時候有時也會感到難于表達自己的內心想法。這兩方面的原因導致這門課程的教學效果通常很難讓人滿意。有鑒于此，為了提高該課程的教學效果，高校從事該課程教學的許多一線教師都對該課程的學與教進行了研究，并在有些方面給出了積極的教學建議[2-6]。

2　現(xiàn)狀分析

在本小節(jié)，作者以南華大學最近幾年的實際情況為基礎，并在調研了幾所同級別的地方工科類本科高校后，指出了目前地方工科類高校中數(shù)學碩士生泛函分析課程教學中所面臨的一些問題。這些問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一、招生規(guī)模相對較?。ㄍǔW生人數(shù)在幾個到十幾個左右）；二、課程教學課時數(shù)相對較少；三、教學方式相對單一，主要是傳統(tǒng)的黑板講授方式；四、不同于國家重點高校，地方高校師資力量和生源質量相對較弱。以上這些不足導致一些在別的學校可行的教學方式或方法在該類高校中不具有可行性，比如分組討論、研討式教學等等。正因為如此，我們不能一味地照搬其它高校的成熟的教學方法，而是應探索符合本校校情的教學方法。

3　教學建議

作為數(shù)學類碩士生必修的專業(yè)基礎課程之一，課程泛函分析在學生的培養(yǎng)過程中其重要性不言而喻。在某種意義上可以說，泛函分析教學效果的好壞直接關系到學生科研能力的培養(yǎng)以及學生將來繼續(xù)深造的競爭力。

在這一小節(jié)，針對上面提到的目前我們在該課程教學中所存在的問題，我們將以最近幾年來該課程的教學實踐為基礎，對如何提高泛函分析課程的教學效果提出以下幾點建議。我們的教學實踐表明，這些建議是有效的。至少能提高學生學習該課程的興趣，并且能讓學生不懼怕該課程。下面逐條說明。

3.1教學內容的選擇

由于部分學生是相近專業(yè)調劑過來的，雖然也有部分本科是數(shù)學專業(yè)的學生，但其所在的學校只開設了64學時的《實變函數(shù)與泛函分析》課程，而不是用足夠的課時開設《實變函數(shù)》和《泛函分析》這兩門課程。這在一定程度上導致部分學生的泛函分析基礎較薄弱，而且學生入學時水平參差不齊。鑒于這種情況，我們在選擇教學內容的時候就不能偏難以防不利于基礎相對較差的學生學習。但反過來也不能太容易，比如選擇過多的與本科內容重復的東西放在教學計劃里，這會讓基礎較好的學生覺得乏味。在這個方面，文獻[1]相對來說做得比較好，其內容難易適中。另外，對于那些幾乎沒有泛函基礎的學生，我們則可以在學生復試確認可被錄取后，就給他們推薦本科泛函分析教材以供其自己在假期間學習。這樣做有利于這部分學生在開學時跟上進度。

3.2將多媒體應用到教學中來

在我們自己還是學生的時候，我們的老師就是利用粉筆與黑板的傳統(tǒng)方式給我們講解該課程。當時感覺上課的老師很辛苦，老師幾乎是一直講個不停，黑板也是寫滿了擦，擦了再寫滿，如此往復很多次。眾所周知，該課程的教學中充滿了很多定義、以及定理的推導，很多內容不得不書寫出來。如果只用傳統(tǒng)板書式教學，很難做到在有限的時間里兼顧好講與寫，并且還要注意到不影響教學進度的問題。最近幾年來，多媒體教學已經廣泛走進了校園。大學里的教室?guī)缀醵寂溆卸嗝襟w系統(tǒng)，這是因為多媒體的應用可以加強教學的生動性和直觀性。在此我們可以先把一些重要的定義、定理以及定理證明過程中的關鍵步驟提前做好PPT，另外針對一些幾何性質較強的內容，也可以提前利用數(shù)學繪圖軟件繪制好一些示意圖。這樣在正式上課時，可以通過放PPT節(jié)約大量原本用于做抄寫工作的板書時間，從而我們可以有更多的時間放在重點的講解上。另外一些示意圖的展示也利于學生理解抽象的空間或一些映射之間的關系。

3.3重視定理證明的講解

泛函分析中有許多重要的數(shù)學思想。由于它具有較高的抽象性，該課程中的許多重要數(shù)學思想可以應用到其它數(shù)學問題當中去。該課程中有很多的構造性證明以及一些特別巧妙的證明方法。對于學習數(shù)學的學生來說，這些思想方法在一定的意義上講才是我們真正要學習的東西。定理證明過程的掌握，反過來有利于學生真正理解定理的內含，特別是定理成立的條件和適用的范圍。

3.4提倡閱讀經典英語原版參考書

對于近現(xiàn)代數(shù)學，實話實說國外大部分的研究走在我國的前面。另外有研究表明，中西方人在看待某些問題時的角度有時會有差異。試想體會不同作者對同一問題的不同描述，肯定在一定程度上有利于開闊我們自己的視野并加深對該問題的理解。其次，對外文教材的閱讀也有利于提高學生在高年級時對英語文獻的閱讀能力。特別是那些有志于攻讀數(shù)學博士學位的學生來說，具有較好的英語文獻的閱讀能力是相當重要的。文獻[7]就是一本相對不錯的碩士生泛函分析教材。

以上就是我們最近幾年來教學實踐中的一些體會。當然影響泛函分析課程教學效果的因素是多樣的且復雜的。對于該課程的教學改革的要求也會隨著時代的變化而改變，因此對該課程的教學改革也將一直在路上。

4　總　結

在文章中，我們分析了地方工科類本科高校中應用數(shù)學專業(yè)碩士生泛函分析課程教學中所面臨的一些問題；并從我們的教學實踐出發(fā)給出了一些有利于提高該課程教學效果的建議。我們希望這些建議可以為講授這門課程的教師提供一些有用的可供參考的意見。當然最重要的還是我們應該以自己學校的實際情況為最基本的出發(fā)點，以調動學生的學習興趣并讓學生保持對知識的饑餓感為目的。用這樣的方式來設計該課程的教學，則其教學效果的提高自然是水到渠成。

[1]童裕孫.研究生教學用書:泛函分析教程(第二版)[M].上海:復旦大學出版社,2008.

[2]彭自嘉.民族院校《泛函分析》教學改革的探索與實踐[J].廣西民族大學學報(自然科學版),2013,(1):94-96.

[3]李延保.在高等工科院校中開設應用泛函分析基礎課的體會[J].大學數(shù)學,1987,(1):32-35.

[4]劉小佑,許友軍.碩士生“泛函分析”課程教學改革的幾點思考[J].湘南學院學報,2015,(5):69-71.

[5]謝永安,黃文韜.研究生《泛函分析》課程教學探討[J].信息系統(tǒng)工程,2010,(5):129-130.

[6]李鋒杰.碩士研究生泛函分析教學探索[J].中國科教創(chuàng)新導刊,2008,(25):13.

[7] J.B.Conway.泛函分析教程(第二版)[M].北京:世界圖書出版公司,2003.

（責任編校：宮彥軍）

2016－10－04

南華大學學位與研究生教育教學改革研究項目（項目編號2015JG018）；湖南省普通高等學校教育教學改革項目（項目編號JG2014B048)。

劉小佑（1983－），男，湖南耒陽人，副教授，博士，研究方向為非線性偏微分方程。

G420

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1673-2219（2017）06-0005-02