蘇云成

摘要： 托圓球雕塑在支撐期間，因圓球載荷的作用下受到剪切應(yīng)力和拉伸應(yīng)力，支撐梁可能會(huì)產(chǎn)生變形以及發(fā)生斷裂。本文從材料力學(xué)的基本原理和解決問題的基本思路出發(fā)，通過研究端部托球雕塑的受力關(guān)系，根據(jù)材料力學(xué)能量法原理確定自由端的位移，建立了符合實(shí)際情況的半圓拱梁彎曲數(shù)學(xué)模型，忽略軸向變形和剪切變形，確定固定端位置的彎矩值、最大拉應(yīng)力值、最大壓應(yīng)力值。并在此基礎(chǔ)上對(duì)端部受集中力半圓拱梁彎曲進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真分析，通過計(jì)算與仿真效果，以及施工材料的品質(zhì)和節(jié)約，為雕塑裝置的合理設(shè)計(jì)提供一定的安全余量參數(shù)。

關(guān)鍵詞：能量法；曲梁受力；計(jì)算機(jī)仿真

中圖分類號(hào)：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2016）31-0224-04

Abstract： During the support， the support beam may undergo deformation and fracture due to the shear stress and the tensile stress due to the ball load. Based on the basic principle of material mechanics and the basic idea of solving the problem， the displacement of the free end is determined by the principle of mechanics energy method. The mathematical model of semicircular arch beam bending is established according to the actual situation. ， Neglecting the axial deformation and shear deformation， to determine the fixed end position of the bending moment， the maximum tensile stress value， the maximum compressive stress value. Based on this， the computer simulation of the bending of the semicircular arch beam with the concentrated force is carried out. The safety margin parameters are provided for the rational design of the sculpture device through the calculation and simulation results as well as the quality and conservation of the construction material.

Key words： energy method， the stress of curved beam， computer simulation

1 引言

隨著城市建設(shè)的發(fā)展，美化建筑日益增多，設(shè)計(jì)的合理和安全問題也引起人們的關(guān)注。在某工廠大門有一標(biāo)志性建筑，用懸臂的1/4圓弧段曲梁端部托一圓球形模型標(biāo)志，圓球的重量集中于端點(diǎn)，其內(nèi)半徑ri =4000.5rnm，外半徑r0 =4030.8mm，厚度h=11.16mm，所對(duì)應(yīng)的圓心角為90°的圓弧形曲梁，在下端固定，上端作用有一直徑1000mm的不銹空心鋼球，其集中剪力F=488.29N（如圖1所示）。

已知材料的彈性模量E=207GPa，泊松比μ=0.3。本文將分別利用材料力學(xué)中彎曲桿的能量法、ANSYS分析軟件的耦合場(chǎng)固體單元SOLID5和四面體耦合場(chǎng)實(shí)體單元SOLID98，確定自由端的撓度和固定端的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。

2 計(jì)算半圓拱梁彎曲的應(yīng)力

（1）用能量法確定自由端的位移

3 端部托圓球半圓拱梁彎曲的仿真模型

應(yīng)用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)來(lái)求解端部托圓球的半圓拱梁彎曲問題，它可以避免一般研究方法由于難于考慮各種因素相互間的動(dòng)態(tài)影響，使研究結(jié)果與實(shí)際情況相距甚遠(yuǎn)的缺點(diǎn)，更接近與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

仿真就是用模型（物理模型或數(shù)學(xué)模型）代替實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究。本文就端部托圓球的半圓拱梁彎曲問題建立計(jì)算機(jī)仿真模型，且應(yīng)用三維耦合場(chǎng)固體單元SOLID5和四面體耦合場(chǎng)實(shí)體單元SOLID98進(jìn)行求解。由此對(duì)比理論計(jì)算與仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，為本問題提供分析依據(jù)。

SOLID5具有3維磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、電場(chǎng)、壓電場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)之間有限耦合的功能。SOLID5由8個(gè)節(jié)點(diǎn)定義，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度。在靜態(tài)磁場(chǎng)分析中，可以使用標(biāo)量勢(shì)公式。在結(jié)構(gòu)和壓電分析中，SOLID5有大變形的應(yīng)力剛化功能。圖2是SOLID5單元的示意圖。

SOLID98是一種10節(jié)點(diǎn)的四面體單元，它是8節(jié)點(diǎn)SOLID5的高階單元。SOLID98單元存在二次位移形函數(shù)，適合建立不規(guī)則的網(wǎng)格模型（比如由各種CAD/CAM系統(tǒng)生成的網(wǎng)格模型）。

SOLID98單元由10個(gè)節(jié)點(diǎn)定義，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度。單元具有三維的磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、電場(chǎng)、壓電場(chǎng)及結(jié)構(gòu)場(chǎng)功能與SOLID45單元中所描述的類似。圖3是SOLID98單元的示意圖。

對(duì)于四面體單元，自由端的節(jié)點(diǎn)設(shè)置為耦合節(jié)點(diǎn)，并將荷載直接施加在耦合節(jié)點(diǎn)上。下面給出利用SOLID5和SOLID98完成曲梁分析模型（見圖5所示）的主要步驟。

（1）定義工程選項(xiàng)、分析類型、單元類型和材料參數(shù)

用分析類型定義命令“ANTYPE，STATIC"定義分析類型為靜力分析。用單元類型定義命令ET定義第1類單元為6面體三維固體耦合單元SOLID5，用參數(shù)2表示使用線位移自由度。

用材料參數(shù)定義命令MP定義第1類材料的彈性模量207、泊松比0.3。

（2）在柱坐標(biāo)系定義關(guān)鍵點(diǎn)、線和體，優(yōu)化模型

為方便于建立圓弧形曲梁，用CSYS將當(dāng)前坐標(biāo)系切換為柱坐標(biāo)系。用關(guān)鍵點(diǎn)定義命令K在內(nèi)半徑坐標(biāo)（4000.5rnm， 0 ）定義第1個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，在外半徑坐標(biāo)（4030.8mm， 0 ）定義第2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。用節(jié)點(diǎn)生成命令KGEN循環(huán)2次，按照1號(hào)節(jié)點(diǎn)到2號(hào)節(jié)點(diǎn)增量為1的節(jié)點(diǎn)范圍，Z坐標(biāo)增量11.16mm，生成前面的節(jié)點(diǎn)3和4。再用KGEN循環(huán)2次，按照1號(hào)節(jié)點(diǎn)到4號(hào)節(jié)點(diǎn)增量為1的節(jié)點(diǎn)范圍，Y坐標(biāo)增量90度，生成自由端的4個(gè)節(jié)點(diǎn)。

使用線定義命令L過1和5號(hào)關(guān)鍵點(diǎn)定義線。用線單元尺寸定義命令LESIZE指定1號(hào)線的單元剖分段數(shù)為20。用體定義命令V過關(guān)鍵點(diǎn)1、2、4、3、5、6、8、7定義體，用單元尺寸定義命令ESIZE指定單元剖分段數(shù)為1。建立的計(jì)算機(jī)仿真模型見圖3所示。

為顯示直觀起見的模型，用/VIEW切換1號(hào)窗口的視點(diǎn)到等軸測(cè)方向，并用/Device命令打開圖形矢量顯示開關(guān)，可以更清晰地顯示網(wǎng)格模型。用體單元網(wǎng)格剖分命令VMESH對(duì)1號(hào)體執(zhí)行體單元剖分，得到有限元模型。

4 計(jì)算機(jī)仿真處理

應(yīng)用三維耦合場(chǎng)固體單元SOLID5進(jìn)行求解。

（1）選擇節(jié)點(diǎn)，施加位移約束和荷載

用節(jié)點(diǎn)選擇命令NSEL選擇位于Y=0°位置固定端節(jié)點(diǎn)，用位移約束命令D位移約束所有選擇集中節(jié)點(diǎn)的所有自由度，即固定端節(jié)點(diǎn)被固定。用NSEL選擇所有節(jié)點(diǎn)。

用荷載定義命令FK給5號(hào)關(guān)鍵點(diǎn)施加沿著Y方向的集中力，大小為122.07N，用重復(fù)執(zhí)行命令REPEAT循環(huán)4次執(zhí)行前面施加集中力的命令，每次節(jié)點(diǎn)號(hào)碼增量1。用NOORDER按原始單元次序，對(duì)單元排序。

（2）進(jìn)入求解模塊計(jì)算，并定義求解完成后處理的宏程序

計(jì)算以上定義的求解模型，用宏定義命令CREATE定義完成后處理的宏程序MAC。.

執(zhí)行/POSTl命令進(jìn)入一般后處理模塊。用CSYS命令切換當(dāng)前坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系。用節(jié)點(diǎn)選擇命令NSEL選擇X=0到X=0.01范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，忽略坐標(biāo)正負(fù)號(hào)。用節(jié)點(diǎn)結(jié)果顯示命令PRNSOL列表顯示節(jié)點(diǎn)位移值。

用荷載工況定義命令LCDEF按照第1荷載步，定義第1種荷載工況。用荷載工況縮放因子LCFACT給第1荷載工況定義荷載縮放因子（1/4.637）。用讀入荷載工況命令LCASE將第1荷載工況計(jì)算結(jié)果讀入到數(shù)據(jù)庫(kù)。用PRNSOL列表顯示節(jié)點(diǎn)位移值，用FINISH退出后處理模塊，用END命令表示宏程序定義結(jié)束。

（3）提取自由端位移計(jì)算結(jié)果，保存到文件

用/POST1進(jìn)入一般后處理模塊。用結(jié)果提取命令GET提取自由端的5號(hào)節(jié)點(diǎn)Y方向的位移計(jì)算結(jié)果UY，并保存到變量Ul。以待以后可查看保存在內(nèi)存變量中的計(jì)算結(jié)果。

用顯示結(jié)果命令圖形顯示節(jié)點(diǎn)環(huán)向應(yīng)力，如圖6所示。從圖中可以看出，最大環(huán)向拉應(yīng)力-1120.031MPa出現(xiàn)在固定端的內(nèi)側(cè)，最大環(huán)向壓應(yīng)力1116.101MPa出現(xiàn)在固定端外側(cè)。

將所有模型信息及其計(jì)算結(jié)果保存數(shù)據(jù)到數(shù)據(jù)庫(kù)，用執(zhí)行宏后處理宏程序MAC。

5 半圓拱曲梁的高階仿真

應(yīng)用四面體藕合場(chǎng)單元SOLID98進(jìn)行求解

（1）采用和前面相似的步驟，重新開始用SOLID98單元進(jìn)行分析

重新用單元類型定義命令ET定義第1類單元為四面體耦合場(chǎng)單元SOLID98，用參數(shù)1表示只使用線位移自由度UX、UY和UZ。

（2）進(jìn)入求解模塊開始求解，并使用前面的宏程序進(jìn)行相應(yīng)的后處理

選擇自由端節(jié)點(diǎn)，提取位移計(jì)算結(jié)果。用/POST1進(jìn)入一般后處理模塊，然后執(zhí)行后處理宏程序MAC。選擇距離（0，109.7mm， 0 ）位置最近的節(jié)點(diǎn)，用GET命令提取節(jié)點(diǎn)的Y方向位移UY，并保存到變量UY3。用SET給U3變量賦值。用列表顯示變量參數(shù)的值，用以觀察保存在變量中的結(jié)果，并將模型數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果保存到數(shù)據(jù)庫(kù)中。

用節(jié)點(diǎn)結(jié)果圖形顯示命令PLNSOL圖形顯示節(jié)點(diǎn)環(huán)向應(yīng)力，以及顯示計(jì)算出的撓度。如圖6顯示SOLID98單元計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)環(huán)向應(yīng)力和撓度。從圖中可以看出，最大的環(huán)向拉應(yīng)力1116.637MPa出現(xiàn)在固定端的內(nèi)側(cè)，最大的環(huán)向壓應(yīng)力-1120.034MPa出現(xiàn)在固定端的外側(cè)。

6 求解結(jié)果和討論

利用ANSYS程序計(jì)算出了端部托圓球半圓拱曲梁的平面彎曲的最大撓度和最大應(yīng)力，如表1所示。

從位移結(jié)果看，與仿真結(jié)果的精確解相比，材料力學(xué)的解答是近似的。自由端撓度的誤差值為0.98～0.99%，從內(nèi)側(cè)的最大拉應(yīng)力和外側(cè)的最大壓應(yīng)力看，SOLID5和solid98單元計(jì)算的結(jié)果也比較接近理論計(jì)算值，最大彎曲拉應(yīng)力的誤差和最大彎曲壓應(yīng)力的誤差分別為-2.3%和2.9%。

從這些誤差可以看出，材料力學(xué)和仿真結(jié)果的精確解差別不大。特別是彎曲變形的誤差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于應(yīng)力的誤差。由計(jì)算得出該雕塑符合安全要求。

另外，通過對(duì)實(shí)際工程設(shè)計(jì)及施工的反饋與分析體會(huì)到：

半圓拱曲梁的節(jié)點(diǎn)環(huán)向應(yīng)力變化與梁體鋼結(jié)構(gòu)溫度條件有著重要關(guān)系。尤其在高溫條件下變化比較大，節(jié)點(diǎn)環(huán)向應(yīng)力增幅較大。

半圓拱曲梁的仿真環(huán)向應(yīng)力與曲梁材料有密切關(guān)系。低線脹系數(shù)、低彈模高強(qiáng)度的梁材料將產(chǎn)生較好的應(yīng)力條件。

7 結(jié)論

本文根據(jù)材料力學(xué)能量法原理確定自由端的位移，建立了符合實(shí)際情況的端部受集中力半圓拱梁彎曲的數(shù)學(xué)模型，忽略軸向變形和剪切變形，確定固定端位置的彎矩值、固定端應(yīng)力的最大拉應(yīng)力值、固定端應(yīng)力的最大壓應(yīng)力值。并在此基礎(chǔ)上對(duì)端部受集中力半圓拱梁彎曲進(jìn)行了仿真，根據(jù)仿真效果，所建立的數(shù)學(xué)模型正確，參數(shù)符合建筑安全要求范圍（但建議增大曲梁的半徑差，使得撓度值更小），這些為端部托圓球的半圓拱梁彎曲雕塑等后續(xù)施工與建設(shè)奠定了基礎(chǔ)。

通過實(shí)際的施工中反饋得到，半圓拱曲梁應(yīng)力的會(huì)發(fā)生某些變化，存在某些影響因素。而影響曲梁應(yīng)力變化的各種因素之間，并不存在固定的線性關(guān)系。每一種因素變化給半圓拱曲梁體應(yīng)力場(chǎng)所帶來(lái)的變化方式也并不相似，其合成效果很可能會(huì)相互抵消掉。因此，正確地估算半圓拱曲梁的環(huán)向應(yīng)力，只有通過實(shí)際的仿真計(jì)算。

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