羅阿妮, 程建軍, 李全賀, 李 旭, 劉賀平

(哈爾濱工程大學(xué)機電工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)

附加索對三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的影響分析

羅阿妮, 程建軍, 李全賀, 李 旭, 劉賀平

(哈爾濱工程大學(xué)機電工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)

張拉整體結(jié)構(gòu)是由不連續(xù)的受壓桿構(gòu)件和連續(xù)的受拉繩索組成的特殊索桿結(jié)構(gòu),它具有質(zhì)量輕、剛度高、材料利用率高的特性。研究對三桿張拉整體結(jié)構(gòu),通過添加附加索來拓展其穩(wěn)定構(gòu)型范圍。首先,通過結(jié)構(gòu)的力平衡分析,獲得添加附加索前后結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定構(gòu)型的扭轉(zhuǎn)角度取值范圍。然后根據(jù)節(jié)點坐標(biāo)與連接矩陣求取構(gòu)件向量并建立結(jié)構(gòu)的平衡矩陣。最后通過MATLAB仿真編程分析驗證了添加附加索后三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定構(gòu)型,范圍從基本構(gòu)型的兩個單值角擴展到以這兩個角為邊界的閉區(qū)間域。

張拉整體結(jié)構(gòu);穩(wěn)定性;力密度法

0 引 言

張拉整體結(jié)構(gòu)是由不連續(xù)的受壓構(gòu)件和連續(xù)的受拉繩索組成的特殊索桿結(jié)構(gòu)[1],它由美國人Fuller[2]在20世紀(jì)60年代首先提出。它具有造型優(yōu)美、質(zhì)量輕盈、受壓構(gòu)件非連續(xù)性等優(yōu)點[3]。張拉整體結(jié)構(gòu)的提出,擴展了人們對結(jié)構(gòu)連接方面的認(rèn)識。

張拉結(jié)構(gòu)的最簡單形式是三桿的張拉整體結(jié)構(gòu)[4],其他類型結(jié)構(gòu)可以由三桿張拉整體結(jié)構(gòu)變換拓?fù)涠玫絒5-7]。普通三桿張拉整體結(jié)構(gòu)由3根壓桿、6條水平索和3條斜索組成,其中每個節(jié)點連接一個桿構(gòu)件和三個索構(gòu)件。結(jié)構(gòu)整體外接于一個圓柱,所有節(jié)點都位于此外接圓柱的上下底面圓周上。

三桿張拉整體結(jié)構(gòu)作為張拉整體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)[8],引起了很多學(xué)者的分析研究。許多學(xué)者的研究都已證明,當(dāng)三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的高度確定和上下底面圓的半徑相等時,此結(jié)構(gòu)只有2種構(gòu)型,而且索桿的布置位置要求精確。這就增加了此結(jié)構(gòu)的加工制造難度,構(gòu)型的單一也限制了它的應(yīng)用。ZHANG等[9]提出了添加附加索以增加三桿張拉整體結(jié)構(gòu)構(gòu)型的思想,并對這一思想的可行性進(jìn)行了分析。

本研究從幾何角度構(gòu)型分析,并圍繞結(jié)構(gòu)間內(nèi)部構(gòu)件受力關(guān)系進(jìn)一步探究獲得三桿張拉整體結(jié)構(gòu)添加附加索前后保持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定時結(jié)構(gòu)參數(shù)取值,利用力密度分析方法對所獲結(jié)論進(jìn)行驗證。

1 三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的分析

如圖1所示的普通三桿張拉整體結(jié)構(gòu)中,構(gòu)件內(nèi)力都沿著其軸線,而構(gòu)件的端部都連于節(jié)點,因此,通過節(jié)點可以確定構(gòu)件的軸線方向,從而確定構(gòu)件內(nèi)力方向。所以,分析結(jié)構(gòu)的力平衡,首先應(yīng)該確定節(jié)點坐標(biāo)。圖中上、下底面半徑分別為Ru和Rd,并且半徑相同,高度為h,扭轉(zhuǎn)角度為θ。

圖1 三桿張拉整體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch map of three-bars tensegrity structure

下底面節(jié)點的坐標(biāo)可表示為

上底面節(jié)點坐標(biāo)可表示為所有節(jié)點放在一起,即可形成此結(jié)構(gòu)的節(jié)點矩陣:

考慮到索與桿的質(zhì)量很小,忽略不計。由于三桿張拉整體結(jié)構(gòu)具有一定的對稱性,其同類構(gòu)件的長度和內(nèi)力都相同。構(gòu)件內(nèi)力和長度的比值稱為力密度,因此同類構(gòu)件的力密度也相同。定義三桿張拉整體結(jié)構(gòu)水平索的力密度為λ1,斜索的力密度為λ2,桿的力密度為μ;由于每個節(jié)點,連接1個桿構(gòu)件和3個索構(gòu)件,并且每個點相對應(yīng)其他的點是關(guān)于Z軸對稱的,因此各節(jié)點受力情況相同。這里只對一個節(jié)點進(jìn)行力平衡分析。當(dāng)圖1所示的第4節(jié)點處于平衡狀態(tài)時,可得

求解式(2)可得

式中:j=1,2。

由式(3)可知,保持三桿張拉整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的扭轉(zhuǎn)角度θ只有150°和210°。在實際的工程安裝中,由于扭轉(zhuǎn)角度單一,安裝精度需要進(jìn)一步提高,相應(yīng)地增加工程成本;同時若在外力作用導(dǎo)致結(jié)構(gòu)變形情況下,扭轉(zhuǎn)角度發(fā)生改變,結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生不可控制的變形失效,因此限制了張拉整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)用。為了解決這一問題,下面將采用附加索來擴大保持此三桿張拉整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定時的扭轉(zhuǎn)角度范圍。

2 添加附加索的張拉整體結(jié)構(gòu)的分析

增加附加索[9],即三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的第5、1點間,第6、2點間,第4、3點間分別增加一根索,繼續(xù)分析推導(dǎo),結(jié)構(gòu)如圖2所示。

同樣的,由于對稱性的原因,附加索所受到力是相同的。定義附加索力密度為λ3。推導(dǎo)增加附加索之后的各構(gòu)件的力密度以及扭轉(zhuǎn)角度變化。

以上底面的第4點為研究對象,基于以上的方法,進(jìn)行分析計算。當(dāng)結(jié)構(gòu)在不受外力保持平衡時,即可建立類似于式(2)的平衡方程。通過平衡方程的求解,獲得各力密度間關(guān)系為

式中:

圖2 添加附加索的三桿張拉整體結(jié)構(gòu)Fig.2 Three-bars tensegrity structure with additional cable

這樣,就獲得了以水平索力密度為自變量的其他構(gòu)件力密度的表達(dá)式。張拉整體結(jié)構(gòu)能夠保證結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的必要條件是索構(gòu)件和桿構(gòu)件的力密度必須大于0,即λ2＞0,λ3＞0,μ＞0。將這3個限制條件帶入式(3),(4),(5)中,就可以得到帶有附加索的張拉整體結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)角度。為了便于計算,這里令水平索的力密度為1 N/cm。通過具體計算可得θ∈[150°,210°]。

3 驗證及分析

3.1 構(gòu)件向量

通過上面的分析,獲得了添加附加索后保持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的扭轉(zhuǎn)角度的取值范圍。通過平衡矩陣判別方法[10]對此取值范圍的正確性進(jìn)行驗證。要建立平衡矩陣,必須要先計算各構(gòu)件向量。

根據(jù)各桿構(gòu)件與節(jié)點間的關(guān)系,可得

式中:bi(i=1…3)為桿構(gòu)件向量。

把桿構(gòu)件向量放在一起,即可形成桿向量矩陣,即

式中:CTB稱為桿連接矩陣,

I3×3為3階單位矩陣。

根據(jù)水平索與節(jié)點的關(guān)系,可得

斜索向量可表示為

通過計算也能得到,所有的斜索長度是相等的。

3根附加索向量可表示為

能夠計算得到,所有的附加索長度是相等的。把所有索構(gòu)件向量放在一起,即可形成索向量矩陣

定義索連接矩陣

3.2 平衡矩陣

當(dāng)圖3所示的添加附加索的張拉整體結(jié)構(gòu)未受外力,在節(jié)點i處于平衡狀態(tài)時,有

Numerical research of CCN concentration and its parameterization scheme’s influence on a stratiform

式中:

CSi為矩陣CS的第i列,為矩陣CS第i列的對角陣,CBi為矩陣CB的第i列,為矩陣CB第i列的對角陣,

繼續(xù)推導(dǎo),可得:

進(jìn)一步推導(dǎo),可得整個結(jié)構(gòu)的力平衡方程:

式中A為平衡矩陣。

定義自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s和位移模態(tài)數(shù)m,有

式中:s1代表固定的索數(shù),M代表總構(gòu)件數(shù),k為約束節(jié)點的個數(shù),rA為A的秩。根據(jù)參考文獻(xiàn)[12],通過s和m的數(shù)值,即可判斷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

3.3 仿真分析

取三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的外接圓柱高度15 cm,上下端面半徑20 cm。張拉結(jié)構(gòu)只受到繩和索內(nèi)力作用?；谑?11)編寫MATLAB程序,可以得到s,m隨扭轉(zhuǎn)角度變化關(guān)系。當(dāng)扭轉(zhuǎn)角度在150°～210°變化時,自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s和位移模態(tài)數(shù)m始終為恒定值,即s=3,m=0。依據(jù)參考文獻(xiàn)[11]可知,此結(jié)構(gòu)為動定、靜不定結(jié)構(gòu),因此結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。通過這一分析可以證明,添加附加索增加三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定構(gòu)型的方法是正確的。

由圖3構(gòu)件長度和扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系曲線可知,隨著扭轉(zhuǎn)角度的增大,附加索長度在不斷地減小,長度變化量為4.4 cm。扭轉(zhuǎn)角度對桿的長度變化影響很小,桿長度的變化量僅為0.52 cm。隨著扭轉(zhuǎn)角度逐漸增大,斜索長度也在不斷地變大,整體呈一種線性關(guān)系,變化量為4.45 cm。

圖3 長度與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.3 The connection between length and tortion angle

由圖4力密度與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系知,扭轉(zhuǎn)角度逐漸增大,附加索所受到的力密度也在不斷地變大,最大為1.7 N/cm,整體呈一種線性關(guān)系。扭轉(zhuǎn)角度逐漸增大,桿所受到力密度剛開始逐漸增大,當(dāng)扭轉(zhuǎn)角增加到180°時桿受到的力最大,之后扭轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大,桿所受力密度逐漸減小,變化量為0.27 N/cm。扭轉(zhuǎn)角度逐漸增大,斜索所受到的力密度在不斷的減小,整體呈一種線性關(guān)系,力密度變化量為1.75 N/cm。

通過構(gòu)件長度、力密度隨扭轉(zhuǎn)角的變化可以計算獲得構(gòu)件內(nèi)力隨扭轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系。扭轉(zhuǎn)角度逐漸增大,附加索所受到的力也在不斷地變大,最大為37.5 N,整體呈一種線性關(guān)系。扭轉(zhuǎn)角度逐漸增大,桿所受到的力剛開始逐漸增大,當(dāng)扭轉(zhuǎn)角增加到180°時桿受到的力最大,之后扭轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大,桿所受力逐漸減小,力的變化量為9.2 N。扭轉(zhuǎn)角度逐漸增大,斜索所受到的力在不斷的減小,整體呈一種線性關(guān)系,變化量是37.5 N。并且,桿、斜索和附加索的長度和力密度變化以180°為對稱軸,在[150°,180°]與[180°, 210°]內(nèi)完全對稱。

圖4 力密度與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.4 The connection between force density and tortion angle

4 結(jié) 論

通過三桿張拉整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行力密度求解以及仿真分析,得到了如下成果。

(1)建立基于節(jié)點廣義坐標(biāo)、連接矩陣、力密度的自應(yīng)力穩(wěn)定的3桿12索的張拉整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

(2)以節(jié)點力平衡為出發(fā)點構(gòu)建了系統(tǒng)的平衡矩陣,分析自應(yīng)力模態(tài)和結(jié)構(gòu)位移模態(tài),獲得了穩(wěn)定構(gòu)型的扭轉(zhuǎn)角度范圍[150°,210°]。

(3)在結(jié)構(gòu)外包絡(luò)尺寸不變的情況下,分析并獲得自應(yīng)力穩(wěn)定構(gòu)型中各構(gòu)件長度、力密度隨著穩(wěn)定范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)角度變化的函數(shù)關(guān)系。

(4)三桿張拉整體結(jié)構(gòu)作為基本單元,其他張拉整體結(jié)構(gòu)是在此基礎(chǔ)上演變而成。因此,添加附加索以增加結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定構(gòu)型范圍的方法可以考慮用于其他張拉整體結(jié)構(gòu)構(gòu)型研究。

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Analysis of three-bars tensegrity structure with additional cable

LUO Ani, CHENG Jianjun, LI Quanhe, LI Xu, LIU Heping

(College of Mechanical and Electrical Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Tensegrity was a special cable-bar structure composed of discontinuous compression bar member and continuous tension cable,which had the characters of small quality,nice mechanical properties and high material utilization.The stability range of three-bars tensegrity structure was analyzed and expanded by adding an additional cable.The torsional angle ranges of the stable structure before and after adding the additional cable were obtained by analysis of the structure force balance.According to the node coordinate and the connection matrix,the component vector was obtained and the equilibrium matrix of the structure was established.The stable configuration of three-bar tensegrity structure was verified by MATLAB simulation program,and the range was extended from the two single value angles of the basic configuration to the closed interval domain with these two angles as the boundary.

tensegrity structure;stability;force density method

TU391

A

1674-1404(2017)01-0071-05

2015-10-10.

國家自然科學(xué)基金項目(51605111,51675114);黑龍江省自然科學(xué)基金項目(11202128).

羅阿妮(1978-),女,副教授;通信作者:劉賀平(1975-),男,副教授.

羅阿妮,程建軍,李全賀,李旭,劉賀平.附加索對三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的影響分析[J].大連工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2017,36(1):71-75.

LUO Ani,CHENG Jianjun,LI Quan-he,LI Xu,LIU Heping.Analysis of three-bars tensegrity structure with additional cable[J].Journal of Dalian Polytechnic University,2017,36(1):71-75.