高建玲， 曹建基

(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西 大同 037009)

極小子群擬中心的有限群*

高建玲， 曹建基

(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西 大同 037009)

利用極小階反例, 借助內(nèi)冪零群的結(jié)構(gòu), 分析了有限群G及其2-極大子群與3-極大子群的p階與4階循環(huán)子群在G中擬中心, 與G的極大子群的p階與4階循環(huán)子群在極大子群中擬中心, 分別給出了這些群的刻畫. 可借助這些結(jié)論來判定某些群的p-冪零性.

擬中心子群;p階子群;p-冪零群; 內(nèi)冪零群

對于利用子群性質(zhì)研究有限群結(jié)構(gòu)的結(jié)果已有許多, 如文獻(xiàn)[1-4]. 而利用極小子群的性質(zhì)探討有限群結(jié)構(gòu)也有一些結(jié)果, 參見文獻(xiàn)[5-9].特別地, 利用極小子群的擬中心性對有限群結(jié)構(gòu)的影響的研究也有些結(jié)果, 如文獻(xiàn)[10]中研究了二次極大子群中2階與4階循環(huán)子群擬中心的有限群, 并給出了分類. 本文利用p階與4階循環(huán)子群的擬中心性來討論有限群, 得到一些結(jié)論.

本文中用G表示有限群,p表示素?cái)?shù). 以下如果沒有特殊說明, 所考慮的群G都假設(shè)p‖G|, 且(|G|,p-1)=1. 稱群G的子群K為MQC群, 如果K的p階與4階循環(huán)子群(當(dāng)p=2時)在G中擬中心. 稱群G的子群K具有MQC性, 如果K的p階與4階循環(huán)子群(當(dāng)p=2時)在K中擬中心.顯然擬中心性是子群遺傳的.設(shè)P是有限p-群, 且exp(P)=pe, 對于任意的0≤s≤e, 規(guī)定ΛS(P)={a∈P|aps=1} ,ΩS(P)=〈ΛS(P)〉. 所用術(shù)語與符號參見文獻(xiàn)[11].

1 預(yù)備知識

定義 1 設(shè)x是G的一個元. 若〈x〉〈y〉=〈y〉〈x〉對一切y∈G成立, 稱x為G的一個擬中心元.

引理 1[12]設(shè)p‖G|, 且(|G|,p-1)=1. 如果G的Sylowp-子群循環(huán), 則G為p-冪零群.

引理 2[13]設(shè)G的每個真子群均p-冪零. 但G非p-冪零, 則有：

1)G的每個真子群冪零;

2) |G|=paqb, 其中p,q均為素?cái)?shù), 且q≠p,a,b均為正整數(shù);

4) 當(dāng)p=2時, exp(P)≤4; 當(dāng)p>2時, exp(P)=p;

5) 如果P為非交換群, 則Z(P)=Φ(P)=P′; 如果P為交換群, 則P為初等交換群;

6)P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

7)CP(Q)=P′.

引理 3 如果x是G的擬中心元且o(x)=p, 則〈x〉中心化G的一切p階元. 特別當(dāng)p=2時, 〈x〉還中心化G的4階元.

證明 任取c∈G且o(c)=p. 由題設(shè)〈c〉〈x〉=〈x〉〈c〉 是交換群, 從而cx=xc. 當(dāng)p=2時, 設(shè)o(y)=4, 若[x,y]≠1, 由題設(shè)〈x〉〈y〉=〈y〉〈x〉, 則xy=yix, 即yx=yi, 從而o(yi)=4. 因此yx=y-1, 于是(yx)2=1. 但〈x〉〈yx〉≠〈yx〉〈x〉 矛盾. 所以[x,y]=1.

2 主要結(jié)果

定理 1 設(shè)G是MQC群, 則G是p-冪零群.

證明 取G為極小階反例.

綜上所述， 極小階反例不存在,G是p-冪零群.

推論 1 設(shè)p‖G|, 且最小. 如果G是MQC群, 則G是p-冪零群.

證明 如果p‖G|, 且最小, 必有(|G|,p-1)=1. 因此由定理1可得.

推論 2 如果G的2-極大子群是MQC群, 則G是p-冪零群.

證明 任取x∈G,x4=1或xp=1.設(shè)P為G的Sylowp-子群 如果〈x〉=P, 由引理1,G為p-冪零群. 如果〈x〉

定理 3 如果G的3-極大子群是MQC群, 則以下結(jié)論之一成立:

1)G為p-冪零群;

證明 如果G是MQC群, 由定理1,G是p-冪零群. 故1)成立.

情形 1 如果P是交換的, 則引理2表明2)成立.

定理 4 如果G的極大子群具有MQC性, 則以下結(jié)論之一成立:

1)G為p-冪零群;

情形 1 如果P是交換的, 則引理2表明2)成立.

情形 2 如果P非交換, 任取x∈P且x≠1. 則o(x)=p或4. 因?yàn)镻

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Finite Groups of Quasicentral Minimal Subgroups

GAO Jian-ling, CAO Jian-ji

(School of Mathematics and Computer Sciences, Shanxi Datong University, Datong 037009, China)

With minimal order counter example and the structure of inner nilpotent subgroups, the finite groups were characterized in which the subgroups of orderpof 2-maximal subgroups and 3-maximal subgroups and cyclic subgroups of order 4 of finite groupsGwere quasicentral and whose subgroups of orderpand cyclic subgroups of order 4 of maximal subgroups were quasicentral in the maximal subgroups. Then, using the conclusion, thep-nilpotency of some finite groups can be solved.

quasicentral subgroups; subgroups of orderp;p-nilpotent groups; inner nilpotent subgroups

1673-3193(2017)01-0024-03

2016-04-26

山西大同大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(2009Q14)； 山西大同大學(xué)博士科研啟動經(jīng)費(fèi)(2014-B-08)

高建玲(1981-)， 女， 講師， 碩士， 主要從事群論研究.

O152.1

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.005