呂娜 李三平

摘 要：“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”不僅是高等數(shù)學(xué)微積分的核心內(nèi)容之一，而且我國(guó)在2003年進(jìn)行了新課改后，將這部分內(nèi)容也列入到了高中數(shù)學(xué)的課程中。尤其是在近幾年的高考試卷中，常常作為壓軸題出現(xiàn)，分值大，題目靈活性強(qiáng)。大部分學(xué)生得分低，有些老師對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)也表現(xiàn)出無(wú)力感。本文分析了高中生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)的困難，并提出了相應(yīng)的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中生；導(dǎo)數(shù)；困難；教學(xué)策略

導(dǎo)數(shù)的發(fā)現(xiàn)不僅將數(shù)學(xué)研究推向一個(gè)新的高峰，對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域外的自然領(lǐng)域，以及現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)也起到了促進(jìn)作用。2003年我國(guó)進(jìn)行的新課程改革，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中將“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”加入到了高中數(shù)學(xué)課程中。

通過(guò)跟蹤一些學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)的情況，并和一線教師的交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)存在不同方面的問(wèn)題和困難。

一、 學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)的困難分析

（一） 導(dǎo)數(shù)概念理解的困難

導(dǎo)數(shù)概念的引出是一個(gè)由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，這種“無(wú)限逼近”的思想是學(xué)生以前沒有接觸過(guò)的。但是，大部分學(xué)生認(rèn)為導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)就是“套公式做題”，對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念的理解非常模糊。有的學(xué)生認(rèn)為，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容很抽象，即使不理解也無(wú)所謂，僅僅是對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行死記硬背。還有的學(xué)生認(rèn)為，導(dǎo)數(shù)就是某一區(qū)間上的平均變化率

。

此外，教師在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，也將重點(diǎn)放在計(jì)算和練習(xí)上，忽略了導(dǎo)數(shù)概念的生成過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的探究失去了興趣和積極性。

下面展示學(xué)生在做一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念題時(shí)的一種做法。

例1 已知函數(shù)f（x）=12x4-23x3+4，求limΔx→0f（2+Δx）-f（2）2Δx。

解：因?yàn)閒′（x）=2x3-2x2，所以，原式=f′（2）=8。

可以看出，由于學(xué)生只是對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的死記硬背，所有當(dāng)導(dǎo)數(shù)定義的形式稍微有一些變化時(shí)，便不能很好地應(yīng)對(duì)。

（二） 導(dǎo)數(shù)幾何意義理解的困難

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指切點(diǎn)處切線的斜率，它是每年高考的?？純?nèi)容。通常從兩個(gè)方面進(jìn)行考察：一是已知切點(diǎn)求切線方程；二是已知切線方程求切點(diǎn)參數(shù)的值或曲線方程。在此類問(wèn)題的考察中，學(xué)生易將“過(guò)點(diǎn)A的曲線的切線方程”和“在點(diǎn)A處的切線方程”混為一談，把前者的A點(diǎn)也直接作為切點(diǎn)來(lái)處理。

如，遼寧省2014年的一道高考題時(shí)，學(xué)生就出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題。

例2 若存在過(guò)點(diǎn)O（0，0）的直線l與曲線f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a相切，a的值是

。

學(xué)生1：因?yàn)辄c(diǎn)O在曲線f（x）=x3-3x2+2x上，所以直線l與y=f（x）相切于點(diǎn)O。

則k=f′（0）=2，直線l的方程為y=2x。

又因?yàn)橹本€l與y=x2+a相切，所以x2-2x+a=0滿足Δ=4-4a=0。

所以a=1。

學(xué)生2：當(dāng)點(diǎn)O（0，0）不是切點(diǎn)時(shí)，無(wú)法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義構(gòu)造起來(lái)。

可以看出學(xué)生片面地理解了“存在過(guò)點(diǎn)O（0，0）的直線l與曲線f（x）=x3-3x2+2x相切”。事實(shí)上，這里有兩種可能：點(diǎn)O是切點(diǎn)或點(diǎn)O不是切點(diǎn)。

（三） 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的困難

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，它的應(yīng)用十分廣泛。高中階段導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在討論函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值等方面。

（1）單調(diào)性問(wèn)題

單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)幾種應(yīng)用中最基本也是最重要的內(nèi)容，因?yàn)楹瘮?shù)極值和最值得考察都離不開單調(diào)性。利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是導(dǎo)數(shù)最重要的應(yīng)用之一。學(xué)生在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性時(shí)存在以下兩方面的問(wèn)題。

①不理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系

學(xué)生對(duì)于單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系不清楚，導(dǎo)致學(xué)生在理解用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)會(huì)出現(xiàn)障礙。

②對(duì)函數(shù)單調(diào)性的充要條件不理解

學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系中條件的充分性與必要性容易混淆。

同樣的，以一些學(xué)生在考查關(guān)于單調(diào)性問(wèn)題時(shí)的做法為例。

例3 求實(shí)數(shù)b的取值范圍，使得函數(shù)f（x）=（x2-4）（x-b）在[-2，2]上遞減。

解：f′（x）=3x2-2bx-4，

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（x2-4）（x-b）在[-2，2]上遞減，

所以f′（x）=3x2-2bx-4<0在[-2，2]上恒成立，

所以，f′（2）<0

f′（-2）<0

8-4b<0

8+4b<0

解得：b>2或b<-2。

可以看出，學(xué)生錯(cuò)將f′（x）>0（<0）當(dāng)做了y=f（x）單調(diào)遞增（遞減）的充要條件。而y=f（x）在區(qū)間A上單調(diào)遞增（遞減）的充要條件是f′（x）≥0（≤0），并且在區(qū)間A的任一子區(qū)間不恒為0。

（2）極值問(wèn)題

學(xué)生在極值的學(xué)習(xí)時(shí)存在兩個(gè)方面的問(wèn)題。一方面，學(xué)生容易將f′（x0）=0作為可導(dǎo)函數(shù)f（x0）在x=x0處有極值的充分條件。另一方面，有的學(xué)生將函數(shù)極值和最值的概念混淆，把求得的極值作為了函數(shù)的最值。極值是指函數(shù)在某一點(diǎn)附近的最值，但它不一定是整個(gè)區(qū)間上的最值。考察函數(shù)最值時(shí)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值也需要考慮。

二、 針對(duì)高中生“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”學(xué)習(xí)困難的教學(xué)策略

（一） 優(yōu)化學(xué)習(xí)環(huán)境，提高學(xué)習(xí)的興趣

興趣是學(xué)習(xí)最好的催化劑，而要提高學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣，就要?jiǎng)?chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，包括外部環(huán)境，如教學(xué)環(huán)境和內(nèi)部環(huán)境，學(xué)生的心理狀態(tài)等。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)基本上是采用講解法，學(xué)生的任務(wù)好像只是在聽，他們無(wú)法真正地參與到課堂中。在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)良好的外部環(huán)境，努力使教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式豐富飽滿。

（二） 滲透數(shù)學(xué)史及相關(guān)數(shù)學(xué)故事，從而激發(fā)求知欲

學(xué)生之所以認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥的，是因?yàn)閿?shù)學(xué)邏輯性，嚴(yán)謹(jǐn)性強(qiáng)，與豐富多彩的現(xiàn)實(shí)生活有所不同，缺乏人文色彩。在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，教師可以向?qū)W生們介紹數(shù)學(xué)史中關(guān)于微積分的故事，一方面，這種教學(xué)方式的改變會(huì)讓學(xué)生感到煥然一新，提高學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣。另一方面，微積分的建立經(jīng)過(guò)幾百年，其中有很多小故事值得探究，向?qū)W生介紹牛頓等人探究微積分的歷程，不僅可以提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還可以激勵(lì)他們好好學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)。

（三） 重視知識(shí)的生成過(guò)程，強(qiáng)調(diào)本質(zhì)

知識(shí)的生成過(guò)程，實(shí)際上就是知識(shí)的來(lái)龍去脈。數(shù)學(xué)首先是一門科學(xué)，其次才是一門學(xué)科。而數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，它當(dāng)中的內(nèi)容是經(jīng)過(guò)歸納，提煉，精簡(jiǎn)后得到的，而課程安排的學(xué)習(xí)過(guò)程和人類最初探索這些問(wèn)題時(shí)的過(guò)程剛好是相反的。教師不僅要讓學(xué)生知道結(jié)果，而且要懂得結(jié)果的產(chǎn)生過(guò)程、結(jié)果的意義，感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法?！皩?dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”作為高等數(shù)學(xué)微積分課程下放到高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)該更加注重知識(shí)的生成過(guò)程。導(dǎo)數(shù)是微積分的基礎(chǔ)和核心，理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，以及概念的生成所反映的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的關(guān)鍵。

（四） 提高數(shù)學(xué)符號(hào)的識(shí)別能力，解決語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的問(wèn)題

大部分的高中生數(shù)學(xué)閱讀能力差，在語(yǔ)言轉(zhuǎn)換方面存在問(wèn)題，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和解決導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)存在很多的障礙，因此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力是解決學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)困難的一個(gè)重要的教學(xué)策略。

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，不僅要強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的語(yǔ)言表述，還要注重導(dǎo)數(shù)的符號(hào)表示，以及導(dǎo)數(shù)表達(dá)式的變形。同時(shí)教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際生活，多舉一些現(xiàn)實(shí)生活中的例子，把抽象的概念轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解的一般性概念。如讓學(xué)生體會(huì)瞬時(shí)變化率時(shí)，不要將背景僅僅局限在瞬時(shí)速度上，可以多舉一些學(xué)生熟悉的或生活中的例子，如國(guó)內(nèi)GDP的增長(zhǎng)率，出租車的收費(fèi)關(guān)于里程的增長(zhǎng)率……這樣在函數(shù)知識(shí)的正遷移下，學(xué)生就可以比較容易地表示出一般函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率。

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作者簡(jiǎn)介：呂娜，李三平，陜西省西安市，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院。