周義清， 張 偉， 張善元

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院， 北京 100124； 2. 北京城市學(xué)院， 北京 100083；3. 太原理工大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所， 山西 太原 030024)

有限撓度Bernoulli-Euler梁中的非線性波與混沌行為*

周義清1,2， 張 偉1， 張善元3

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院， 北京 100124； 2. 北京城市學(xué)院， 北京 100083；3. 太原理工大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所， 山西 太原 030024)

基于有限撓度理論， 導(dǎo)出了Bernoulli-Euler梁的非線性偏微分方程形式的彎曲波動(dòng)方程， 利用行波解法和積分技巧， 將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微方程. 定性分析表明， 在一定條件下， 動(dòng)力系統(tǒng)有異宿軌道， 對(duì)應(yīng)沖擊波解. 利用Jacobi橢圓函數(shù)法， 得到了波動(dòng)方程的準(zhǔn)確周期波解， 當(dāng)Jacobi函數(shù)的模數(shù)m→1時(shí)， 得到系統(tǒng)的沖擊波解. 顯然， 阻尼和外載荷的攝動(dòng)將使異宿軌道破裂， 得到橫截異宿點(diǎn). 通過(guò)Melnikov函數(shù)法得到了系統(tǒng)出現(xiàn)橫截異宿點(diǎn)的閾值條件， 這表明， 系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義下的混沌行為.

Bernoulli-Euler梁； 有限變形； 非線性波； 混沌； Melnikov函數(shù)

梁是工程中無(wú)處不見(jiàn)的結(jié)構(gòu)， 在各個(gè)領(lǐng)域都有其廣泛和重要的作用. 非線性波動(dòng)理論已成功應(yīng)用于氣象學(xué)、 光線通信、 激光打靶密度坑問(wèn)題和地下油氣藏的勘探等領(lǐng)域. 研究梁中非線性波動(dòng)問(wèn)題， 對(duì)固體結(jié)構(gòu)中的波動(dòng)應(yīng)用具有探索性的意義. 非線性波動(dòng)和混沌都會(huì)涉及到同(異)宿軌道的問(wèn)題[1-3]， 已有學(xué)者通過(guò)對(duì)非線性波動(dòng)方程的攝動(dòng)， 討論過(guò)非線性波的混沌運(yùn)動(dòng)[4-5]. 一個(gè)真實(shí)的梁結(jié)構(gòu)中， 阻尼耗散和外載荷的激勵(lì)總是不可避免的. 課題組之前已使用Hamilton原理建立了大撓度梁的非線性支配方程， 并對(duì)阻尼和外載荷攝動(dòng)后的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了理論研究. 本文將按照上述思路， 基于文獻(xiàn)[6-8]， 研究Bernoulli-Euler梁結(jié)構(gòu)中非線性波動(dòng)和非線性混沌行為.

1 支配方程的導(dǎo)出

考慮一個(gè)均勻無(wú)限長(zhǎng)梁， 橫截面積為A， 彈性模量為E， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I， 密度為ρ, 如圖 1 所示. 梁承受橫向分布荷載， 載荷密度為q(x,t). 梁未受擾動(dòng)前， 中面任意點(diǎn)P的軸向和橫向位移分別為u(x,t)和w(x,t). 圖 2 描述的是梁微單元dx在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形下任意時(shí)刻t的位移和受力狀態(tài).

圖 1 梁?jiǎn)卧某跏紭?gòu)形Fig.1 Initial configuration of microelement

圖 2 現(xiàn)時(shí)構(gòu)形梁?jiǎn)卧芰Ψ治鯢ig.2 Force analysis of microelement in current configuration

以梁微元體為研究對(duì)象， 依據(jù)動(dòng)力學(xué)平衡條件， 可得如下方程組

(1)

(2)

(M+dM)-M-Q(dx+du)+Ndw=

(3)

式中：M,Q,N分別為梁截面上的彎矩、 剪力和軸力；x和t分別表示軸向坐標(biāo)和時(shí)間. 式中， “′”和 “·”分別表示對(duì)x和t求偏導(dǎo).

梁的中面伸長(zhǎng)應(yīng)變-位移關(guān)系為

(4)

(5)

(6)

式中：φ=w′；E為彈性模量. 將本構(gòu)關(guān)系(5)， (6)和幾何方程(4)代入到平衡方程(1)， (2)和(3)中， 對(duì)x求一次偏導(dǎo)， 可得支配Bernoulli-Euler彎曲波傳播的非線性偏微分方程組

(7)

(8)

2 行波解法及方程的簡(jiǎn)化

假定u=u(ξ)， φ=φ(ξ)， q=q(ξ), ξ=k(x-ct). 此處k是與波寬有關(guān)的參數(shù)， c為波速， 上述式子存在以下運(yùn)算關(guān)系

(9)

用行波法求解方程(7)和(8)， 可得忽略阻尼和外載荷之后的系統(tǒng)支配方程為

(10)

其中

(11)

3 支配方程的定性分析及求解

圖 3 當(dāng)c>c0時(shí)異宿軌道相圖Fig.3 Heteroclinic orbit phase diagram when c>c0

利用Jacobi橢圓正弦函數(shù)展開法求解方程(10)， 得到有限撓度Bernoulli-Euler梁方程的精確周期波解為

(12)

當(dāng)m→0時(shí)， snξ→sinξ， 得線性波解

(13)

當(dāng)m→1時(shí)， 得沖擊波解

(14)

或

(15)

其中

(16)

4 阻尼和外載荷對(duì)系統(tǒng)的攝動(dòng)[9-10]

一個(gè)真實(shí)的動(dòng)力系統(tǒng)， 總是存在阻尼和外載荷， 所以， 考慮系統(tǒng)的阻尼和外載荷后可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)支配方程為

(17)

由Melnikov函數(shù)可以得到出現(xiàn)Smale馬蹄意義下混沌的充要條件， 混沌閾值曲線如圖 4 所示， 此處略去推演過(guò)程， 直接給出條件如下

(18)

其中

(19)

圖 4 混沌閾值曲線Fig.4 Chaotic region

5 數(shù)值模擬

圖 5 方程(17)的相圖Fig.5 The phase diagram of equation (17)

圖 6 poincaré映射Fig 6 The poincaré map

6 結(jié)果與討論

本文研究了無(wú)限長(zhǎng)Bernoulli-Euler梁中非線性彎曲波的傳播. 定性分析表明， 系統(tǒng)存在異宿軌道， 利用Jacobi橢圓函數(shù)展開法得到了系統(tǒng)的精確周期解， 當(dāng)模數(shù)m→1時(shí)， 系統(tǒng)存在沖擊波解. 考慮系統(tǒng)阻尼和外加載荷的情況下， 對(duì)非線性波動(dòng)方程進(jìn)行了攝動(dòng). 利用Melnikov函數(shù)給出了系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的條件， 在給定參數(shù)下， 進(jìn)一步用數(shù)值軟件進(jìn)行了模擬， 模擬結(jié)果表明， 系統(tǒng)出現(xiàn)了Smale馬蹄意義下的混沌.

通過(guò)研究梁中的非線性波， 可以反映其非線性動(dòng)力學(xué)行為， 分析其非線性波動(dòng)產(chǎn)生機(jī)理以及各參數(shù)對(duì)非線性波動(dòng)的影響， 可以將研究成果應(yīng)用于提高構(gòu)件性能和服役壽命. 了解和掌握梁中的混沌動(dòng)力學(xué)特性， 通過(guò)改變系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的條件， 達(dá)到消除或抑制振動(dòng)的目的， 以此用來(lái)解決實(shí)際工程問(wèn)題.

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[8]周義清， 張善元. 大撓度梁中的非線性波及其混沌行為[J]. 中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2012, 33(6)： 643-648. Zhou Yiqing, Zhang Shanyuan. Solitary waves and chaotic behavior in a large-deflection beam[J]. Journal of North University of China (Natural Science Edition), 2012, 33(6)： 643-648. (in Chinese)

[9]周義清, 張善元. 軸壓彈性圓柱殼中的非線性波及其混沌行為[J]. 中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013, 34(4)： 346-352. Zhou Yiqing, Zhang Shanyuan. Solitary waves and chaotic behavior in an elastic cylindrical shell subjected to axial compression[J]. Journal of North University of China (Natural Science Edition), 2013, 34(4)： 346-352. (in Chinese)

[10]Melnikov V K. On the stability of the center for time periodic perturbations[J]. Trams. Moscow Math. Soc., 1963, 12： 1-57.

Nonlinear Wave and Chaos Property in Finite-Deflection Bernoulli-Euler Beam

ZHOU Yi-qing1,2, ZHANG Wei1, ZHANG Shan-yuan3

(1. College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology,Beijing University of Technology, Beijing 100124, China；2. Beijing City University, Beijing 100083, China；3. Institute of Applied Mechanics and Biomedical Engineering,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024, China)

Based on the finite-deflection beam theory, the nonlinear partial differential equations for flexural waves in a Bernoulli-Euler beam are derived. Using the traveling wave method and integration skills, the nonlinear partial differential equations can be converted into an ordinary differential equation. The qualitative analysis indicates that the corresponding dynamic system has a heteroclinic orbit under a certain condition. The exact periodic solution of nonlinear wave equation is obtained by means of Jacobi elliptic function expansion. The shock wave solution is given when the modulus of Jacobi elliptic functionm→1 in the degenerate case. It is easily thought that the introduction of damping and external load can result in break of heteroclinic orbit and appearance of transverse heteroclinic point. The threshold condition of the existence of transverse heteroclinic point is given by help of Melnikov function. It shows that the system has chaos property under Smale horseshoe meaning.

Bernoulli-Euler beam; finite-deflection; nonlinear wave; chaos property; Melnikov function

1673-3193(2017)01-0015-04

2015-06-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402005, 11202190)； 北京市博士后科研經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(Q6001015201401)

周義清(1977-)， 女， 副教授， 博士， 主要從事非線性動(dòng)力學(xué)的研究.

O347.4

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.003